Aurélie 20/12/06
 

Agrégation 2006 : obtention de basses températures par liquéfaction d'un gaz.

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Efficacité maximale d'une machine frigorifique ditherme cyclique :

Au cours d'un cycle le fluide reçoit le travail W , prend la chaleur Qf à la source froide (aliments à refroidir) et céde la chaleur Qc à l'extérieur, source chaude.

Sur le cycle, le 1er principe s'écrit : DU= W+Qf+Qc=0 avec W>0 soit Qf+Qc<0

Sur le cycle, le 2ème principe s'écrit : DS=0 soit Qf/Tf+Qc/Tc=0.

efficacité : énergie thermique enlevée à la source froide divisée par le travail investi.

e= Qf/W=Qf/|Qf+Qc|= 1/(1 +Qc /Qf)

Qf/Tf+Qc/Tc=0 ; Qc /Qf = -Tc /Tf ; par suite e = 1/(1 -Tc /Tf) ; e =Tf / |Tf -Tc|

L'efficacité diminue si la température de la souce froide diminue : l'obtention de température de plus en plus basse est onéreux .

Le gaz de van der Waals :

ordre de grandeur de b dans le cas de l'air :

volume d'une molécule N2 ou O2 : 10-29 m3 ;

volume d'une mole de molécules : NA10-29 =6 10-6 m3.

La pression moléculaire est due à l'interaction entre molécules.
U= nCvT-an2/V.

a(n/V)2 : énergie potentielle d'interaction

a >0 : interaction attractive entre molécules.
Enthalpie en ne conservant que les termes correctifs a et b au premier ordre : H= U+PV

(P+an²/V²)(V-nb) = nRT ; PV + an²/V-Pnb-abn3/V² = nRT ; PV = nRT-an²/V + Pnb+abn3/V² voisin de : nRT-an²/V + Pnb

H voisin de : nCvT-an²/V +nRT-an²/V + Pnb = n(Cv+R)T+ n(Pb-2an/V).

Refroidissement par détente de Joule-Thomson :

Le refroidissement des gaz réels peut être obtenu par détente isenthalpique de Joule-Thomson.

Système adiabatique : le transfert thermique Q est nul ; système indéformable : le travail des forces de pression W est nul :

en conséquence DH= 0 ; l'enthalpie est constante.

Démontrer la relation [dT/dP]H= -1/Cp [dH/dP]T

dH(T, P)= CpdT + [dH/dP]T dP ; si H est constant, alors dH(T,P) = 0.

Par suite : CpdT = - [dH/dP]T dP ; [dT/dP]H= -1/Cp [dH/dP]T

Que dire d'une telle détente appliquée à un gaz parfait ?

L'enthalpie d'un gaz parfait ne dépend que de la température : la détente de Joule-Thompson appliquée à un gaz parfait s'effectue donc à température constante.

Montrer que le refroidissement par détente isenthalpique d'un gaz réel n'est possible qu'au dessous d'une certaine température :

H voisin de : n(Cv+R)T+ n(Pb-2an/V)

à température constante : H voisin de n(Pb-2an/V) = nP(b-2an/(PV)) ; PV proche de nRT

H voisin de : nP(b-2a/(RT)) ; [dH/dP]T = n(b-2a/(RT)) = nb(1-Ti/T) en posant Ti = 2a/(Rb).

Lors d'une détente la pression diminue ; lors d'un refroidissement la températue diminue : [dT/dP]H est donc positif.

Or [dT/dP]H = -1/Cp [dH/dP]T ; par suite [dH/dP]T <0 soit (1-Ti/T) <0 ou T<Ti.

 

Pour le diazote, la température d'inversion est Ti = 700K ; Cp = 29 J K-1 mol-1; b= 4 10-5 m3 mol-1. Pour une variation de pression de 10 bars, la chute de température vaut :

[dT/dP]H = -1/Cp [dH/dP]T = -1/Cpnb(1-Ti/T)

dT = -1/Cpnb(1-Ti/T)dP = -4 10-5/29(-700/300)*(-10 105) = -1,8 K

Une machine industrielle produit une masse m 20 kg de diazote liquide par heure. Tvap = 77 K ; DHvap = 198 kJ kg-1.

Expression de l'énergie à prélever à l'azote pour liquéfier cette masse m à pression atmosphérique, à partir de la température ambiante :

P= constante ; Q= DH avec n = m/M = 2 104/28 = 714 moles

énergie nécessaire pour refroidir le gaz : nCp|Tvap-T| =714*29|77-300|= 4,6 106 J= 4,6 MJ

énergie nécessaire pour liquéfier le gaz à 77 K : mDHvap =20*198= 4 MJ soit au total : 8,6 MJ.

Le compresseur de la machine consomme une puissance moyenne réelle de 37 kW.

La puissance thermique à prélever vaut : 8,6 106 / 3600 = 2,4 kW.
L'efficacité de la machine est d'autant plus faible que la température est plus basse ; ainsi à 77 K, e = 77/(300-77) = 0,35.

La puissance reçue par la machine est de l'ordre de : 2,4 / 0,35 = 7 kW.

Il faut ensuite tenir compte du rendement de la machine.

Une fois le gaz liquéfié, il est possible de descendre à des températures plus basses à l'aide d'une pompe évacuant les vapeurs du gaz.

En éliminant les vapeurs, on déplace l'équilibre liquide-vapeur dans le sens de la vaporisation ; or celle-ci est endothermique : donc le liquide va se refroidir lors d'un processus adiabatique.
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