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Le fonctionnement d’un foil est le suivant : la poussé d’archimède associée à son volume est très faible mais lorsqu’il est immergé et que l’eau s’écoule autour de sa surface extérieure, une force de portance FZ et une force de trainée FX apparaissent. La forme du foil est optimisée afin d’obtenir une trainée faible, pour ne pas trop ralentir le bateau et une forte portance, capable de le soulever. Ces efforts hydrodynamiques sont liés àla vitesse d’avancement du voilier v par la formule suivante : FX = ½r CxSv2 ; FZ = ½r CzSv2. Les coefficients Cx et Cz sont liés à la géométrie du foil. r est la masse volumique de l’eau et S est la surface apparente immergée du foil. On étudie tout d’abord le bateau à l’arrêt. La poussée d’archimède associée aux flotteurs s’oppose dans ce cas au poids du bateau pour le maintenir en équilibre. 1 - Déterminer le volume immergé nécessaire à ce que le bateau flotte. On donne g = 10m/s2 (accélération de la pesanteur) et r = 103 Kg/m3. Le bateau est soumis à son poids et à la poussée d'Archimède. Ces deux forces sont opposées et ont le même valeur : mg = r Vim g ; Vim = m/r avec m = 6000 kg ; Vim = 6000 / 103 = 6 m3. On considère maintenant que le voilier a atteint sa vitesse critique vCR. 2 - Déduire d’une analyse dimensionnelle l’unité des coefficients Cx et Cz. FX = ½r CxSv2 donne Cx =2 FX /( r Sv2) FX : force ou masse * accélération ou masse * longueur / temps2 ; [FX]= M L T-2. r S : masse / volume * surface ou masse / longueur : [ r S ] = ML-1. v : vitesse ou longueur / temps ; [v]= LT-1 ; [v2]= L2T-2 ; [ r Sv2] = ML-1L2T-2 = M L T-2 ; Cx est sans dimension.
3 - Déterminer la relation liant la surface apparente immergée du foil (S), nécessaire pour maintenir les flotteurs hors de l’eau en fonction des données du problème. Calculer la valeur de S lorsque vCR = 25km/h et Cz = 0, 8. Le bateau est soumis, ( suivant l'axe Oz) à son poids et à la portance : ces deux forces sont opposées et ont la même valeur. mg = FZ = ½r CzSvCR2 d'où S = 2mg / (r Cz vCR2) avec vCR = 25/3,6 = 6,94 m/s S = 2*6 000*10 / ( 103*0,8 *6,942) ; S= 3,1 m2.
Les bras qui lient les flotteurs à la coque centrale ne sont pas rigides et le centre d’inertie du voilier oscille par rapport à une position d’équilibre. Le voilier étant au repos, on exerce une force de façon àa mettre sa structure en mouvement. 4 - On chronomètre 15 allers et retours du centre d’inertie du voilier. On lit la durée : 6, 12 s sur un chronomètre. Déterminer la période T0 du mouvement. T0 = 6,12 / 15 ; T0 =0,41 s. ( 0,408 s) 5 - On admet la relation T0 = 2p [m/k]½ k où m représente la masse en mouvement du voilier. A l’aide d’une analyse dimensionnelle, donner les unités de k. Que peut représenter cette grandeur ? k = 4p2m/T02 ; 4p2 est sans dimension. m : masse ne kg ; [m]= M. T02 : temps au carré : [T02]= T2. [k] = MT-2 = M L T-2 L-1= N L-1 Il s'agit d'une raideur. 6 - Lorsque le voilier est en navigation, la houle peut l’exciter. Quelle fréquence de la houle risque de faire entrer le voilier en résonance ? Il y a résonance lorsque la fréquence de la houle ( l'excitateur) est égale à la fréquence propre du voilier ( le résonateut). La fréquence propre du voilier est f = 1/T0 = 1/0,408 = 2,5 Hz.
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