d'après concours manipulateur électroradiologie médicale Toulouse 2006

Aurélie 05/06

Transformations nucléaires. (12 pts)

Données : M(C)=12,0 g/mol ; N_A= 6,02 10²³ mol^-1 ; ln 2 = 0,69 ; ln 1,64 10^-2 = -4,1.

Dans la nature l'élément carbone possède deux noyaux isotopes: le carbone 12 noté ¹²₆C et le carbone 14 noté ¹⁴₆C. Le carbone 14 se forme dans la haute atmosphère à la suite d'un choc entre un neutron et un noyau d'azote 14 : ¹⁴₇N. Ce carbone 14 est radioactif b^- et a un temps de demi-vie égal à 5570 ans.

On note l la constante radioactive du carbone 14. On note N(t) le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant t dans l'échantillon. L'activité d'un échantillon radioactif A(t) est le nombre de désintégrations qu'il produit par unité de temps soit A(t) = -dN(t) / dt.

Dans la matière vivante, les échanges d'élément carbone entre l'organisme végétal ou animal et l'air atmosphérique font que le rapport N(carbone14) / N(carbone 12) est constant. A la mort de l'être vivant, ces échanges prennent fin ce qui entraîne la décroissance de ce rapport. Dans 200 g d'os d'un être vivant, il y a 1,0 g de carbone et on mesure 15 désintégrations par minute.

Après avoir énoncé les lois utilisées, écrire l'équation de la réaction nucléaire correspondant à la formation du carbone 14 dans l'atmosphère. Quelle est la seconde particule formée ?
Définir la radioactivité.
- Ecrire l'équation de la désintégration b^- du carbone 14.
Exprimer A(t) en fonction de N(t) et l.
- En déduire l'équation différentielle vérifiée par le nombre N(t) de noyaux.
Vérifier que l'expression N(t) = N₀ exp(-lt) est solution de cette équation.
Définir le temps de demi-vie.
- A un instant pris comme origine des temps, l'activité d'un échantillon est notée A₀. Exprimer en fonction de A₀, l'activité de cet échantillon aux instants t_½, 2 _½, 3_½, 4_½, et 5_½.
Tracer l'allure de la courbe représentant l'évolution de l'activité de l'échantillon en fonction du temps. Déduire des questions 3 et 4 l'équation de la courbe obtenue.
Etablir la relation entre l et t½. Calculer l pour le carbone 14 et préciser son unité.
Dans 200 g d'os trouvés sur un site archéologique, l'analyse montre que le rapport N/N₀=1,64 10^-2. Clalculer l'âge T de ces ossements en justifiant.
Quelle est en Bq l'activité de ces ossements ?
- Quel est le nombre N₀de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon ?
En supposant qu'il n'y ait que des noyaux de carbone 12 dans l'échantillon, quel est le nombre total de noyaux de carbone dans 200 g d'os ? Comparer ce nombre à N₀ et commenter ce résultat.

corrigé

équation de la réaction nucléaire correspondant à la formation du carbone 14 dans l'atmosphère :

¹⁴₇N + ¹₀n = ^A_ZX +¹⁴₆C

conservation du nombre de nucléons : 14 +1= A+14 soit A= 1.

conservation de la charge : 7=Z+6 soit Z= 1 , donc X est un noyau hydrogène¹₁H ou proton

radioactivité :

Un noyau radioactif est un noyau instable dont la désintégration (destruction) aléatoire s'accompagne:

L'apparition d'un nouveau noyau
L'émission d'une particule notée a, b^- ou b⁺
L'émission d'un rayonnement électromagnétique noté g.

La radioactivité est une réaction dite nucléaire car elle concerne le noyau de l'atome alors que les réactions chimiques ne concernent que le cortège électronique sans modifier le noyau.

équation de la désintégration b^- du carbone 14 :

¹⁴₆C = ^A_ZX + ⁰_-1e

conservation de la charge : 6=Z-1 soit Z= 7 , donc X est l'élément azote N

conservation du nombre de nucléons : 14 = A+0 soit A= 14.

