Aurélie 06/12/06
Satellite ; loi de Kepler ; diffraction ; RC ; Euler : d'après concours technicien équipement 2005

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Satellite de la Terre (6 points) :

On étudie le mouvement d'unsatellite de la Terre dans le référentiel géocentrique. On admet que le satellite est à symétrie sphérique de masse m et que le mouvement de son centre d'inertie est circulaire uniforme, le rayon de cette trajectoire est noté R.

  1. Rappeler la définition du référentiel géocentrique. Pouquoi ne peut-on faire cette étude dans le référentiel terestre ?
  2. Exprimer la valeur de la force de gravitation à laquelle est soumise le satellite sur son orbite circulaire en fonction des données. Représenter le vecteur force sur un schéma la Terre et le satellite à une altitude h non nulle.
  3. Montrer que le mouvement circulaire uniforme satisfait à la deuxième loi de Newton dont on rappellera l'énoncé, et que la période de révolution T du satellite vérifie la relation T2 = kR3, où k représente une constante que l'on exprimera en fonction des données. Calculer k et préciser son unité.

La troisième loi de Kepler :

On appelle satellite à basse altitude un satellite dont on peut négliger l'altitude h devant le rayon de la Terre.

satellite à basse altitude
Météostat
Spot
satellite géostationnaire
période T (min)

1430
101

rayon de l'orbite

42100
7200

  1. Montrer que les satellites Spot et Météostat vérifient la troisième loi de Kepler. En déduire la valeur de k et la comparer à celle de la question précédente.
  2. Donner la définition d'un satellite géostationnaire.
  3. Compléter le tableau

Satellisation :

On se propose d'étudier les conditions optimales de lancement d'un satellite à basse altitude.

  1. Rappeler le sens de rotation de la Terre.
  2. Déterminer dans le référentiel géocentrique, la vitesse v0 d'un point de la surface de la Terre situé à l'équateur et préciser les caractéristiques de ce vecteur vitesse.
  3. Quelle est dans le référentiel géocentrique, la vitesse du satellite avant le décollage du lanceur chargé de le placer en orbite ?
  4. Quelle doit être dans le référentiel géocentrique, la vitesse du satellite placé en orbite ?
  5. Quelle est la meilleur localisation sur Terre pour la base de lancement ainsi que le sens de rotation du satellite sur son orbite permettant de minimiser l'énergie nécessaire ?

masse de la terre MT= 5,98 1024 kg ; rayon de la Terre RT= 6380 km ; G= 6,67 10-11 N kg-2 m2 ; jour sidéral TS= 23 h 56 min.


corrigé
Définition du référentiel géocentrique : le référentiel est la Terre.

L'origine du repère est le centre de la Terre et les trois axes pointent vers des étoiles lointaines qui paraissent fixes.

L'étude des satellites est simple dans le référentiel géocentrique, fixe par rapport à la Terre : un référentiel terrestre est en mouvement par rapport à la Terre et ne peut convenir pour cette étude.

Valeur de la force de gravitation à laquelle est soumise le satellite sur son orbite circulaire :

Le satellite n'est soumis qu'à la force de gravitation centripète ; cette force est à chaque instant perpendiculaire à la vitesse et en conséquence sa puissance est nulle. L'énergie cinétique du satellite ne varie pas : donc la valeur de la vitesse est constante ( mouvement uniforme).

Expression de la vitesse v et la période T de ce satellite en fonction de G, M, R, h :

le satellite est soumis à la seule force de gravitation centripète exercée par la planète

M : masse (kg) de la planète ; m : masse du satellite (kg) ; R (m) rayon planète ; h (m) altitude depuis le sol

suivant l'axe n la seconde loi de Newton s'écrit : GMm /(R+h)² = m aN= mv²/ (R+h)

d'où la valeur de la vitesse (m/s): v² =GM / (R+h). indépendante de la masse du satellite

Enoncé de la deuxième loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse M du solide par l'accélération de son centre d'inertie.

La période de révolution T du satellite (seconde) est le temps mis par le satellite pour faire un tour et ce d'un mouvement uniforme.

2 p (RT+h) =vT

élever au carré, puis remplacer v² par l'expression ci dessus.

4p² (RT+h) ² = v² T² = GMT/ (RT+h) T²

ou T² =4p² /(GMT)(RT+h)3.

soit T² /(RT+h)3 = 4p² / (GM) rapport constant pour une planète donnée.(3ème loi de Kepler)

distance en mètre, période en seconde, masse en kg.

Calcul de k :

k= 4*3,142/(6,67 10-11 *5,98 1024) =9,89 10-14 s2 m-3.


La troisième loi de Kepler :

On appelle satellite à basse altitude un satellite dont on peut négliger l'altitude h devant le rayon de la Terre.

satellite à basse altitude
Météostat
Spot
satellite géostationnaire
période T (min)
84,5
1430
101
23 h 56 min = 1436 min
rayon de l'orbite (km)
6380
42100
7200
42200

Spot : T2 = (101*60)2=3,67 107 s² ; R3 = (7,2 106)3 = 4,39 1020 m3 ; T2/R3 = 9,83 10-14.

