Aurélie 8/3/06
d'après concours officier 1ère classe marine marchande 2004

onde sonore, satellite géostationnaire, radium, oscillateur mécanique vertical, mouvement uniformément varié, circuit rLC

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Ondes sonores (2pts)

Un diapason émet quand on le trappe la note La 3 que l'on considérera comme un signal sinusoïdal de fréquence 440 Hz.

  1. Indiquer si l'onde sonore est une onde longitudinale ou transversale. Justifier la réponse.
  2. Calculer la période T de cette onde sonore.
  3. L'air est à 20°C, la pression à 101 325 Pa et l'humidité relative de l'air est de 40 %. La célérité du son dans cet air est alors de 343,9 m/s. Préciser si tous ces paramètres : température, pression, humidité de l'air et fréquence du son ont une influence sur la célérité du son dans l'air.
  4. Calculer la longueur d'onde de l'onde sonore émise par le diapason dans l'air considéré précédemment.
corrigé
L'onde sonore est une onde longitudinale : la perturbation ( variation de pression) se propage dans la direction de propagation de l'onde.

période T (s) = 1/fréquence (Hz) = 1/440 = 2,27 10-3 s = 2,27 ms.

La fréquence caractérise l'onde. La célérité (m/s) dépend du milieu : température et pression ont une influence sur la célérité du son dans l'air.

longueur d'onde l(m) = célérité (m/s) / fréquence (Hz) = 343,9 / 440 = 7,82 10-1 m.
satellite géostationnaire : (2 pts)

Au cours d'une future mission, on envisage de placer un satellite géostationnaire autour de Mars. On donne pour cette planète : masse: M = 6,42 l023 kg ; rayon équatorial: R =3 398 km ; période de rotation sidérale (temps de révolution sur elle même) : 24,62 h ; constante de gravitation universelle: G = 6,67 10-11SI.

Calculer l'altitude du satellite.

corrigé
Un satellite géostationnaire tourne dans le plan équatorial de Mars, dans le même sens et avec la même vitesse angulaire . La période du satellite est égale à la période de Mars soit T= 24,62*3600 = 8,863 104 s.

La 3éme loi de Kepler s'écrit : T2 / r3 = 4p²/(GM) où r : distance (m) du centre de mars au satellite

r3 = T2GM/(4p²) = (8,863 104 )2 *6,67 10-11*6,42 l023 / (4*3,14²) = 8,53 1021 m3.

prendre la racine cubique r = 2,043 107 m = 2,043 104 km

Pour obtenir l'altitude, retrancher le rayon de Mars : 2,043 104 -3 398=1,70 104 km.
Le radium (2 points)

Le radium donne du radon par désintégration a.

  1. Écrire la réaction de désintégration du noyau de radium.
  2. Calculer l'énergie de masse du noyau de radium puis de celle des noyaux formés après la désintégration.
  3. Évaluer l'énergie libérée au cours de la réaction.
  4. Indiquer sous quelle forme est libérée cette énergie.

On donne : l'unité de masse atomique u : 1,6605 10 27kg ; la masse du noyau du radium Ra : 225,9771 u ; la masse du noyau de radon Rn : 221,9704 u ;

la masse d'une particule a : 4,0015 u ; l'équivalent masse énergie pour une unité atomique Eu = 931,4942 MeV sachant que 1eV= 1,6022 10-19J.

corrigé
22688Ra --> 22286Rn + 42He

énergie de masse du noyau de radium : 225,9771*931,4942 =2,104963 105 MeV

énergie de masse du noyau de radon : 221,9704 *931,4942 =2,067641 105 MeV

énergie de masse du noyau d'hélium : 4,0015 *931,4942 =3,72737 103 MeV

énergie libérée au cours de la réaction : 2,105 105 -(2,0676 105+3,7274 103)= 4,843 MeV

soit 4,843 106 eV ou 4,843 106 *1,6022 10-19 = 7,760 10-13 J.

Cette énergie est emportée par la particule a sous forme d'énergie cinétique.

Si les noyaux fils sont dans un état exité, ils libèrent de l'énergie sous forme d'un photon g.

oscillateur mécanique (3 points)

L'extrémité supérieure d'un ressort vertical idéal, à spires non jointives de longueur à vide l0, de coefficient de raideur k, est fixée à un support. Un solide de masse m est accroché à l'autre extrémité.

