concours orthoptie réflexion totale et fibre optique ; projectile et lanceur (ressort comprimé ). Nantes 2004

Les trois rayons incident, réfléchi et réfracté sont dans le même plan ; l'angle d'incidence i₁ est égal à l'angle de réflexion r. Les angles d'incidence i₁ et réfracté i₂ sont reliés par la relation : n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂.

Condition sur i₁, pour que seul le rayon réfléchi existe :

sin i₂ = n₁ /n₂ sin i₁ ; sin 90 = n₁ /n₂ sin i_{1 lim} ; 1 = n₁ /n₂ sin i_{1 lim} ; sin i_{1 lim} = n₂ /n₁.

Si sin i₁ est supérieur à n₂ /n₁ , il y a réflexion totale. ( le rayon réfracté n'existe pas )

sin i_{1 lim} = 1,47/1,5 =0,98 ; i_{1 lim} = 78,5°.

Le coeur de la fibre est constitué d'un milieu d'indice n₁ = 1,5. La gaine a un indice n₂=1,47. L'indice de l'air est noté n_A=1.

Si q = q _L, le rayon reste entièrement confiné dans la gaine.

Calcul de q _L:

en I, dioptre air/coeur : n_air sin q = n₁ sin r ; sin q = n₁ sin r (1)

en J, il y a réflexion totale : dioptre coeur/gaine : n₁ sin i = n₂ sin 90 = n₂ ; sin i = n₂ /n₁ = 1,47 / 1,500 = 0,98 ; i = 78,5 °

Les angles i et r sont complémentaires soit sin r = cos i = cos 78,5 = 0,199

de plus (1) s'écrit : sin a = n₁ sin r = 1,5*0,199 =0,298 ; q _L= 17,4°.

On émet à l'entrée de la fibre des impulsions lumineuses à une fréquence f. On admettra que l'angle q peut prendre toutes les valeurs possibles entre q et q _L. Temps mis par le signal lumineux pour parcourir la fibre de longueur 10 m pour q =0 et q = q _L :

Figure ci-dessus, expression de IJ : ( on note h la projection de IJ sur l'axe de la fibre)

cos r = h/IJ; or sin q = n₁ sin r ; cos² r + sin² r = 1 ;

h²/IJ² +( sin q / n₁ )² = 1 ; h/IJ = [1-( sin q / n₁ )² ]^½.

Le rapport entre la longueur L de la fibre et le trajet d suivi par la lumière est : L/d =[1-( sin q / n₁ )² ]^½

d = L[1-( sin q / n₁ )² ]^-½.

pour q=0 , d₀ =10 m ; pour q_L =17,4 , d₁₂ =10 [1-(sin17,4/1,5)²]^-½=10,20 m

Célérité de la lumière dans le coeur : v = c/n₁ = 3 10⁸ / 1,5 = 2 10⁸ m/s.

t₀ =10 / 2 10⁸ = 5 10^-8 s ; t_L =10,2 / 2 10⁸ = 5,1 10^-8 s ;
A la sortie de la fibre on pourra distinguer les impulsions lumineuses si f <f_max.

Calcul de f_max : 1/(t_L-t₀) = 10⁹ Hz.

 Projectile et lanceur.

Un projectile de masse m est placé sur un ressort comprimé. On lâche le système sans vitesse initiale ; le projectile à la sortie du lanceur possède une vitesse v₀. Le lanceur est placé au sol ; l'orientation du lanceur peut être modifiée. 

Le mouvement est dans le plan défini par les vaecteurs vitesse initiale et accélération : z(t) = 0 ; v(t) = 0.

Valeur de a permettant d'obtenir l'altitude maximale :

A l'altitude maximale la composante verticale de la vitesse est nulle : 0 = -gt + v₀ sina soit t = v₀ sina /g.

Repport dans y(t) : y_max = -0,5 g(v₀ sina /g)² + (v₀ sina )² /g = ½ (v₀ sina )² /g.

Si a =90 °, l'altitude est maximale et vaut : v₀² /(2g)

Valeur de a permettant d'obtenir la portée maximale :

y_M=0 = -½gx_M² /(v₀ cosa )²+ x_M tana ;

d'où x_M= 0 et x_M = v₀² sin (2a) /g.

La portée est maximale si a = 45 ° ; sa valeur est v₀² /g.

Le lanceur est horizontal ( a=0) ; dans l'hypothèse de l'absence de frottement.

Vitesse à la sortie du lanceur en fonction de k, m et a :

L'énergie mécanique est initialement sous forme potentielle élastique : ½k a².

L'énergie mécanique est sous forme cinétique au moment du départ du projectile : ½mv².

L'énergie mécanique se conserve : ½k a² = ½mv².

v = (k/m)^½a.

Le lanceur est vertical ( a=90°) ; dans l'hypothèse de l'absence de frottement.

Vitesse à la sortie du lanceur en fonction de k, m, g et a :

On choisit comme origine des énergies potentielles, le point E, position d'équilibre, longueur du ressort L_éq.

Le projectile quitte le lanceur au moment où la tension du ressort est égale au poids ; la longueur du ressort est alors L_éq :

mg = k( L_éq -L₀) ; L_éq= L₀+ mg/k. (1)

travail élémentaire résistant du poids parcours noté dx : - mg dx

en tenant compte de (1) : - mg dx = - k(L_éq-L₀)dx

travail élémentaire dW moteur de la tension parcours noté dx :

T = k(L-L₀) = k(L-L_éq +L_éq-L₀) = k(L-L_éq) + k(L_éq-L₀)

dW= k(L-L_éq)dx + k(L_éq-L₀)dx

On note (L-L_éq) = x : dW= kxdx + k(L_éq-L₀)dx

somme des travaux élémentaires : - k(L_éq-L₀)dx + kxdx + k(L_éq-L₀)dx = kxdx

intégrer sur tout le parcours : W = ½kx² = ½k(L-L_éq)².

Ecrire le théorème de l'énergie cinétique entre le point le plus bas A et E :

½k(L-L_éq)² = ½mv₁² ; v₁ = (L-L_éq)[k/m]^½.

Or L_éq =L₀+ mg/k ; L-L_éq = L- L₀- mg/k = a-mg/k

v₁ = (a-mg/k)[k/m]^½.

Conditions sur k, a, m et g afin que a norme du vecteur vitesse à la sortie du lanceur, soit indépendante de son orientation :

v² = v₁² ; k/m a² =k/m (a-mg/k)² d'où :

a = -a +mg/k ; a = mg/(2k).

La solution a= a-mg/k conduirait à m=0.