Météostat : T2 = (1430*60)2=7,36 109 s² ; R3 = (4,21 107)3 = 7,46 1022 m3 ; T2/R3 = 9,86 10-14.

Spot et Météostat vérifient la troisième loi de Kepler.

Déduction de la valeur de k : 9,84 10-14

Comparaison à celle de la question précédente : l'écart relatif est de 100*(9,89-9,84)/9,89 = 0,5%.

Période d'un satellite de basse altitude :

T² = kR3 = 9,89 10-14 * (6,38 106)3 = 2,57 107 s² ; T= 5,07 103 s = 84,5 min

rayon de l'orbite (km) d'un satellite géostationnaire :

R3 = T²/k = (1436*60)² / 9,89 10-14 = 7,5 1022 ; R= 4,22 107 m.

Définition d'un satellite géostationnaire :

ils tournent dans le plan équatorial, dans le même sens que la Terre, et avec la même vitesse angulaire que la Terre. Ils paraissent fixes pour un observateur terrestre.


Satellisation :

On se propose d'étudier les conditions optimales de lancement d'un satellite à basse altitude.

Le sens de rotation de la Terre : la Terre est en rotation d'Ouest vers l'Est.

Vitesse v0 d'un point de la surface de la Terre situé à l'équateur :

vitesse angulaire W= 6,28 / (24*3600) = 7,3 10-5 rad/s.

La vitesse linéaire transmise par la Terre à un corps lancé depuis sa surface est :

à l'équateur : v = W RT = 7,3 10-5 * 6,37 106 = 463 m/s.

Ce vecteur vitesse est tangent à la Terre et dirigé vers l'Est.

La vitesse du satellite avant le décollage du lanceur chargé de le placer en orbite vaut 463 m/s.

La vitesse du satellite placé en orbite est : v² =GM / RT.

v²= 6,67 10-11 * 5,98 1024 / (6,38 106) = 6,25 107 ; v= 7,9 103 m/s.

Le satellite S a été lancé à partir d'une base terrestre située à la latitude l d'un point P à la surface de la Terre.

La vitesse linéaire transmise par la Terre à un corps lancé depuis sa surface est :

à l'équateur : v = W R = 7,3 10-5 * 6,37 106 = 463 m/s.

à la latitude l = 28°N : vl= W R cos l = 7,3 10-5 * 6,37 106 cos 28 = 409 m/s.

Une base de lancement proche de l'équateur conduit à une vitesse initiale de lancement plus grande que celle d'un site situé à une latitude supérieure. Cela est un énorme avantage : cette vitesse additionnée vectoriellement avec la vitesse de la fusée porteuse, détermine la vitesse finale du satellite.



Diffraction :

 

 Un rayon laser de longueur d'onde dans le vide l= 633 nm, traverse une fente verticale de largeur a. Un écran vertical est placé à une distance D= 1,50 m de la fente perpendiculairement à la direction du laser.

  1. Rappeler entre quelles limites de longueurs d'onde dans le vide s'étend le spectre de la lumière blanche. De quelle couleur est la lumière émise par le laser ?
  2. Faire un schéma du dispositif.
  3. La largeur de la fente étant petite ( a<100 l ) quel est le nom du phénomène se produisant quand la lumière laser traverse cette fente ? Décrire ce phénomène.
  4. On observe sur l'écran un figure se présentant sous la forme d'une alternance de taches lumineuses. Choisir la bonne figure en justifiant.
  5. La largeur l de la tache centrale est relevée pour différente valeurs de la largeur a de la fente.
    Compléter le tableau. Tracer la courbe l = f(1/a) et en déduire l'expression de l en fonction de a.
    a (mm)
    20
    30
    40
    50
    60
    l (cm)
    9,0
    6,3
    4,7
    3,8
    3,2
    1/a ( m-1)

    Parmi les expressions suivantes quelle est celle qui traduit correctement les résultats précédents ?
    l =la/(2D) ; l =la/D ; l =2la/D ; l =lD/(2a) ; l =lD/a ; l =2lD/a ; l =aD/(2l) ; l =aD/l ; l =2aD/l ;
  6. On remplace la fente précédente par un cheveux vertical. On obtient une tache centrale de largeur l =2,6 cm. En déduire le diamètre du cheveux.

corrigé
Un rayon laser de longueur d'onde dans le vide l= 633 nm, traverse une fente verticale de largeur a. Un écran vertical est placé à une distance D= 1,50 m de la fente perpendiculairement à la direction du laser.

Limites de longueurs d'onde dans le vide du spectre de la lumière blanche : 400 nm ; 800 nm.

Couleur est la lumière émise par le laser : 633 nm donc jaune orangé.

Schéma du dispositif : le laser éclaire la fente.