  1. Établir l'équation différentielle du mouvement des oscillations verticales de cet oscillateur.
  2. Le solide est immobilisé dans sa position d'équilibre le. Exprimer la longueur le.
  3. L'état d'équilibre est pris comme référence pour les énergies potentielles de pesanteur et élastique. La position du centre d'inertie du solide est repérèe sur l'axe z'z vertical et orienté vers le haut. À l'équilibre, z = 0. Donner l'expression des énergies potentielles du solide.
corrigé
référentiel terrestre supposé galiléen.

Le solide suspendu à l'extrémité du ressort est soumis à :

son poids, vertical, vers le bas, valeur P=mg

la tension du ressort, verticale, vers le haut : T= k(le-l0)

A l'équilibre la somme vectorielle de ces deux forces est nulle : k(le-l0) +mg =0(1)

(1) donne : k(le-l0) = mg soit le = l0 + mg/k

On choisit un axe vertical, orienté vers le haut. L'altitude du centre d'inertie du corps, dans la position d'équilibre, est choisie comme origine. On écarte le solide vers le bas et on le lache sans vitesse initiale. On note z l'abscisse du centre d'inertie du solide à la date t.

Ecrire la deuxième loi de Newton sur cet axe : mg-k (le+z -l0) = m z"

en tenant compte de (1) : z" + k/m z = 0 on pose w20 = k/m ( w0 : pulsation en rad/s)

énergies potentielles du solide : ½kz2 ; énergie cinétique : ½mv½kz2 ; énergie mécanique ½mv2 + ½kz2 = constante ( si frottements négligés)
mouvement rectiligne uniformément varié (4 points)

Une grue portuaire soulève verticalement une charge de masse M = 10 tonnes, par l'intermédiaire d'un câble de masse négligeable, en un lieu où l'accélération de la pesanteur g = 9,81 m.s-2. Cette dernière est initialement au repos à une hauteur h =0 m. Le chronogramme qui suit représente 1'évolution de l'accélération. À l'instant t3, la charge est de nouveau immobile.

Au temps tl = 3,5 s, la charge a atteint une hauteur h =6 m.

  1. Calculer l'accélération amax prise par la charge.
  2. Déterminer la valeur de la tension Tl du câble pendant cette phase de l'ascension.
  3. Dans la seconde phase du mouvement, l'accélération est nulle. Déterminer la tension T2 du câble.
  4. Sachant que t2=6 s calculer les vitesses V1 et V2 atteintes au temps t1 et t2.
  5. Calculer le temps t3.
  6. Représenter l'allure de la vitesse en fonction du temps entre les temps t0 et t3.
  7. Le câble risque de se rompre s'il est soumis à une tension supérieure à Tmax= 4 l05 N. La grue soulève désormais une charge d'une masse M' = 15 tonnes, initialement au repos d'une hauteur h' = 10 m d'un mouvement vertical uniformément accéléré. Déterminer la durée minimale t' de l'ascension pour éviter la rupture du câble.
corrigé
accélération amax prise par la charge : h=½amaxt12 soit amax = 2h / t12 = 12 / 3,5² = 0,98 m/s²

valeur de la tension Tl du câble pendant cette phase de l'ascension :

La charge est soumise à son poids ( vertical, vers le bas, valeur mg ) et à la tension T1 du câble, verticale vers le haut. Ecrire la seconde loi de Newton sur un axe vertical ascendant -mg + T1 = mamax soit T1 = m( g+amax ) = 104 *(9,81+0,98) = 1,08 105 N.

Dans la seconde phase du mouvement, l'accélération est nulle. T2=mg = 9,81 104 N.

vitesses V1 et V2 atteintes au temps t1 et t2 :

V1= amax t1 = 0,98*3,5 = 3,43 m/s.

entre t1 et t2 le mouvement est rectiligne uniforme : V1 = V2

Calcul du temps t3 : entre t2 et t3 l'accélération est négative (-0,98 m/s²) : la vitesse diminue puis s'annule à la date t3.

v3(t) = -amax (t-t2) + v2 = -0,98 (t-6) + 3,43 ;

à la date t3 , la vitesse s'annule : d'où : -0,98 (t3-6) + 3,43=0 soit t3-6 = 3,43/0,98 = 3,5 ; t3= 9,5 s.

durée minimale t' de l'ascension pour éviter la rupture du câble : Tmax= 4 l05 N ; P= M'g = 1,5 104*9,81 =1,47 l05 N

la seconde loi de Newton s'écrit sur un axe vertical ascendant : Tmax-P= M'a d'où a = (Tmax-P)/M' =2,53 105 / 1,5 104 = 16,867 m/s²

h' = ½a t'² soit t'² = 2h'/a = 20 / 16,867 = 1,186 soit t' = 1,09 s.
cirduit rLC (7 points)

Les parties qui suivent peuvent être traitées indépendamment.

