Concours kiné Limoges : viscosité d'une huile moteur : Euler 2007 |
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Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu. On filme la chute verticale d'une bille dans une huile moteur avec une caméra numérique. On désignera par m la masse de la bille, par R son rayon et par V son volume. On appellera rhuile la masse volumique de l'huile.
Inventaire des forces appliquées à la bille : - Poids, verticale, vers le bas, valeur P=mg - Poussée d'Archimède, verticale, vers le haut , valeur F= V rhuileg - Force de foottement , verticale, vers le haut, valeur f=kv. Equation différentielle du mouvement de la bille : Ecrire la deuxième loi de Newton sur un axe vertical, orienté vers le bas : mg -V rhuileg-kv = mdv/dt dv/dt = g(1-V rhuile/m)-k/m v. A= g(1-V rhuile/m) et B =k/m. dv/dt = A-Bv ; A a la dimension d'une accélération ( m s-2). B a la dimension d'une accélération divisée par une vitesse : B s'exprime en s-1. Valeur de la vitesse limite vl : dvl/dt = 0 soit A-Bvl=0 ; vl = A/B = 1,00/10,0 ; vl = 0,100 m/s. La méthode d'Euler permet
d'estimer par le calcul la valeur de la vitesse de la bille
en fonction du temps. On obtient : Dv/Dt = A+B v(t) et Dv = v(t+Dt) - v(t) ; v(t+Dt) = v(t) +Dv [Dv/Dt]t=0 =A-Bv(0) = A = 1 m/s² ; Dv=ADt =1*0,01=0,01m/s v1 = v(0) +Dv = 0+0,01 ; v1 = 0,01 m/s. [Dv/Dt]t=0,01 =A-Bv(0,01) = 1- 10*0,01 =0,9 m/s² ; Dv=0,9Dt =0,9*0,01=0,009m/s v2 = v1 +Dv = 0,01+0,009 ; v2 = 0,019 m/s. On améliore la résolution de l'équation différentielle par la méthode d'Euler en prenant un pas plus petit. Pour les vitesses faibles, la formule de Stokes donne la relation entre la force de frottement f agissant sur la bille de rayon R, la vitesse V et la viscosité h de l'huile : f = -6phRv avec h en Pa s, R en m et v en m/s. de plus
f=-kv
et B = k/m k = 6phR
; B= 6phR
/ m ; h
= Bm /(6pR). h
= 10*1,8 10-3/(6*3*2 10-3)
; h
=0,500 Pa s.
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