Enseignement, physique, agrégation interne 2006 : photomultiplicateur

Aurélie 29/01/07

Du point de vue électrique, le photomultiplieur ( noté PM sur la figure) se comporte comme une source de courant i(t) en parallèle avec un condensateur de capacité C₀= 15 pF. Afin de prélever une tension u(t) proportionnelle à ce courant, on charge le photomultiplicateur par une résistance r=50 W.

On étudie la réponse de ce système à un échelon de courant : la source idéale de courant délivre une intensité I constante à partie de l'instant t=0.

Expression de l'équation différentielle déterminant u(t) :

intensité traversant le résistor r : i₁ = u/r

intensité à travers le condensateur C₀ : i₂ = dq/dt et q=C₀u ; i₂ = C₀ du/dt = C₀ u'

additivité des courants dérivés : I= i₁ +i₂ ; I= u/r +C₀ u' ( 1)

Résolution de cette équation si u(0) = 0 :

solution générale de l'équation u/r+C₀u' = 0 ;u' + 1/rC₀) u = 0 et en posant t = rC₀ ; u'+1/t u = 0

u = A exp(-t/t) ;

solution particulière de (1) : u=rI ( régime permanent.

solution générale de (1) : u = A exp(-t/t) + rI

à t = 0 , u=0 soit 0 =A+rI d'où A= - rI

par suite u= rI (1- exp(-t/t).

Le temps de réponse t_Rà 5% est tel que : exp(-t_R/t) =0,05 soit t_R = -t ln0,05 = 3rC₀ = 3*50 *15 10^-12 =2,25 ns

Le chariot de l'interféromètre de Michelson portant le miroir M₂, se déplace à une vitesse v telle que e(t) = vt. La source de courant délivre une intensité i(t) proportionnelle à l'éclairement E (t) que le détecteur reçoit.

or u(t) = r i(t) : u(t) est proportionnelle à l'éclairement ( si t >> t_R).

La tension u(t) reproduit les variations de l'éclairement E(t).

Les signaux détectés par le photomultiplicateur sont faibles, noyés dans des bruits aussi bien continus qu'alternatifs. Le signal du photomultiplicateur a besoin d'être conditionné.

Les amplificateurs opérationnels ( notés A.O) utilisés sont supposés idéaux. La rension de saturation est notée V_sat et V_sat = 15 V.

Expression de la différence de potentiel entre les points A et B : v_A(t) - v_B(t) en fonction de v₁(t) - v₂(t) = u(t)

v_A - v_B = v _A - v_C+ v _C - v_D+ v _D - v_B= R' i₃ + R₀ i₃ + R' i₃ ; i₃ intensité traversant la branche A C D B.

v₁ - v₂ = v_C - v_D =R₀ i₃ soit i₃ = [v₁(t) - v₂(t)] / R₀

v_A(t) - v_B(t) = (2R' + R₀ ) i₃ ; v_A(t) - v_B(t) = (2R' + R₀ ) / R₀[v₁(t) - v₂(t)].

Condition à remplir par R₁, R₂, R₃, R₄ pour que s₁(t) soit proportionnelle à u(t) :

on note i₄ l'intensité traversant R₁, R₂ ; i₅ l'intensité traversant R₃, R₄ :

v_B= (R₃ + R₄)i₅ ; v_A= s₁ + (R₁ + R₂)i₄ ; v_A - v_B= s₁ +(R₁ + R₂)i₄ - (R₃ + R₄)i₅ (2)

de plus : s₁ = -R₂i₄+ R₄i₅ soit i₄= (-s₁ + R₄i₅ ) /R₂(3) repport dans (2) :

v_A - v_B = s₁ +(R₁ + R₂)(-s₁ + R₄i₅ )/ R₂ - (R₃ + R₄)i₅

v_A - v_B =s₁ [1-(R₁ + R₂)/ R₂]+ [(R₁ + R₂)R₄/ R₂ - (R₃ + R₄)]i₅

s₁ est proportionnelle à v_A - v_B si (R₁ + R₂)R₄ = (R₃ + R₄) R₂soit R₁R₄= R₂R₃.

v_A - v_B = - s₁ R₁/ R₂ soit s₁ = - R₂/ R₁(v_A - v_B).

Fonction de chaque amplificateur :

A.O 1 et A.O 2 ayant des impédances d'entrées infinies, u₁ et u₂, donc u = u₁ - u₂, ne subit aucune perturbation.

A.O 3 effectue la soustraction v_B - v_Aet amplifie cette différence.

Après conditionnement, le signal est traité par le montage suivant :

Rôle de l'A.O 4 : amplificateur non inverseur

i₆ l'intensité traversant R₅, R₆ :

s₁ = R₅i₆ ;s₂ = (R₅+ R₆)i₆ ; s₂ = (R₅+ R₆)s₁ / R₅ ; s₂ =s₁(1+ R₆/ R₅).

or s₁ = -R₂/ R₁(v_A - v_B) et v_A(t) - v_B(t) = (2R' + R₀ ) / R₀u(t).

s₂ = -R₂/ R₁(1+ R₆/ R₅)(2R' + R₀ ) / R₀u(t).

Le signal s₃(t) est observé à l'oscilloscope ; on obtient le tracé suivant :

Intérêt du dispositif permettant de passer de s₂(t) à s₃(t) :

Il s'agit d'un filtre passe haut : la composante continue est suprimée. La fréquence de coupure de ce filtre est f_C = 1/(RC)

f_C doit être très inférieure à la fréquence du signal.

Rôle de l'A.O 5 : comparateur à hystérisis

La tension de sortie s₄(t) ne peut prendre que deux valeurs +V_sat et -V_sat.

i₈ intensité traversant R₇, R₈ avec R₈=100 R₇.

V_ref = R₇i₈ ;s₄ = (R₇+ R₈)i₈; V_ref = R₇/(R₇+ R₈)s₄; V_ref =0,01 s₄ ; V_ref = + ou - 0,01 V_sat.

Seuls les maximas du signal seront conservsé ; le bruit de fond est supprimé.

Le compteur d'impulsions placé en fin de montage fonctionne avec une tension d'entrée voisine de 5 V et l'intensité de son courant d'entrée est nulle.

La diiode est idéale, de tension de seuil nulle, et de résistance nulle dans le sens passant. Les résistances R₉ et R₁₀ vérifient la relation R₉= 2 R₁₀.

Rôle de la diode : la diode élimine les valeurs négatives de la tension.

Les résistances R₉ et R₁₀ jouent le rôle de diviseur de tension : s(t) = R₁₀ / (R₉ + R₁₀) s₄(t) ; s(t) =1/3 s₄(t).

Oscillogrammes s₄(t) et s(t) :

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