Modélisation d'un écoulement autour d'une sphère : écoulement laminaire, écoulement turbulent concours général 2007

L'objectif est de comparer la chute de la bille dans la glycérine et dans l'eau. g = 9,81 m/s².

Chute de la bille dans la glycérine.

Masse volumique de la glycérine r = 1,26 10³ kg m^-3 ; viscosité h = 1,49 Pa s.

La bille est lâchée sans vitesse initiale. L'évolution de la vitesse au cours du temps est donnée ci-dessus.

A partir du graphe expérimental, décrire le mouvement de chute et mesurer la vitesse limite v_lim :

La vitesse augmente sur l'intervalle [0 ; 0,5 s] puis devient constante à t >0,5 s ( mouvement rectiligne uniforme )

On souhaite modéliser la force de frottement exercée par le fluide sur la bille par : f = -6p r h v

( les grandeurs écrites en gras et en bleu sont des vecteurs)

Déterminer l'équation différentielle du mouvement de la bille.

La bille est soumis à 3 forces:

- la poussée d'Archimède, verticale, orientée vers le haut, valeur = poids du volume de fluide (air) déplacé : F= r V g

avec r : masse volumique du fluide kg m^-3 ; V : volume de la bille (m³)

- le poids du système, verticale, orientée vers le bas, valeur : P= m g = r_bille V g

- la force de frottement de l''eau sur la bille, verticale, orientée vers le haut, valeur : f = 6p r h v ( négligeable au début du mouvement car la vitesse est alors très faible)  

Ecrire la seconde loi de Newton :

Sur un axe vertical descendant, cette loi s'écrit :

r_bille V g - 6p r h v- r V g = r_bille V dv/dt.

dv/dt + 6p r h / (r_bille V) v = g(1-r /r_bille)

Donner l'expression de la vitesse limite v_lim .

Quand la vitesse limite est atteinte le mouvement est uniforme : dv/dt=0.

6p r h / (r_bille V) v_lim = g(1-r /r_bille)

v_lim = g r_bille V (1-r /r_bille) / (6p r h).

Calcul de vlim. V= 4/3pr3 = 4/3*3,14*(3,9 10-3)3 = 2,48 10-7 m3. 6p r h = 6*3,14*3,9 10-3*1,49 = 0,109 vlim =9,81*7,8 103 *2,48 10-7( 1-1,26/7,8) / 0,109 =0,146 m/s = 146 mm/s. Du même ordre de grandeur que la valeur expérimentale.

Chute de la bille d'acier dans l'eau.

On reprend l'expérience précédente pour étudier la chute de la bille dans l'eau ( r = 1000 kg/m³ ; viscosité h = 1,0 10^-3 Pa s). La bille est toujours lâchée sans vitesse initiale.

A partir du graphe expérimental, décrire le mouvement de chute et mesurer la vitesse limite v_lim :

La vitesse augmente sur l'intervalle [0 ; 0,3 s] puis devient constante à t >0,3 s ( mouvement rectiligne uniforme )

Calculer la vitesse limite théorique.

V= 4/3pr³ = 4/3*3,14*(3,9 10^-3)³ = 2,48 10^-7 m³.

6p r h = 6*3,14*3,9 10^-3*10^-3 = 7,35 10^-5.

v_lim =9,81*7,8 10³ *2,48 10^-7( 1-1/7,8) / 7,35 10^-5 = 225 m/s.

En désaccord complet avec le modèle de la force de frottement fluide.

Quelles sont les différences essentielles entre les deux expériences ?

Les masses volumiques des deux liquides sont voisines.

Par contre la viscosité de l'eau est environ 1500 fois plus faible que celle de la glycérine.

La forme de l'écoulement d'un fluide autour de la bille dépend de la vitesse v et de la taille d de l'obstacle ( ici le diamètre de la bille), mais aussi de la masse volumique r et de la viscosité h du fluide considéré. Pour caractériser le régime d'écoulement on utilise le nombre sans dimension Re, appelé nombre de Reynolds défini par :

Re = r v d /h.

Parmi les différents régimes d'écoulement que l'on peut observer, on distingue en particulier :

L'écoulement laminaire : Re <1

L'écoulement autour de l'obstacle est symétrique et régulier. La force de frottement fluide est donnée par la formule de Stokes : f = -6p r h v

L'écoulement turbulent :10³<Re<10⁵.

L'écoulement est caractérisé par des variations spatio-temporelles importantes et aléatoire de la vitesse du fluide. La force de frottement s'exerçant sur la bille s'écrit : f = -½r C_xS v² u

( u : vecteur unitaire colinéaire à la vitesse et de même sens)

C_x est le coefficient de traînée de l'obstacle dans le fluide : C_x = 0,43 pour un obstacle sphérique.

S : surface frontale vue par le fluide: pour la bille étudiée : S= pr².

Re = r v d /h.  

Glycérine : 1,26 10³ * 0,125 * 7,8 10^-3 / 1,49 = 0,82.

eau : 1,010³ * 1,35 * 7,8 10^-3 / 10^-3 = 1,1 10⁴.

Caractériser l'écoulement du fluide autour de la bille dans chaque cas.

Dans la glycérine l'écoulemnt est laminaire.

Dans l'eau l'écoulement est turbulent.

Que dire du modèle utilisé pour l'expérience 1 ?

Le modèle utilisé dans l'expérience 1 est valable.

Exprimer la force de frottement qui s'exerce sur la bille plongée dans l'eau lorsqu'elle a atteint sa vitesse limite.

f = -½r C_xS v² u

Justifier la validité de cette expression.

 L'écoulement étant turbulent, la valeur de la force de frottement est : f =½r C_xS v²

Déterminer alors l'expression de la vitesse limite de la bille.

L'équation différentielle relative à la vitesse s'écrit :

r_bille V g - ½r C_xS v² - r V g = r_bille V dv/dt.

Lorsque la vitesse limite est atteinte, dv/dt = 0, d'où :

½r C_xS v² = V g(r_bille - r )

v ² =2V g(r_bille - r ) / (r C_xS)

v ² =2V g(r_bille/r-1 ) / ( C_xS)

Or V= 4/3pr³ et S= p r² ; V/S = 4/3r d'où :

v ² =8/3r g(r_bille/r-1 ) / C_x.

v = [8/3r g(r_bille/r-1 ) / C_x]^½.

Calculer cette vitesse et conclure.

 v= [8/3*3,9 10^-3 *9,81(7,8-1 ) / 0,43]^½.

v = 1,3 m/s.

Du même ordre de grandeur que la valeur expérimentale.