Aurélie 27/04/06
d'après concours kiné Limoges ( physique) 2006

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Satellite terrestre. ( 3pts)

Un satellite de masse m est en orbite dans le vide sidéral autour de la Terre ( masse MT et rayon RT)

  1. On suppose que la seule force agissant sur le satellite est la force gravitationnelle de la Terre. Quelles sont les autres forces négligées dans ce cas ?
  2. Exprimer l'intensité de la force de gravitation terrestre agisant sur ce satellite en fonction de MT, m, RT, G et h ( altitude du satellite par rapport au sol)
  3. Montrer que la trajectoire du satellite est plane et circulaire, et que le mouvement est uniforme en précisant le référentiel choisi.
  4. En déduire une expression de la vitesse du satellite.
  5. Calculer cette vitesse si h = 300 km.
    MT= 6 1024 kg ; RT= 6400 km ; G= 6,7 10-11 SI ; 60½=7,75.

corrigé
les autres forces négligées : forces attractives de gravitation exercées par la Lune, le Soleil et les autres planètes.

intensité de la force de gravitation terrestre agisant sur ce satellite : F= G MT m / (RT+h)²

On étudie le mouvement du satellite dans le référentiel géocentrique, considéré comme galiléen.

le satelitte est soumis à la seule force de gravitation, dirigée vers le centre de la Terre.

le théorème du centre d’inertie, dans la base de Frenet s'écrit :

h est l'altitude et RT le rayon terrestre

La valeur de la vitesse étant constante, le mouvement est uniforme.

En négligeant l'action des autres planètes, de la Lune et du Soleil, le satellite n'est soumis qu'à la focre centipète de gravitation de la Terre ; de plus la force de gravitation est perpendiculaire au vecteur vitesse : la trajectoire est plane et circulaire.

v²= MTG/(RT+h )= 6 1024 * 6,7 10-11 / ((6400+300) 103)= 6 1013 * 6,7 / (6,7 106) = 6 107 = 60 106 ; v = 7,75 103 m/s = 7,75 km/s.



Chutte d'une gouttelette de pluie (4 pts) 

Les microgouttelettes d'eau ( suposées sphériques de rayon r) d'un nuage tombe dans l'atmosphère avec une vitesse v. ( les vecteurs sont écrits en gras et en bleu).

  1. Faire un bilan des forces agissant sur la gouttelette lors de sa chute verticale et les représenter sur un schéma. La force de frottement due à l'air a pour expression : f = - 6p r h v, où h représente le coefficient de viscosité de l'air.
  2. Vérifier que la Poussée d'Archimède peut être négligée.
    Etablir l'équation différentielle de la gouttelette dans ce cas.
  3. En déduire l'expression de la vitesse limite de chute en fonction de reau, r, g, h.
  4. Calculer cette vitesse limite.
  5. Comparer cette vitesse limite à celle d'une goutte de pluie dont le rayon r'=200 r.

Données : r = 1mm ; reau= 1000 kg/m3 ; rair= 1,3 kg/m3 ; h = 20 10-6 SI ; g = 10 m/s² ; 1/9 = 0,11


corrigé
la goutte est soumise à son poids, (vertical, vers le bas, valeur mg), à la poussée d'Archimède, ( verticale, vers le haut, valeur égale au poids du volume d'air déplacé) et aux forces de frottement dues à l'air.

La masse volumique de l'air étant environ 700 fois plus petite que la masse volumique de l'eau, la poussée d'Archimède est négligeable devant le poids.

équation différentielle de la gouttelette : écrire la seconde loi de Newton sur un axe vertical, orienté vers le bas.

mg - 6p r h v = mdv/dt avec m = reau 4/3 p r3.

diviser par m : dv/dt + 4,5 r-2 h/ reau v = g

expression de la vitesse limite de chute : la vitesse limite vlim étant atteinte le mouvement est uniforme ( dvlim/dt=0 )

d'où 4,5 r-2 h/ reau v lim = g soit vlim= g reaur² /(4,5h)

vlim= 10 *103* 10-12/(4,5*20 10-6)=10-8/(9 10-5) = 10-3 / 9 = 0,11 10-3 = 1,1 10-4 m/s.

Comparaison de cette vitesse limite à celle d'une goutte de pluie dont le rayon r'=200 r.

r'² = 4 104 r² et la vitesse limite est proportionnelle à r² : v'lim = 4 104 vlim = 4,4 m/s.


circuit RC ( 2 pts)

Un condensateur de capacité C, initialement chargé sous une tension U= 5 V est déchargé à travers un conducteur ohmique de résistance R= 10 kW. On visualise la tenion uc aux bornes du condensateur au cours de la décharge.

