Cinématique : vitesse , accélération, base de Frenet, projectile.

Les équations horaires d'un mouvement plan sont :

x(t)=t ; y(t)=(1-t²)^½.

Quelle est la nature de la trajectoire ?

Eliminer le temps

y² =1-t² et t² = x².

d'où : y² =1-x² ; x² + y² =1.

cercle de centre O ( origine du repère) et de rayon R= 1.

Déterminer le vecteur vitesse et sa valeur :

Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position.

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et a le sens du mouvement.

dx/dt = v_x = 1.

dy/dt = v_y = ½ (-2t)(1-t²)^-½ ; v_y = -t (1-t²)^-½

valeur v2 = vx2 + vy2 v2 = 1 +t2/(1-t2) = 1 / (1-t2). v = 1 / (1-t2)½.

En déduire les composantes normale et tangentielle du vecteur accélération :

Dans la base de Frenet associée au point M :

Accélération normale dirigée suivant le vecteur unitaire n de la base de Frenet :

valeur ( norme) a_N= v²/ R avec R= 1.

a_N= 1 / (1-t²).

Accélération tangentielle suivant le vecteur unitaire t de la base de Frenet :

a_T= dv/dt avec v = 1 / (1-t²)^½.

a_T = t (1-t²)^-3/2.

Déterminer les composantes cartésiennes du vecteur accélération :

Le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse.

dx/dt = v_x = 1 donc dv_x/dt = 0.

dy/dt = v_y = ½ (-2t)(1-t²)^-½ ; v_y = -t (1-t²)^-½

On pose u = -t soit u' = -1

et w= (1-t²)^-½ soit w' = t (1-t²)^-3/2

dv_y/dt = u'w + uw' = -(1-t²)^-½ -t²(1-t²)^-3/2

dv_y/dt = - (1-t²)^-3/2.

Le projectile est soumis à une force de résistance de l'air, colinéaire au vecteur vitesse mais de sens contraire, de norme bv, avec b positif.

Expression du vecteur vitesse.

On note v_x et v_y les composantes du vecteur vitesse.

Projection sur l'axe Ox : -bv_x +0 = m dv_x/dt.

dv_x/dt + b/m v_x =0.

Solution de cette équation différentielle : v_x = A exp(-b/m t).

à t=0, v_x = v₀ cos a d'où A = v₀ cos a

v_x = v₀ cos a exp(-b/m t).

Projection sur l'axe Oy : -bv_y +mg = m dv_y/dt.

dv_y/dt + b/m v_y =g. (1)

Solution de cette équation différentielle sans second membre: v_y = B exp(-b/m t).

Solution particulière de (1) : v_y= mg/b ( régime permanent, vitesse limite constante ).

Solution générale de (1) : v_y = B exp(-b/m t)+ mg/b.

à t=0, v_y = -v₀ sin a d'où B = -v₀ sin a - mg/b

v_y = (-v₀ sin a - mg/b ) exp(-b/m t) + mg/b.

A et B se croisent en M. A l'instant de leur rencontre les deux mobiles ont des vitesses de même valeur.

Calculer les normes OQ et OM.

Au point M : ½at²-v₀t+x_Q=½at².

x_Q= v₀t.

Les vitesses en M ont même norme mais sont de sens contraire :

at = -at + v₀ soit : t = ½v₀/a.

d'où x_Q = ½v₀²/a.

x_M = ½at² ; x_M =0,125 v₀²/a.