Concours Capes interne : des isotopes du phosphore 2007

Aurélie 27/04/07

Données : 1 u = 1,660 5 10^-27 kg ; 1 eV= 1,602 18 10^-19 J ; c = 2,997 92 10⁸ m/s.

m(proton) =1,00728 u ; m(neutron) = 1,00866 u ; m(électron) = 5,5 10^-4 u ; m(³⁰₁₅P)=29,970 06 u ; m(³²₁₅P)=31,965 68 u ;

Energie de liaison par nucléon du phosphore 31 : E_l/A=8,48 MeV/nucléon

₁₁Na ; ₁₂Mg ; ₁₃Al ; ₁₄Si ; ₁₅P ; ₁₆S ; ₁₇Cl.

Découverte de la radioactivité artificielle :

En 1934, irène et Frédéric Joliot-Curie ont synthétisé du phosphore 30 (³⁰₁₅P) en bombardant de l'aluminium 27 avec des particules alpha.

Le phosphore 30 se désintègre par émission béta en silicium 30, un isotope stable.

I. Equations des réactions nucléaires :

Rappeler la composition du noyau de phosphore 30.
Qu'appelle t-on particule béta ?
Définir le terme isotope.
Enoncer les lois de conservation qui régissent une réaction nucléaire.
Ecrire l'équation de la réaction nucléaire permettant la formation du phosphore 30 sachant qu'une petite particule est émise. Identifier cette particule.
Ecrire l'équation de la désintégration radioactive du phosphore 30. Des deux types de radioactivité béta, lequel est ici mis en jeu ? Quel est le nom de la particule émise ?

II. Stabilité du phosphore 30 :

Donner la définition de l'unité de masse atomique.
Donner la définition de l'énergie de liaison E_l d'un noyau.
Calculer en kg, le défaut de masse Dm d'un noyau de phosphore 30.
Quelle relation lie l'énergie de liaison et le défaut de masse ?
Calculer en joule, puis en MeV, l'énergie de liaison de ce noyau. En déduire l'énergie de liaison par nucléon.
Comparer cette valeur à celle de l'énergie de liaiso par nucléon du phosphore 31. Conclure.

III. Le phosphore 32 en médecine :

Le phosphore 32, isotope radioactif artificiel est utilisé en médecine nucléaire. Le phosphore 32 émet un rayonnement b^- dont l'énergie est 1,71 MeV. Son pouvoir de pénétration est très faible : il n'agit que sur 1 à 2 mm. Sa demi-vie est t_½=14,28 jours.

Il se présente sous forme d'une solution d'hydrogénophosphate de sodium qui s'injecte par voie veineuse pour traiter la polyglobulie primitive ( maladie de Vaquez). Il se fixe effectivement sur les globules rouges car il suit le métabolisme du fer, abondant dans ces globules et son rayonnement détruit les hématies en excès.

Ecrire l'équation de désintégration radioactive du phosphore 32.
Donner la définition de la demi-vie.
Sachant que la variation du nombre de noyaux DN(t) pendant un intervalle de temps D t est proportionnelle aux nombre de noyaux N(t) :
- Montrer que N(t) = N₀ exp(-lt) avec l constante radioactive du radionucléide.
- En déduire l'unité S.I de la constante radiactive.
- Retrouver la relation entre l et t_½. En déduire la valeur de l.
Donner la définition de l'activité A(t) d'un échantillon radioactif. Donner son expression en fonction du temps en faisant apparaître la constante radioactive l. Quelle est l'unité S.I de l'activité ?
Lors d'un traitement, un patient reçoit par voie intraveineuse une solution de phosphate de sodium contenant une masse m₀ = 10,0 ng de phosphore 32.
- Calculer la quantité initiale N₀ de noyaux et l'activité initiale A₀ de cet échantillon.
- Déterminer l'instant t₁ où l'activité sera divisée par 10.
- En réalité, à l'instant t₁ l'activité est beaucoup plus faible. Pourquoi ?

I. Equations des réactions nucléaires :

Composition du noyau de phosphore 30 : (³⁰₁₅P)

15 protons ; 30-15 =15 neutrons

Particule béta : électron ⁰_-1e ou positon ⁰₁e

Isotope : deux noyaux isotopes ne diffèrent que par leur nombre de neutrons.

Lois de conservation qui régissent une réaction nucléaire :

Conservation du nombre de nucléons ; conservation de la charge.

Conservation de l'énergie ( la masse est une forme de lénergie).

