Aurélie 18/09/07
 

mathématiques ; électricité ; levier concours contrôleur affaires maritimes 2006 interne

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Une entreprise veur conditionner ses soupes de poissons dans des boîtes de conserve ayant la forme d'un cylindre de révolution et de surface S donnée ( surface latérale + surface du fond + surface du couvercle ). On note h la hauteur de la boîte et R le rayon de la base. L'unité de longueur est le centimètre.
  1. Exprimer le volume V de la boîte en fonction de R et S.
    On impose désormais que la surface de la boîte soit égale à S=150 p.
  2. Soit la fonction définie sur [0 ; 8] par V(x) = 75p x-px3.
    - Calculer V'(x) et étudier son signe.
    - Dresser le tableau de variation de V sur [0 ; 8 ]
  3. Déterminer R pour que le volume de la boîte soit maximum.
    - Quel est alors le volume de la boîte et sa hauteur.
    réponse :

    Volume de la boîte V = section * hauteur = V= p R2 h.
Or S= surface latérale + surface du fond + surface du couvercle = 2 pR h + p R2 + p R2 ;

S= 2 pR h + 2 p R2 donne : h = (S-2 p R2 ) / 2 pR

V= p R2 h. s'écrit : V= ½ R (S-2 p R2 ).

Si S=150 p le volume V s'écrit : V= ½R ( 150p -2pR2)

V = 75pR-pR3.

La dérivée V'(x) s'écrit : V'(x) = 75p - 3px2.

V'(x) = 0 si 75p - 3px2 = 0 ; 25 = x2 ; x = +5 et x = -5, (valeur exclue sur l'intervalle d'étude ).

La dérivée est positive sur [ 0 ; +5 ]
x
0

5

8
V'
positive
0
négative
V
0 .....................croissante
250 p
décroissante................88 p
Le volume de la boîte est maximum si R = 5 cm.
V= 250 * 3,14 = 785 cm3.

 hauteur : V/ ( pR2 ) = 250 / 25 = 10 cm.
Soit un triangle ABC avec AB= c, AC=b, BC=a, et l'angle (AB, AC)= a. Exprimer a2 en fonction de b, c et a.

réponse :

Une vedette partant d'un point M va intercepter un bateau en N à 6 km vers l'est puis va à 2 km vers le nord est récupérer un colis jeté à l'eau en P et ensuite revient directement en M. Que vaut la distance PM ?

On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,01 km près.

réponse :

PM2 = MN2 + NP2 - 2MN*NP cos 135

cos 135 = -0,5* racine carrée (2) = -0,5*2½

PM2 =36 + 4-2*6*2 (-0,5*2½)

PM2 =40+12*2½ ; PM= [40+12*2½]½

PM= [40 * 12*1,414]½ = 56,968½ =7,55 km.

 
 
Electricité :

Soit le circuit représenté ci-dessous :
En appliquant la loi des noeuds, donner la relation liant I0, I1, I2.

Soit U la tension aux bornes de R1 et/ou R2. Appliquer la loi d'Ohm à R1 puis à R2 et exprimer U en fonction de R1, R2 et I0.

Exprimer I1 et I2 en fonction de R1, R2 et I0.

Calculer I1 et I2 si I0 = 8 A, R1 = 150 W et R2 = 50 W.

réponse :

Relation entre les intensités ( loi des noeuds) : I0= I1+ I2 (1)

Loi d'Ohm : U= R1 I1 soit I1 = U/R1.

U= R2 I2 soit I2 = U/R2.

Repport dans (1) : I0 = U [1/R1+ 1 / R2] = U(R1+R2) / (R1R2)

U= I0R1R2 / (R1+R2).

I1 = U/R1 = I0R2 / (R1+R2) = 8*50/200 =2 A.

I2 = U/R2 = I0R1 / (R1+R2) = 8*150/200 =6 A.

Le système suivant est constitué d'une barre rigide ED ( levier) dont le point d'appui se trouve en A. Déterminer la force verticale fa qu'il faut appliquer sur la barre rigide en D pour supporter une charge P=120 N. On ne tiendra pas compte du poids de la barre ( levier)
réponse :

Effet de rotation de P appliquée en E : P*EA = 120 * 3 = 360 Nm.

Effet de rotation de fa appliquée en D : fa AB =5,369fa

Le bras de levier est AB = AD cos 30 = 6,2*0,866 = 5,369 m

Ecrire que les deux effets de rotation des forces se neutralisent :

5,369 fa = 360 soit fa =360/5,392 = 67 N.

 
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