Aurélie 02/06
 

Montgolfière ( concours ENSAIT 01)

statique des fluides

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Pression au sol P0= 105 Pa ; g= 9,8 m/s² ; M(air) = 28,9 g/mol ; R= 8,31 JK-1mol-1. Masse de l'enveloppe et de la nacelle m= 800 kg.

  1. Quelle est la pression P à l'altitude z ? Température de l'atmosphère T= 280 K. ( l'altitude z=0 est prise au niveau de la mer)
  2. La montgolfière contient V= 3000 m3 d'air chauffé par un brûleur à gaz ; la température de cet air chaud, noté Ti est supérieure à la température de l'air extérieur, notée T. Donner l'expression de la force ascensionnelle F en fonction de m, M, V, T, Ti, R et P.
  3. Calculer Ti au début du décollage.
  4. Si Ti = 380 K quelles sont la pression initiale à l'intérieur du ballon et l’altitude atteinte par la montgolfière
  5. Pour la même quantité de gaz brûlé, la durée du vol est-elle la même le jour et la nuit ?

 

corrigé
Equation d'état de l'air considéré comme un gaz parfait :

P V = mair RT / Mair ;

d'où la masse volumique de l'air : m= mair / V = PMair / (RT) (1)

relation fondamentale de la statique des fluides : ( on écrit les vecteurs en gras et en bleu)

grad P= mg.

en projection sur l'axe (Oz) vertical, orienté vers le haut : dP/dz = -mg .(2)

en tenant compte de (1) la relation (2) s'écrit : dP/dz = - gPMair /(RT )

séparer les variables : dP/P = - gMair /(RT ) dz

intégrer entre les altitudes z=0 et z : ln (P/P0) = - gMair z /(RT )

masse d'air contenue dans la montgolfière : P V = mairRTi / M donne : mair = P VM / (RTi )

poids de l'enveloppe + nacelle + air chaud : P= (m+mair)g, verticale vers le bas.

Poussée d'Archimède = poids du volume d'air déplacé = P V M g / (RT ), verticale vers le haut

La force ascensionnelle F est égale à la différence entre la poussée et le poids:

F=[ P VM / (RT ) - (m+mair)] g = [ P V M/ (RT ) - (m+P VM / (RTi ))] g

F= [P V M/ R ( 1/T-1/Ti )-m ] g.

Quand la montgolfière va commencer à décoller, F est voisine de zéro. ( le poids a même valeur que la poussée)

0=[P V M/ R ( 1/T-1/Ti )-m ] g soit P V M/ R ( 1/T-1/Ti )=m

1/T-1/Ti = mR/(P V M) ; 1/Ti =1/T-mR/(P V M)

1/Ti = 1/280 -800*8,31 / (0,0289 105*3000)=3,57 10-3 -7,75 10-4 = 2,8 10-3 ; Ti= 1/2,8 10-3 = 358 K.

pression initiale à l'intérieur du ballon et altitude atteinte par la montgolfière :

calcul de la pression à l'intérieur de la mongolfière à Ti= 380 K , au moment où le ballon va décoller :

0=[P V M/ R ( 1/T-1/Ti )-m ] g d'où : P V M/ R ( 1/T-1/Ti )= m ; P= m R / [VM( 1/T-1/Ti )]

1/T-1/Ti = 1/280-1/380=3,57 10-3 -2,63 10-3 = 9,38 10-4; P= 800*8,31 / [3000*0,0289*9,38 10-4)= 8,17 104 Pa.

ln (P/P0) = - gMair z /(RT ) d'où z = RT ln (P0/P) / (gMair)

ln (P0/P) = ln(1/0,817) =0,202 ; z = 8,31*280*0,202/(9,81*0,0289) =1,66 103 m = 1,66 km.

Le jour, le soleil chauffe la montgolfière : la consommation de gaz étant plus faible le jour, le vol peut durer plus longtemps que le vol de nuit.
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