A(t) en fonction de N(t) et l : A(t) = l N(t)

équation différentielle vérifiée par le nombre N(t) de noyaux :

A(t) = -dN(t)/dt et A(t) = l N(t)

d'où : dN(t)/dt + l N(t) =0 (1)

N(t) = N₀ exp(-lt) ; dériver par rapport au temps : dN(t)/dt = -lN₀ exp(-lt) = -lN(t)

repport dans (1) : -lN(t) + l N(t) =0 est vérifié pout tout t

donc N(t) = N₀ exp(-lt) est solution de (1).

temps de demi-vie :

La demi-vie radioactive,(ou période) notée t½, d'un échantillon de noyaux radioactifs est égale à la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initiaux se sont désintègrés.

activité de cet échantillon aux instants t_½, 2 _½, 3_½, 4_½, et 5_½ :

A(t_½) = A₀/2 ; A(2t_½) = A₀/2² ; A(3t_½) = A₀/2³ ; A(4t_½) = A₀/2⁴ ; A(5t_½) = A₀/2⁵ .

de même A(t) =A₀ exp (-lt)

relation entre l et t½ :

à t = t½, A(t½) = ½A₀ = A₀ exp (-lt½) ; 0,5 = exp (-lt½) ; ln 0,5 = -lt½ ; ln2 = lt½

dans le cas du carbone 14 : l= ln2/t½ = 0,69 / 5570 =1,24 10^-4 an^-1.

ou bien 0,69/(5570*365*24*3600) = 3,93 10^-12 s^-1.

l'âge T de ces ossements :

N/N₀=1,64 10^-2; d'autre part N/N₀=exp(-lT)

ln 1,64 10^-2 = -4,1 = -lT ; T= 4,1 / l= 4,1 / 1,24 10^-4 =3,30 10⁴ ans.

activité de ces ossements :

Dans 200 g d'os d'un être vivant, il y a 1,0 g de carbone et on mesure 15 désintégrations par minute ; A₀ = 15/60 = 0,25 Bq.

A(t)/A₀=1,64 10^-2; A(t) = 1,64 10^-2A₀=1,64 10^-2*0,25 =4,1 10^-3 Bq.

nombre N₀de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon :

A₀ = l N₀ ; N₀ = A₀ / l = 4,1 10^-3/ 3,93 10^-12=1,0 10⁹ noyaux de carbone 14.

En supposant qu'il n'y ait que des noyaux de carbone 12 dans l'échantillon, nombre total de noyaux de carbone dans 200 g d'os :

masse de carbone (g) / masse molaire (g/mol) = 1/ 12 mol de carbone 12

puis 1/12 N_A =6,02 10²³/12 = 5,0 10²² noyaux de carbone12, valeur très supériuere à N₀.

acide éthanoïque (8 pts)

Formule de l'acide éthanoïque CH₃-COOH.

Conductivité molaire ionique ( S m² mol^-1) : l _H3O+ =35 10^-3 ; l _CH3COo- =4,1 10^-3 .

Matériel : éprouvette graduée de 50 mL et 100 mL ; fioles jaugées de 50,0mL, 100,0 mL, 200,0 mL ; burette de 25,0 mL ; pipettes graduées de 5 mL et 10 mL ; pipettes jaugées de 5,0 mL ; 10,0 mL et 20,0 mL.

La réaction entre l'acide éthanoïque et l'eau n'est pas totale. On se propose d'étudier l'influence de la dilution sur le taux d'avancement final de cette réaction et sur le quotient de réaction à l'équilibre Q_{r éq}. On dispose au départ d'une solution aqueuse S₁ d'acide éthanoïque de concentration c₁ = 1,00 10^-1 mol/L. A partir de cette solution on fabrique une solution S₂ dix fois plus diluée que S₁ et une solution S₃ de concentration c₃= 5,00 10^-3 mol/L.

Pour les mesures de conductivités on utilise le même volume V de chaque solution.

