Aurélie 15/04/07
 

Concours Kiné : charge d'un condensateur ; dipôle RLC 2007 ( Nantes)

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Exercice 1 :

On réalise le montage ci-dessous :

Le générateur a une fem E= 6,00 V et une résistance interne r0 = 100 W ; C= 10,0 mF ; L= 1,01 H ; R résistance ajustable.

Le condensateur étant déchargé, on connecte à l'instant t=0 sur la position 1.

  1. Ecrire l'équation différentielle relative à la charge q(t) du condensateur.
  2. Quelle est la charge finale Q du condensateur ?
  3. Sachant que q(t) = Q(1-exp (-t/t)) est solution de l'équation différentielle précédente, en déduire l'expression de la constante de temps t de ce régime transitoire. Calculer t.
  4. Tracer la courbe donnant q en fonction du temps.
Après une durée suffisamment longue pour que la charge soit pratiquement égale à Q, on bascule le commutateur en position 2 à une date choisie comme nouvelle origine des temps.
  1. On ajuste R à 0 et on suppose r=0.
    - Etablir l'équation différentielle relative à la charge q du condensateur.
    - Sachant que q(t)=Q cos (2    pt/T0) est solution de cette équation, en déduire l'expression de la période T0 ; calculer T0.
  2. En réalité r n'est pas nulle et on a ajusté R à 350 W.
    L'oscillographe branché aux bornes de R montre un régime pseudopériodique de période T=25,0 ms.
    - Etablir l'équation différentielle relative à la charge q du condensateur. Quelle différence notez-vous par rapport à celle établie précédemment ?
    - On montre que T= T0 ( 1-    e2)-½ avec e = ½RT(C/L)½, degré d'amortissement et RT la résistance totale du circuit. En déduire la résistance r de la bobine.
    - Le régime critique est obtenu quand T tend vers l'infini. Quelle doit être la valeur RC de R pour obtenir le régime critique ?
Equation différentielle relative à la charge q(t) :

additivité des tensions : E-r0i =q/C avec i = dq/dt

E-r0dq/dt =q/C

dq/dt +q/(r0C)=E/r0. (1)

Charge finale Q du condensateur : l'intensité est nulle en fin de charge ; la tension aux bornes du condensateur chargé vaut E.

Q=CE ; Q= 10-5*6 = 6,00 10-5 C.

Expression de la constante de temps t :

q(t) = Q(1-exp (-t/t)) est solution de l'équation différentielle précédente ; dq/dt = Q/t exp (-t/t)

repport dans (1) : Q/t exp (-t/t)+Q/(r0C) (1-exp (-t/t)) = E/r0.

Cette relation est vérifiée quel que soit t si : Q/t =Q/(r0C) soit t =r0C.

t =100*10-5 = 1,00 10-3 s.

Courbe donnant q en fonction du temps :
On ajuste R à 0 et on suppose r=0.
Equation différentielle relative à la charge q du condensateur : R = 0 ; r=0.
additivité des tensions : Ldi/dt+q/C = 0 avec i = dq/dt : di/dt = d2q/dt2.

Ld2q/dt2+q/C=0

d2q/dt2 +q/(LC)=0 avec w02=1/LC

Expression de la période T0 : q(t)=Q cos (2pt/T0) ; w0 =2p/T0 ; T0 =2p/ w0

T0 =2p (LC)½ =6,28(1,01 10-5)½ =20,0 10-3 s.

En réalité r n'est pas nulle et on a ajusté R à 350 W.
L'oscillographe branché aux bornes de R montre un régime pseudopériodique de période T=25,0 ms.
Equation différentielle relative à la charge q du condensateur :
additivité des tensions : Ldi/dt+ r i +R i+q/C = 0 avec i = dq/dt : di/dt = d2q/dt2.

Ld2q/dt2+(r+R)dq/dt+q/C=0

d2q/dt2 +(r+R)/L dq/dt + q/(LC)=0

cette équation compte un terme d'amortissement :(r+R)/L dq/dt

Résistance r de la bobine :

T= T0 ( 1-e2)-½ avec e = ½RT(C/L)½.

T2= T20 ( 1-e2)-1 ;(T0/T)2 =1-e2 ; e2 = 1-(T0/T)2 ; e = [1-(T0/T)2 ]½.

de plus e = ½RT(C/L)½ d'où : ½RT(C/L)½= [1-(T0/T)2 ]½.

RT = 2[(1-(T0/T)2) L/C]½.

RT = 2[(1-(20/25)2)*1,01/10-5]½ =381 W ; r=RT-R=381-350=31 W.

Le régime critique est obtenu quand T tend vers l'infini.

Valeur RC de R pour obtenir le régime critique :

Quand T tend vers l'infini e tend vers 1.

1= ½RT(C/L)½ ; RT=2(L/C)½ =2(1,01/10-5)½ = 636 W ; R=RT-r=636-31=605 W.
 

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