 

Diffraction : sur l'écran on observe une alternance de tache sombres et brillantes ; la tache centrale est brillante. ( figure d parmi celles proposées)

a (m)
2 10-5
3 10-5
4 10-5
5 10-5
6 10-5
l (m)
9 10-2
6,3 10-2
4,7 10-2
3,8 10-2
3,2 10-2
1/a ( m-1)
5,0 104
3,3 104
2,5 104
2,0 104
1,7 104
la courbe l = f(1/a) :

l'expression de l en fonction de a : l = 1,8 10-6(1/a).

 

Expression traduisant correctement le résultat précédent :
soit d = lD/a ou l =2d = 2lD/a

On remplace la fente précédente par un cheveux vertical. On obtient une tache centrale de largeur l =2,6 cm.

Le diamètre du cheveux :

l = 1,8 10-6(1/a) soit a = 1,8 10-6 / l = 1,8 10-6 / 0,026 = 6,9 10-5 m = 69 mm.


RC : Euler

On réalise un circuit série comprenant un générateur de tension de fem E=6,0 V, un conducteur ohmique de résistance R= 1,0 kW, un condensateur de capacité C= 10 mF et un interrupteur K. A l'instant t=0 le condensateur est déchargé et on ferme K.

  1. Faire un schéma du circuit . Préciser le sens du courant et les flèches tensions aux bornes du générateur, de la résistance et du condensateur de telle façon que les tensions soient positives.
  2. On note q la charge positive du condensateur. Préciser l'armature du condensateur portant cette charge. Quelle est la valeur de la charge portée par l'autre armature ? Quelle est la relation entre la tension uc aux bornes du condensateur et la charge q ?
  3. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par la tension uc s'écrit : uc + td uc/dt = E où t est la constante de temps du circuit. En déduire l'expression de t.
  4. Montrer que la constante de temps est homogène à un temps.
  5. On se propose de résoudre l'équation différentielle par la méthode d'Euler.
    - Quelle est la valeur de uc(0) de la tension aux bornes du condensateur à t=0 ?
    Déterminer u1, u2, u3, u4 et u5 aux dates t1 = dt, t2= 2dt, t3= 3dt, t4= 4d, et t5= 5dt, avec dt = 10-4 s. Compléter le tableau.
    date (s)
    0
    t1
    t2= 2dt
    t3= 3dt
    t4= 4d
    t5= 5dt
    uc(V)


    - En utilisant les valeurs de la seconde partie du tableau tracer la courbe uc(t) = f(t)
    date (s)
    0,01
    0,015
    0,02
    0,025
    0,03
    0,035
    uc(V)
    3,79
    4,66
    5,19
    5,51
    5,70
    5,82
  6. Déterminer graphiquement la constante de temps. Comparer la valeur obtenue à la valeur théorique. Conclure.

corrigé

relation entre la tension uc aux bornes du condensateur et la charge q : q= Cuc.

Equation différentielle vérifiée par la tension uc :

additivité des tensions : uc+Ri = E ; de plus i = dq/dt = Cduc/dt.

d'où : uc + td uc/dt = E où t =RC est la constante de temps du circuit.

Montrons que la constante de temps est homogène à un temps :

R est une résistance soit une tension divisée par une intensité ;

C est une capacité soit une charge divisée par une tension ; de plus une charge est une intensité fois un temps

d'où t a la dimension d'un temps.


On se propose de résoudre l'équation différentielle par la méthode d'Euler.
Valeur de uc(0) de la tension aux bornes du condensateur à t=0 : uc(0) = 0, le condensateur n'a pas eu le temps de se charger.

duc = uc(t +dt ) - uc(t ) soit : uc(t +dt ) = uc(t ) + duc (1)

l'équation différentielle donne : td uc/dt = E -uc

d uc =( E -uc )dt / t (2)

d uc =( E -uc )dt / t (2) avec dt / t = 10-4 / (1000 * 10-5) =0,01.

(2) donne : d uc =( 6 -0)*0,01 = 0,06 V ; (1) donne : uc(1)=uc(0)+d uc = 0,06 V

(2) donne : d uc =( 6 -0,06)*0,01 = 5,94 10-2 V ; (1) donne : uc(2)=uc(1)+d uc = 0,06 +5,94 10-2 =11,9 10-2 V

(2) donne : d uc =( 6 -11,9 10-2)*0,01 = 5,88 10-2 V ; (1) donne : uc(3)=uc(2)+d uc = 11,9 10-2 +5,88 10-2 =17,8 10-2 V

(2) donne : d uc =( 6 -17,8 10-2)*0,01 = 5,82 10-2 V ; (1) donne : uc(4)=uc(3)+d uc = 17,8 10-2 +5,82 10-2 =23,6 10-2 V

(2) donne : d uc =( 6 -23,6 10-2)*0,01 = 5,76 10-2 V ; (1) donne : uc(5)=uc(4)+d uc = 23,6 10-2 +5,76 10-2 =29,4 10-2 V

date (s)
0
t1
t2= 2dt
t3= 3dt
t4= 4d
t5= 5dt
uc(V)
0
6,0 10-2
11,9 10-2
17,8 10-2
23,6 10-2
29,4 10-2

la courbe uc(t) = f(t)

La constante de temps déterminée par calcul est identique à la valeur calculée.


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