Aurélie 15/04/07
 

Concours Kiné : mécanique, chute libre, frottement sur un plan incliné 2007 ( Nantes)

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Exercice 2 :

Le profil d'une piste est représenté ci-dessous :

a=30° ; h= 20 m ; g = 10 m/s².

On étudie le mouvement d'un solide S assimilé à un point matériel G de masse m.

On considère que tous les mouvements se font sans frottement.

Lâché de A sans vitesse initiale, le solide glisse sur le plan incliné AO et arrive en O avec une vitesse v0, puis effectue un mouvement aérien dans le plan de pesanteur et chute sur le plan incliné BD en un point C.

  1. On note L=AO, la distance parcourue sur le plan incliné.
    - Exprimer v0 en fonction de L,     a et g.
    - Calculer v0 si L= 40 m.
  2. Le mouvement aérien est étudié dans le repère (O, i, j).
    - Etablir l'équation cartésienne y=f(x) de la trajectoire aérienne parabolique de G. On exprimera y en fonction de x, g,     a et v0.
    - Déterminer dans ce repère l'équation cartésienne de la droite BD.
    - Exprimer l'abscisse xC du point de chute C en fonction de h, g,     a et v0. Montrer que la distance b=BC s'exprime en fonction de h, g et v0. Calculer b.

En fait la chute se fait en C' tel que BC' = b' = r b. On admet que cela est du aux frottements de S sur le plan incliné AO ; le mouvement aérien est toujours sans frottement. m = f/N avec f composante tangentielle ( force de frotement) de la réaction R su support ; N composante normale de la réaction du support.

  1. Montrer que la vitesse d'arrivée de S en O est v'0 = rv0.
  2. Exprimer m en fonction de r et a.
  3. Calculer m si r = 0,90.
On note L=AO, la distance parcourue sur le plan incliné.
Expression de v0 en fonction de L, a et g :

théorème de l'énergie cinétique entre A et O : DEc=½mv20-0
Seul le poids travaille, l'action du plan étant perpendiculaire au plan ; le travail du poids est moteur en descente et vaut : mgLsin a.

½mv20 =mgLsin a : v20 =2gLsin a : v0 =[2gLsin a]½ =[2*10*40*sin30]½ =20 m/s.

Le mouvement aérien est étudié dans le repère (O, i, j).
Equation cartésienne y=f(x) de la trajectoire aérienne parabolique de G :

accélération : (0 ; g) ; vitesse initiale :(v0cosa ; v0 sin a )

La vitesse est une primitive de l'accélération : vx= v0cosa ; vy= gt +v0 sin a

La position est une primitive de la vitesse : x = v0cosa t ; y = ½gt2+v0 sin a t

t= x/(v0cosa ; y = ½gx2/(v0cosa)2 + x tan a
Equation cartésienne de la droite BD:

y= a x+b avec a = tan a et b= h

y = tan a x +h.
Expression de l'abscisse xC du point de chute C en fonction de h, g, a et v0:

yC = ½gxC2/(v0cosa)2 + xC tan a = tan a xC +h.

½gxC2/(v0cosa)2 = h ; xC2 =2h /g (v0cosa)2 ;

xC =[2h /g]½v0cosa.

Expression de b=BC en fonction de h, g et v0:

yC -h = tan a xC = [2h /g]½v0sina.

b2 = xC2 +(yC -h)2 =2h /g (v0cosa)2 + 2h /g (v0sina)2 =2h /gv20

b = [2h /g]½v0 ; b =(2*20/10)½*20 ; b=40 m.

En fait la chute se fait en C' tel que BC' = b' = r b. On admet que cela est du aux frottements de S sur le plan incliné AO ; le mouvement aérien est toujours sans frottement. m = f/N avec f composante tangentielle ( force de frotement) de la réaction R su support ; N composante normale de la réaction du support.

Montrons que la vitesse d'arrivée de S en O est v'0 = rv0.

b' = r b =r [2h /g]½v0 ; d'autre part b'= [2h /g]½v'0 ; d'où v'0 = rv0.

 

Expression de m en fonction de r et a :

théorème de l'énergie cinétique entre A et O : DEc=½mv'20-0
Travail moteur du poids en descente : mgLsin a.

Travail résistant de f : -fL ; N perpendiculaire au plan ne travaille pas.

½mv'20 =mgLsin a -fL ; or ½mv20 =mgLsin a

d'où : ½mv'20 =½mv20 -fL ; or v'0 = rv0.

d'où : ½m r2v20 =½mv20 -fL ; fL= ½mv20(1-r2)

or v20 =2gLsin a d'où : f = mgsin a(1-r2)

m= f/N = mgsin a(1-r2) / (mg cosa) ; m = (1-r2)tan a.

Calcul de m si r = 0,90 :

m = (1-r2)tan a = (1-0,92) tan30 ; m =0,11.
 

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