Equation de la réaction nucléaire permettant la formation du phosphore 30 :

²⁷₁₃Al + ⁴₂He ---> ³⁰₁₅P + ^A_ZX.

27+4 = 30 +A d'où A= 1 ; 13+2 = 15 +Z d'où Z= 0 ; X est donc un neutron ¹₀n.

Equation de la désintégration radioactive du phosphore 30 :

³⁰₁₅P---> ³⁰₁₄Si + ^A'_Z'X'.

30 = 30 + A' soit A'=0 ; 15 = 14 +Z' soit Z' = 1 ; X' est donc un positon ⁰₁e. (radioactivité béta⁺)

II. Stabilité du phosphore 30 :

Unité de masse atomique : 1/12 de la masse d'un atome de carbone 12.

On appelle énergie de liaison notée E_l d'un noyau l'énergie que doit fournir le milieu extérieur pour séparer ce noyau au repos en ses nucléons libres au repos.

Défaut de masse Dm d'un noyau de phosphore 30 :

Dm = m(³⁰₁₅P) - 15 m(proton) -15m(neutron) = 29,970 06-15( 1,00728 +1,00866)

Dm = -0,26904 u soit -0,26904 *1,660 5 10^-27 = -4,4674 10^-28 kg.

Energie de liaison de ce noyau : E_l = |Dm| c².

E_l =4,4674 10^-28* (2,997 92 10⁸)²=4,015 10^-11 J

4,015 10^-11 / 1,60218 10^-19 = 2,506 10⁸ eV = 250,6 MeV.

Energie de liaison par nucléon : 250,6 / 30 = 8,35 MeV/nucléon.

Energie de liaison par nucléon du phosphore 31 : E_l/A=8,48 MeV/nucléon

Le phosphore 30 est donc moins stable que le phosphore 31.

III. Le phosphore 32 en médecine :

Equation de désintégration radioactive du phosphore 32 :

³²₁₅P---> ⁰_-1e + ^A'_Z'X'.

32 = 0 + A' soit A'=32 ; 15 = -1 +Z' soit Z' = 16 ; X' est donc ³²₁₆S.

Définition de la demi-vie :

Durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initiaux se sont désintègrés.

DN(t) / D t =-l N(t) ; DN(t) / N(t) = -lD t

par intégration il vient : ln(N(t) = -l t + constante.

à t=0 N(0) = N₀ et la constante vaut ln N₀:

ln(N(t) = -l t +ln N₀; ln[(N(t)/N₀] =-l t
N(t) = N₀ exp(-lt) avec l constante radioactive du radionucléide.
Unité S.I de la constante radiactive :

exp(-lt) est sans dimension donc l est l'inverse d'un temps :[l]= T^-1.
Relation entre l et t_½ :

à t=t_½, N(t_½) = 0,5 N₀ et ln[(N(t)/N₀] =-l t :

ln(0,5) = -ln 2 = -lt_½ ; l = ln2 / t_½.

Valeur de l : l = ln2 / (14,28*24*3600); l = 5,618 10^-7 s^-1.

Définition de l'activité A(t) d'un échantillon radioactif :

L'activité d'une source radioactive est égale au nombre moyen de désintégrations par seconde dans l'échantillon. Elle s'exprime en becquerels dont le symbole est Bq (1Bq=1 désintégration par seconde).

A(t) = -dN(t) / dt avec N(t) = N₀ exp(-lt)

-dN(t) / dt = N₀lexp(-lt) ; A(t) = N₀lexp(-lt).

Lors d'un traitement, un patient reçoit par voie intraveineuse une solution de phosphate de sodium contenant une masse m₀ = 10,0 ng de phosphore 32.
Quantité initiale N₀ de noyaux :

m(³²₁₅P)=31,965 68 * 1,660 5 10^-27 =5,3079 10^-26 kg ; m₀ = 10,0 10^-12 kg.

N₀ = m₀ / m(³²₁₅P)= 10,0 10^-12/5,3079 10^-26 ; N₀ = 1,88 10¹³.

Activité initiale A₀ de cet échantillon : A₀ = N₀l

A₀ = 1,88 10¹³ * 5,618 10^-7; A₀ = 1,06 10⁷ Bq.
Instant t₁ où l'activité sera divisée par 10 :

A(t) = A₀exp(-lt).

A(t₁) / A₀ = 0,1=exp(-lt₁) ; ln 0,1 = -lt₁ ; t₁ = ln 0,1/( -l) = 4,10 10⁶ s ; t₁ =47,4 jours.
En réalité, à l'instant t₁ l'activité est beaucoup plus faible : .....................

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