concours kiné APHP chute avec frottements ; dipole RL; analogies mécanique-électrique. 2007

Etude de la chute d'une balle soumise à des forces de frottements :

On considère une balle de masse m ; cette balle est abandonnée dans l'air à l'instant t=0, sans vitesse initiale d'un point situé à une hauteur h au dessus du sol. On assimile les frottements à une seule force f = -kv.

Bilan des forces subies par la balle en faisant un schéma. ( on négligera la poussée d'Archimède).

Equation différentielle vérifiée par la vitesse de la balle :

Ecrire la deuxième loi de Newton sur un axe vertical orienté vers le bas :

mg-kv=mdv/dt.

dv/dt +k/m v = g. (1)

de la forme dv/dt + a₁ v = C avec a₁ =k/m et C = g.

Expression de t₁et de v_l :

On admet que la solution peut s'écrire sous la forme v(t) = v_l(1 - exp(-t/t₁).

dv/dt = v_l /t₁ exp(-t/t₁) : repport dans (1)

v_l /t₁ exp(-t/t₁) +k/m v_l(1 - exp(-t/t₁) = g

[v_l /t₁ -k/m v_l ] exp(-t/t₁) + k/m v_l= g

égalité vérifiée quelque soit le temps si : t₁ = m/k et si v_l= mg/k.

t₁ : constante de temps ( s) ; v_l : vitesse limite de chute (m/s).

Etude du circuit électrique permettant la modélisation :

On considère le circuit suivant, constitué d'une bobine d'inductance L et de résistance r en série avec une résistance réglable R₀ et un interrupteur K, alimenté par un générateur idéal de fem E. A l'instant t=0 on ferme l'interrupteur K.

Branchements d'un oscilloscope permettant de visualiser la tension totale U_T aux bornes du dipôle (L, r, R₀) sur la voie Y₁ et l'intensité i(t) du courant dans le circuit sur la voie Y₂ :

La tension aux bornes d'un résistor et l'intensité qui le traverse sont proportionnelles : visualiser R₀i c'est visualiser l'intensité i(t) au facteur R₀ près.
Equation différentielle régissant l'évolution de l'intensité i(t) du courant. On posera R=R₀+r.

Additivité des tensions : U_T = E =U_L + R₀i avec U_L = Ldi/dt + r i

E= Ldi/dt + (R₀+r) i = Ldi/dt + Ri

di/dt + R/L i = E/L. (2)
Expression de I₀ intensité en régime permanent :

En régime permanent l'intensité est constante et dI₀/dt=0 d'où I₀ = E/R.

La solution de cette équation différentielle est du type i(t) = A+B exp(-a₂t).

Expressions de A, B, a₂ en fonction de E, R et L :

di/dt = -Ba₂ exp(-a₂t) ; repport dans (2) :

-Ba₂ exp(-a₂t) +R/L(A+B exp(-a₂t) = E/L

B( -a₂ +R/L) exp(-a₂t)+AR/L= E/L.

Egalité vérifiée quelque soit le temps si a₂ =R/L et si A=E/R.

De plus à l'instant t=0, l'intensité est nulle d'où B=-A.

i(t) = E/R(1-exp(-R/Lt)).

Dimension de a₂ :

énergie dégagée par effet Joule E=RI²t ; R= E/(I²t) : énergie /( intensité ²*temps)

énergie stoickée par la bobine : E= ½LI² ; L= 2E/I² : énergie / intensité au carré.

donc R/L a la dimension de l'inverse d'un temps.

Expression de la tension u_L(t) aux bornes de la bobine :

U_L = Ldi/dt + r i ; en régime permanent U_L = rI₀.

Sur l'écran de l'oscilloscope, si le circuit avait été purement résistif on aurait observé une droite horizontale : U = RI₀.

La bobine s'oppose à 'établissement du courant.
Expression de l'énergie emmagasinée dans la bobine : ½LI₀². ( en régime permanent).

Les données de l'oscilloscope sont envoyées sur un logiciel de traitement des données. Après traitement on obtient à l'ordinateur la courbe suivante :

Tangente à l'origine de la courbe i(t) :

Droite passant par l'origine, d'équation y = [di/dt]_t=0 t.

Or i(t) = E/R(1-exp(-R/Lt)) ; di/dt = E/Lexp(-R/Lt) ; [di/dt]_t=0 = E/L

y = Et/L ; si y =I₀ alors t= t₂ = LI₀/E ; or I₀ = E/R d'où t₂ = L/R, constante de temps du circuit.

Principe de la simulation :

On veut simuler la chute sans vitesse d'une balle de masse m = 100 g dans le champ de pesanteur g= 10 m/s². Au bout d'une durée Dt la vitesse limite est atteinte et prend la valeur 0,25 m/s.

	grandeur mécanique	grandeur électrique
équation différentielle	dv/dt +k/m v = g	di/dt + R/L i = E/L
	vitesse (m/s)	intensité (A)
	g = 10 m/s2	E/L
	masse (kg) m = 0,1 kg	inductance L (H)
	coeficient de frottement k ( kg / s)	résistance R( W)
constante de temps(s)	m/k	L/R
	vitesse limite (m/s) vl= 0,25=mg/k k = mg/0,25 = 0,1*10/0,25 = 4 kg s-1.	intensité en régime permanent I0 = E/R

Valeur qu'il faut donner à la résistance R pour simuler le mouvement de la balle étudiée : 4 W.
Valeur de L à utiliser pour la simulation : 0,1 H.
Valeur de t pour le circuit électrique : L/R = 0,1 / 4 = 0,025 s = 25 ms.
Valeur de la fem E du générateur pour avoir la valeur de I₀ en mA donnée par le même nombre que la valeur de v_l en mm/s :

E/L = 10 soit E = 10*0,1 = 1 V.
Durée du régime transitoire Dt : 5 t = 0,125 s.

On s'interesse à l'association des formes d'énergie électrique de la simulation et des formes d'énergie mécanique. On donnera les noms et les expressions mathématiques.

	grandeur mécanique	grandeur électrique
équation différentielle	dv/dt +k/m v = g	di/dt + R/L i = E/L
	vitesse (m/s) vitesse limite vl	intensité (A) intensité en régime permanent I0
	masse (kg) m = 0,1 kg	inductance L (H)
	coeficient de frottement k ( kg / s)	résistance R( W)
	énergie cinétique : ½mv2	énergie stokée par la bobine : ½L i2
	|Puissance de la force de frottement |: ½kvl2 en régime transitoire, à la date t : ½kv2	Puissance dissipée par effet Joule : RI02 en régime transitoire, à la date t ½Ri2
	Puissance du poids : mg v	puissance du générateur idéal : E i

Dans le circuit électrique simulant la chute de la balle, les pertes d'énergie par effet Joule durant la phase transitoire Dt sont estimées à 87,5 % de l'énergie consommée.

Distance parcourue, notée d, par la balle au cours du régime transitoire :  

L'énergie stockée par la bobine correspond à 12,5 % de l'énergie consommée.

Energie stockée par la bobine durant le régime transitoire :

Pendant da durée dt : dW= Li di = L d(½i²)

Intégrer entre 0 et I₀ : W=½LI₀² = 0,5 *0,1*0,25² =3,12 10^-3 J

Par suite, l'énergie consommée vaut : 3,12 10^-3 / 0,125 = 0,025 J.

Travail moteur du poids : mgd = 0,025 J

d = 0,025/(0,1*10) = 0,025 m.