Aurélie 18/10/06
 

CAPES physique chimie ( d'après concours 2000) La résonance paramétrique

 

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Depuis des siècles, en la cathédrale de St Jacques de Compostelle, un très gros encensoir d'une cinquantaine de kilogrammes accroché à une corde d'une vingtaine de mètres, est mis en oscillation. Il est manipulé par huit hommes et atteint une amplitude de 80 °. On se propose de modéliser le comportement de ce système.
On considère un pendule simple de longueur variable l(t), réalisé à l'aide d'un fil inextensibleMON coulissant à travers d'un anneau en O. Son extrémité N est animée d'un mouvement sinusoïdal de faible amplitude de sorte que :

OM(t) = l(t)=l0(1+e cos(Wt)) avec e <<1.

On agit ansi périodiquement sur la longueur OM du pendule
  1. Donner l'expression du moment cinétique du pendule par rapport à O.
    - En appliquant le théorème du moment cinétique, établir l'équation différentielle du mouvement.
    - Montrer qu'en se limitant aux termes du second ordre, et en posant w02=g/ l0, on obtient l'équation :
  2. Par une approche énergétique on peut déterminer la condition de résonance. Un solution approchée de l'élongation angulaire q(t) peut se mettre sous la forme : q(t) =A(t) cos (w0t+j). La variation de A(t) avec le temps étant faible, on peut écrire dA/dt<<w0A/(2p)
    On suppose de plus que l'énergie mécanique E est proportionnelle au carré A2 de l'amplitude A.
    - Dans ces conditions montrer que l'on peut écrire :

    - On se propose de calculer la moyenne de 1/E dE/dt.
    Calculer la moyenne du second membre de l'équation dans les deux cas suivants : W différent de 2w0 ; W = 2w0 ; montrer que dans ce deuxième cas l'énergie croît exponentiellement. C'est le phénomène de résonance paramétrique.

 corrigé
Expression du moment cinétique du pendule par rapport à O :

(1) : j'exprime le moment cinétique

La masse m est soumise à deux forces : la tension du fil et son poids :

(2) Le moment, par rapport à O, de la tension est nul : cette force rencontre le point O.

(3) : j'exprime le moment en O du poids.

(4) : j'applique le théorème du moment cinétique
En appliquant le théorème du moment cinétique, j'établis l'équation différentielle du mouvement :

(4) donne l'équation différentielle vérifiée par l'angle q(t) en fonction du temps : q " + 2l '/l q '+ g /l sin q = 0.

or l(t)=l0(1+e cos(Wt)) avec e <<1 ; l ' = - l0e W sin(Wt)

or e <<1 d'où 1/ l = 1/(l0(1+e cos(Wt))) proche de : (1-e cos(Wt))/l0

d'où :q " -2 e W sin(Wt)(1-e cos(Wt)) q '+ g /l0 (1-e cos(Wt)) sin q = 0.

pour les petites oscillations q proche sin q ; et en posant w02=g/ l0, on obtient l'équation :

q " + w02 q - (1-e cos(Wt)) [ 2 e W sin(Wt) q ' ]- w02 q e cos(Wt) = 0.

Développer en négligeant le terme en e2 : q " + w02 q -2 e W sin(Wt) q ' -w02eq cos(Wt)=0

q " + w02 q = e[2W sin(Wt) q ' + w02q cos(Wt)]

en multipliant chaque terme par q ' : q " q ' +w02 q q ' = e[2W sin(Wt) q '2 + w02q q ' cos(Wt)]

Or q " q ' + w02 q q ' =d/dt[½q '2+ ½w02q2]

d'où :

Par une approche énergétique on peut déterminer la condition de résonance :

Un solution approchée de l'élongation angulaire q(t) peut se mettre sous la forme : q(t) =A(t) cos (w0t+j).

q ' = -Aw0sin (w0t+j) + A' cos (w0t+j).

La variation de A(t) avec le temps étant faible, on peut écrire dA/dt<<w0A/(2p) : d'où q ' = -Aw0sin (w0t+j)

repport dans [ ½q '2+ ½w02q2] :

½A2w02sin2 (w0t+j) +½A2w02cos2 (w0t+j) = ½A2w02

par suite : d/dt [ ½q '2+ ½w02q2] = ½w02dA2/dt = e[2W sin(Wt) q '2 + w02q q ' cos(Wt)]

avec q =A(t) cos (w0t+j) et q ' = -Aw0sin (w0t+j) , d'où :

½w02dA2/dt = e[2A2w02W sin(Wt) sin2 (w0t+j) - w03A2 cos (w0t+j)sin (w0t+j) cos(Wt)]

or cos (w0t+j)sin (w0t+j) = ½ sin (2w0t+2j) et 2sin2 (w0t+j)= 1-cos (2w0t+2j)

par suite : ½w02dA2/dt = ½ eA2w02 [2W sin(Wt)(1-cos (2w0t+2j)) - w0 sin (2w0t+2j)cos(Wt)]

de plus : sin(Wt)cos (2w0t+2j) = ½[sin(Wt+2w0t+2j )+ sin(Wt-2w0t-2j )]

et sin (2w0t+2j)cos(Wt) = ½[sin(Wt+2w0t+2j )+ sin(2w0t+2j-Wt )]

en conséquence : ½w02dA2/dt = ½ eA2w02 [2Wsin(Wt) -W(sin(Wt+2w0t+2j )-W( sin(Wt-2w0t-2j ))-½ w0(sin(Wt+2w0t+2j )+ sin(2w0t+2j-Wt ))]

or sin(2w0t+2j-Wt ) = -sin(Wt-2w0t-2j )

½w02dA2/dt = ½ eA2w02 [2W( sin(Wt)-( ½ w0+W) sin(Wt+2w0t+2j )- ( ½ w0-W)sin(Wt-2w0t-2j )]

dA2/dt = e A2 [2W( sin(Wt)-( ½ w0+W) sin(Wt+2w0t+2j )- ( ½ w0-W)sin(Wt-2w0t-2j )]

On suppose de plus que l'énergie mécanique E est proportionnelle au carré A2 de l'amplitude A.

E= kA2 avec k une constante ; dE2/dt= 2EdE/dt = kdA2/dt

2EdE/dt = e E2 [2W( sin(Wt)-( ½ w0+W) sin(Wt+2w0t+2j )- ( ½ w0-W)sin(Wt-2w0t-2j )]

soit :

Calcul de la moyenne de 1/E dE/dt :

W différent de 2w0 :

la moyenne d'une fonction sinus est nulle : dE/E est nulle ; l'énergie mécanique de l'oscillateur est constante.

W égal à 2w0 :

1/EdE/dt = e [2W( sin(Wt)- 2,5 w0 sin(4w0t+2j )]

<sin(Wt)> = 0 ; <sin(4w0t+2j )>= sin (2j)

<1/EdE/dt>=e 2,5 w0 sin (2j)= b= constante

<dE/dt>= b <E> ; solution du type : <E> = ebt.

L'énergie croît exponentiellement. C'est le phénomène de résonance paramétrique.

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