Le générateur de tension a pour fé.m E = 10 V. La résistance a une valeur R =33 W, la bobine une inductance L = 32,0 mH et une résistance r = 6 W et le condensateur une capacité de 620 nF. Initialement, les deux interrupteurs SI et S2 sont ouverts et le condensateur est déchargé. À t =0 s, on ferme l'interrupteur SI.

Partie A : charge du condensateur.

  1. Établir l'équation différentielle à laquelle obéit la tension aux bornes du condensateur.
  2. Résoudre cette équation.
  3. Calculer la valeur de la constante de temps attachée à la charge du condensateur. Que caractérise cette constante de temps ?
  4. Déduire l'expression de l'intensité i(t) circulant dans la branche du circuit qui contient le condensateur.
  5. Indiquer le temps à partir duquel on peut considérer que le condensateur est chargé. Justifier la réponse.
  6. Déterminer la charge emmagasinée q et l'énergie Ec du condensateur chargé.

Partie B : circuit rLC.

Le condensateur est chargé. La tension aux bornes du condensateur est égale à E. On ouvre alors l'interrupteur SI. À un instant t que l'on choisira comme nouvelle origine du temps, on ferme S2.

  1. Préciser ce que devient l'énergie Ec du condensateur.
  2. La décharge est pseudo-périodique. La pseudo-période de décharge oscillante ducondensateur s'écrit : Sachant que L/R et RC sont des durées, donner la dimension de k.
  3. Montrer que dans notre cas particulier, cette formule peut légitimement s'écrireT=k (LC)½.
  4. Expliquer pourquoi la tension aux bornes du condensateur peut changer de signe au cours de la décharge.
corrigé
équation différentielle à laquelle obéit la tension aux bornes du condensateur : additivité des tensions : E = uc+Ri

de plus i = dq/dt et q=Cuc d'où i = Cd uc /dt

E = uc+RCduc /dt ; d uc /dt + uc/(RC) = E/(RC) ; on pose t= RC ; d uc /dt + uc/t= E/t (1)

résolution : solution générale de l'équation sans second membre : uc(t) = A exp(-t/t)

solution particulière de (1) ( condensateur complétement chargé ) uc=E

solution générale de (1) : uc(t) =A exp(-t/t) +E

On détermine A par les conditions initiales ( condensateur non chargé, uc(0)=0):

0=A+E soit A=-E : uc(t) = E(1- exp(-t/t)).

valeur de la constante de temps : t= RC = 33*620 10-9 = 2,05 10-5 s.

cette constante de temps permet d'estimer la durée de la charge du condensateur : le condensateur est pratiquement chargé à t =5t.

expression de l'intensité i(t) = C d uc /dt = CE/(RC) exp(-t/t) = E/Rexp(-t/t).

le condensateur est pratiquement chargé à t =5t.

en effet e(-5) = 6,7 10-3 et 1-e(-5) =0,993 ; à t = 5t, la charge du condensateur atteint 99,3 % de sa valeur maximale.

charge emmagasinée q et l'énergie Ec du condensateur chargé :

q= CE = 620 10-9*10 = 6,2 10-6C

Ec = ½CE² = 310 10-9*100= 3,1 10-5 J.

L'énergie Ec du condensateur chargée est en partie transférée dans la bobine inductive : une petite partie est dissipée sous forme de chaleur dans la résistance r.

Il y a échange d'énergie entre bobine et condensateur.

[L/R]= T ; L/R s'exprime en seconde ; [R²/L²] = T-2 ; R²/L² s'exprime en s-2.

On ne peut soustraire que des grandeurs de même dimension : donc 1/(LC) s'exprime en s-2.

en conséquence le dénominateur s'exprime en s-1.

de plus T , période, s'exprime en seconde : donc k est sans dimension.

(r/L)² =( 6/0,032)² =3,5 104 s-2.

1/(LC) = 1/(0,032 * 6,2 10-7)=5 107 s-2, valeur très supérieure à (r/L)²

le terme (r/L)² est négligeable devant 1/(LC) d'où T = k (LC)½.

la tension aux bornes du condensateur peut changer de signe au cours de la décharge :

durant le premier quart de période, le condensateur se décharge à travers la bobine ; celle-ci stocke de l'énergie

durant le second quart de période, la bobine restitue de l'énergie au condensateur ; ce dernier se charge en sens contraire de la charge initiale et la tension à ces bornes est de signe contraire à la tension initiale.
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