Aurélie 15/01/07
 

Agrégation interne 2006 : diffusion Rayleigh

( diffusion de la lumière solaire par l'atmosphère )

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Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

Soit un milieu constitué d'atomes d'hydrogène. Le nombre d'atomes par unité de volume est N. Une onde électromagnétique plane, polarisée rectilignement se propage dans la direction Ox. Le champ électrique est E= E0 cos( wt-kx)ez. L'électron de l'atome oscille suivant la direction ez.

Equation différentielle décrivant le déplacement z de l'électron appartenent à un atome situé dans le plan d'abscisse x :

Dans le modèle de l'électron élastiquement lié, la force entre le noyau de l'atome et le barycentre des charges négatives est proportionnelle à la distance les séparant : -k r.

L'électron, placé dans des champs électrique et magnétique est de plus soumis à la force de Lorentz -eE-e(v^B)

Le poids de l'électron est négligeable devant les autres forces.

La seconde loi de Newton s'écrit : m d2r/dt2 = -k r -eE-e(v^B)

soit suivant l'axe ez : m d2z/dt2 =m d2r/dt2 = -k z -eE

z" + k/m z = -e/m E0 cos( wt-kx)

z" + w02 z = -e/m E0 cos( wt-kx) avec w02 = k/m

On néglige le régime transitoire.

Expression z(t,x) du régime forcé à la pulsation w :

z(t,x) = A cos( wt-kx) ; z' = -Awsin( wt-kx) ; z" = -Aw2 cos( wt-kx)

repport dans l'équation différentielle :

-Aw2 cos( wt-kx) + w02A cos( wt-kx) = -e/m E0 cos( wt-kx)

A(w02-w2)= -e/m E0 ; A= e/m E0 / (w2-w02) ;

z(t,x) = e/m E0 / (w2-w02)cos( wt-kx).

Expression du dipole induit p(t) = -e z ez

pz = e2/m E0 / (w02-w2)cos( wt-kx) ; amplitude p0 = e2/m E0 / (w02-w2)

Expression de l'énergie moyenne rayonnée PR par unité de temps par le dipole p :

L'énergie moyenne rayonnée par unité de temps à travers la sphère de tayon r, c'est à dire le flux de P à travers la surface de la sphère de rayon r vaut :

PR = w4e4 E20 / [12pe0c3m2(w02-w2)2 ]

La puissance moyenne de l'onde traversant sous incidence normale une surface d'aire S est Pi = ½e0cE20 S.

Expression de PR en fonction de Pi :

PR = w4e4Pi / [6pe20c4m2S(w02-w2)2 ]
En fait la puissance rayonnée qui correspond à une diffusion provient de la diminution de Pi et donc de E0 lorsque l'onde se propage dans le milieu. On peut admettre que Pi (et donc E0 ) dépend de x mais varie lentement selon x.

Réalisons un bilan énergétique dans un cylindre de section S entre x et x+dx :

Dans le volume Sdx, NSdx atomes diffusent de l'énergie soit NSPR = -dPi/dx

ou bien Pi(x) - Pi( x+dx) = NSPRdx

or PR = w4e4Pi / [6pe20c4m2S(w02-w2)2 ]

dPi/dx = - NS w4e4 / [6pe20c4m2S(w02-w2)2 ] Pi = - Pi / l

l =6pe20c4m2(w02-w2)2 / (N w4e4), exprimée en mètre.

Dans le cas de la diffusion de Rayleigh (w02-w2) est proche de w02

alors l s'écrit : l =6pe20c4m2w04 / (N w4e4)

Calcul de l pour une radiation rouge ( 800 nm) en prenant w0 correspondant à l0 = 121,8 nm et N= 1025 électrons par m3 :

l = 6*3,14/(4 p 10-7)2 (9,1 10-31)2 / [1025 *(1,6 10-19)4] w04 /w4 =1509 w04 /w4

or w= 2p c/l soit w04 /w4 = (l /l 0 )4.

l =1509 (l /l 0 )4

lR=1509 (800/121,8)4 = 2,8 106 m = 2800 km.

Même calcul pour une radiation bleue ( 400 nm)

lB=1509 (400/121,8)4 = 2,8 106 m = 175 km.

Interprétation du bleu du ciel :

PR (bleu) / PR (rouge) =(wB /w R )4 = (lR /l B )4 = 16

La lumière diffusée par l'atmosphère est 16 fois plus riche en radiations bleues qu'en radiations rouges.

Un mélange de violet, de bleu, de vert et une toute petite fraction des autres couleurs, diffusés donne la couleur bleue.

Interprétation de la couleur rouge du soleil au couchant :

Le soir le soleil est très bas sur l'horizon : la lumière traverse une couche atmosphérique plus grande que lorsqu'il est au zénith : le bleu est de plus en plus diffusé ; le rouge, l'orange et le jaune peuvent nous atteindre ou se réfléchir sur les nuages.
 

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