Agrégation interne 2006 : champ électromagnétique dans le vide.

(e₀ et µ₀ étant respectivement la permittivité et la perméabilité du vide : µ₀ e₀ c² = 1)

On repère tout point M de l'espace à l'aide d'un repère ( O, e_x, e_y, e_z)

Montrons qu'une onde plane rectiligne E= E₀ cos(wt-kx)e_y peut se propager dans le vide ; E₀ est l'amplitude constante.

Elle doit vérifier l'équation de propagation, obtenue à partir des équations de Maxwell :

d²E_y/dy² = d²E_y/dz² = 0 ; dE_y/dx = kE₀ sin(wt-kx) ; d²E_y/dx² = -k²E₀ cos(wt-kx) = - k²E_y.

dE_y/dt = -wE₀ sin(wt-kx) ; d²E_y/dt² =-w²E₀ cos(wt-kx) = -w²E_y.

par suite : - k²E_y- (-w²/ c²E _y) 0 ; relation vérifiée si k = w/c.

Direction de propagation : l'axe x'x

Valeur de la norme du vecteur d'onde k : k = w/c

B=E₀ / c cos(wt-kx)e_z ; B, E, e_x forment un trièdre direct ( figure ci-dessous)

P = E^B / m₀ avec B = u^ E /c et E = cB^ u

d'où : P = cB²/ m₀ u = ce₀ E² u = ce₀E²₀ cos²(wt-kx)u

L'énergie se propage dans le sens de l'onde à la vitesse c.

Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface S est égale à l'énergie contenue dans un cylindre de section S et de longueur c ( énergie transmise à travers une surface par unité de temps)

F = PS=ce₀ E²S

Son unité est W m^-2.

Valeur moyenne de <P> sur une période en fonction de E₀, e₀ et c, vitesse de la lumière dans le vide.

P₀ = ½e₀cE₀²S ; E₀² =2P₀ / ( e₀cS) avec e₀ =1/(m₀c²)

E₀² =2P₀ m₀c / S avec P₀ =0,1 W ; m₀= 4 p 10^-7 ; c = 3,00 10⁸ m/s ; S= 10^-6 m².

E₀² =2*0,1*4 p 10^-7 *3,00 10⁸ / 10^-6 =7,54 10⁷ ; E₀ =8,7 10³ V/m.

Cette onde est dite "circulaire ": l'amplitude E₀ est constante ; le vecteur E tourne à vitesse constante w autour de l'axe Ox.

B = e_x ^ E /c

B =E₀ /c [cos(wt-kx)e_x ^e_y+ sin(wt-kx)e_x ^e_z ]

B =E₀ /c [cos(wt-kx)e_z + sin(wt-kx)(-e_y) ]

P = E^B / m₀

P =E²₀ / (cm₀)[ cos(wt-kx)e_y + sin(wt-kx)e_z]^[cos(wt-kx)e_z + sin(wt-kx)(-e_y)]

P =E²₀ / (cm₀)[cos²(wt-kx)e_x+sin²(wt-kx)e_x] =E²₀ / (cm₀)e_x =e₀cE₀²e_x

Le vecteur de Poynting P est constant : il ne dépend ni de x, ni du temps.