Choisir dans la liste ci-dessus le matériel nécessaire pour fabriquer S₂ en justifiant. Préciser la valeur de c₂.
Ecrire l'équation chimique de la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau.
Expliquer ce que représente l'avancement maximal. Exprimer l'avancement maximal x_max en fonction de "c" concentration de la solution et V, volume de la solution. ( utiliser un tableau d'avancement).
Exprimer la conductivité s de la solution en fonction de la concentration en ion oxonium [H₃O⁺]_éq et des conductivités molaires ioniques des ions.
- En déduire l'expression permettant de calculer [H₃O⁺]_éqà partir de s.
Définir le taux d'avancement final de la réaction étudiée.
- L'exprimer en fonction de [H₃O⁺]_éqet de la concentration en soluté apporté c.
Exprimer le quotient de réaction à l'équilibre Q_r
éq en fonction de [H₃O⁺]_éqet de la concentration en soluté apporté c.
Que peut-on dire de l'influence de la dilution sur le taux d'avancement final de la réaction étudiée et sur la dissociation de l'acide dans l'eau ?
Que peut-on dire de l'influence de la dilution sur le quotient de réaction à l'équilibre Q_{r éq} ?
Comment appelle t-on ce quotient de réaction à l'équilibre ?

corrigé

matériel nécessaire pour fabriquer S₂ :

le facteur de dilution est égal à F=10.

de plus F= volume de la fiole jaugée / volume de la pipette jaugée = 10

d'où : fiole jaugée 50,0mL et pipette jaugée 5,0 mL; ou fiole jaugée 100,0mL et pipette jaugée 10,0 mL; ou fiole jaugée 200,0mL et pipette jaugée 20,0 mL.

valeur de c₂ = c₁/10 = 1,00 10^-2 mol/L.

équation chimique de la réaction de l'acide éthanoïque avec l'eau :

CH₃COOH + H₂O =CH₃COO^-+ H₃O⁺.

avancement maximal : x_max

pour une réaction totale, l'avancement maximal est égal à la quantité de matière (mol) du réactif limittant ; lorsque l'avancement maximal est atteint, la réaction s'arrête du fait du défaut d'un réactif.

avancement (mol) CH₃COOH + H₂O =CH₃COO^- + H₃O⁺

initial 0 cV solvant en grand excès 0 0

en cours x cV-x x x

final x_max cV-x_max x_max x_max

si CH₃COOH en défaut : cV-x_max =0 soit x_max = cV.

conductivité s de la solution en fonction de la concentration en ion oxonium [H₃O⁺]_éq et des conductivités molaires ioniques des ions :

s = l _H3O+ [H₃O⁺]_éq + l _CH3COo-[CH₃COO^-]_éq

la solution est électriquement neutre d'où : [H₃O⁺]_éq =[CH₃COO^-]_éq

par suite s =(l _H3O+ + l _CH3COo-) [H₃O⁺]_éq

[H₃O⁺]_éq= s /(l _H3O+ + l _CH3COO-) = s /(35 10^-3 + 4,1 10^-3) = 1000s /39,1 mol m^-3.

l _H3O+ =35 10^-3 ; l _CH3COo- =4,1 10^-3 .

taux d'avancement final de la réaction étudiée : t = x_fin / x_max.

x_fin = [H₃O⁺]_éqV ; x_max = cV ; t =[H₃O⁺]_éq/c.

quotient de réaction à l'équilibre Q_r
éq en fonction de [H₃O⁺]_éqet de la concentration en soluté apporté c :

Q_{r éq} = [H₃O⁺]_éq [CH₃COO^-]_éq / [CH₃COOH]_éq =[H₃O⁺]_éq² /[CH₃COOH]_éq

conservation de l'élément carbone : [CH₃COOH]_éq + [CH₃COO^-]_éq = c

d'où [CH₃COOH]_éq = c-[CH₃COO^-]_éq =c-[H₃O⁺]_éq

par suite : Q_{r éq} =[H₃O⁺]_éq² /(c-[H₃O⁺]_éq)

Influence de la dilution sur le taux d'avancement final de la réaction étudiée et sur la dissociation de l'acide dans l'eau :

en ajoutant de l'eau ( dilution, on déplace l'équilibre dans le sens consommation de l'eau ( donc dans le sens direct); il se forme davantage d' ions H₃O⁺

L'acide est plus dissocié ; le taux d'avancement final se rapproche de 1.

influence de la dilution sur le quotient de réaction à l'équilibre Q_{r éq} :
Q_{r éq} ou constante d'acidité K_a du couple ( acide éthanoïque / ion éthanoate) ne dépend que de la température ( et non pas de la dilution).

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