  1. Déterminer l'équation différentielle du circuit de décharge en faisant apparaître sur un schéma les grandeurs uc et i.
  2. Vérifier que uc(t)= U exp( -t/(RC)) est solution de cette équation.
  3. Déterminer la constante de temps du circuit en précisant la méthode utilisée et en déduire la capacité du condensateur.

corrigé
équation différentielle du circuit de décharge

uc + Ri = 0 avec q = Cuc et i = dq/dt = C duc /dt d'où : uc + RCduc /dt =0 (1)

uc (t) = U exp( -t/(RC)) ; duc /dt = U/(-RC) exp( -t/(RC))

repport dans (1) : U exp( -t/(RC)) +RC U/(-RC) exp( -t/(RC)) =0 vérifié quel que soit t.

donc uc(t)= U exp( -t/(RC)) est solution de cette équation.

constante de temps du circuit :

C= t/R = 50 / 104 = 5 10-3 F.


circuit LC( 3 pts)

Un condensateur de capacité C= 10 mF, initialement chargé sous une tension U=6 V est placé dans le circuit suivant :

  1. Faire aparaître sur un schéma uc, tension aux bornes du condensateur, uL, tension aux bornes de la bobine et i intensité du courant lorsque l'interrupteur est fermé.
  2. Etablir l'équation différentielle à laquelle obéit la tension uc ( bobine L= 0,1 H et résistance négligeable)
  3. Une solution de cette équation est de la forme uc(t) = a cos(wt+b). Déterminer l'expression de w.
  4. L'interrupteur est fermé à la date t=0. En déduire les valeurs de a et b.
  5. Calculer la période T des oscillations.
  6. Donner l'allure de la courbe uc(t) sur deux périodes sans souci d'échelle.

corrigé

uc+uL=0 avec Cuc= Q ; uL= Ldi/dt et i = dQ/dt = Cduc/dt soit di/dt = Cd²uc/dt²

équation différentielle à laquelle obéit la tension uc : uc+LCd²uc/dt² =0 ou d²uc/dt² +w² uc=0 avec w²= 1/(LC)

w²= 1/(0,1*10-5) = 106 ; w = 103rad/s.

valeurs de a et b : uc(0) =U= 6 = a cos(b) d'où a= U= 6V et cos b=1 soit b=0

période T des oscillations : T = 2p/w= 6,28 10-3 s.

allure de la courbe uc(t) sur deux périodes


Mesure du volume sanguin( 3 pts)
  1. On obtient du sodium 24en bombardant par des neutrons du sodium 2311Na. Enoncer les lois de conservation dans les réactions nucléaires.
  2. Ecrire la réaction de formation du sodium 24.
  3. Le sodium 24 est radioactif par émission b- et sa période ou demi-vie est 15 h. Ecrire l'équation de désintégration du sodium 24.
  4. Donner sans démonstration la loi de décroissance radioactive en précisant la signification de chaque terme.
  5. Donner la définition de la période ou demi-vie d'un élément radioactif. Etablir la relation entre la constante radioactive et la demi-vie.
  6. On injecte dans le sang d'un individu 10 mL d'une solution contenant initialement du sodium 24 à une concentration molaire volumique de 10-3 mol/L. Quel est le nombre de mole de sodium 24 introduit dans le sang ? Combien en restera-t-il au bout de 6 h.
    - Au bout de 6 h on prélève 10 mL de sang du même individu. On trouve alors 1,5 10-8 mol de sodium 24. En supposant que tout le sodium 24 est réparti uniformément dans tout le volume sanguin, calculer ce volume sanguin.

Données : exp[(-ln2)*6/15] = 0,75 ; exp[(-ln2)*15/6] = 0,18 ;


corrigé
réaction de formation du sodium 24 : 2311Na + 01n = 2411Na

conservation de la charge : 11+0 = 11

conservation du nombre de nucléons : 23+1 = 24

équation de désintégration du sodium 24 : 2411Na = 2412Mg + -10e

loi de décroissance radioactive : A= A0 exp(-lt)

A : activité à la date t ( Bq) ; A0 : activité à la date t=0 ( Bq) ; l constante radioactive ( s-1) ; t : temps en seconde.

demi-vie t½ d'un élément radioactif : durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés ( l'activité a diminué de moitié)

½A0= A0 exp(-lt½) : 0,5 = exp(-lt½) ; ln 2 = lt½

nombre de mole de sodium 24 introduit dans le sang : n= cv = 10-3 * 10-2 = 10-5 mol.

au bout de 6 h il en reste : n= 10-5 exp(-6l) avec l en heure-1.

ln 2 = lt½ donne l = ln2 /15

n= 10-5 exp(-6 ln2 /15) = 10-5*0,75 = 7,5 10-6 mol

volume sanguin : 1,5 10-8 mol dans 10 mL ou 0,01 L

7,5 10-6 mol dans V litres de sang ; V= 7,5 10-6*0,01 / 1,5 10-8 = 5 L.


Oscillations d'un glaçon ( 5 pts)

Soit un cube de glace d'arête h placé à la surface de l'eau contenue dans une cuve. L'altitude de la surface de l'eau est supposée constante, le volume de la cuve étant très grand devant celui du glaçon. Soit z(t) l'ordonnée de la surface inférieure du glaçon.

  1. Etablir la relation entre l'ordonnée à l'équilibre zéq et l'arrête h lorsque le glaçon est immobile. reau = 1 g/mL ; rglace = 0,9 g/mL
  2. On enfonce le cube de glace jusqu'à ce que sa face inférieure soit à une ordonnée z0 telle que zéq<z0<h. On lâche le cube sans vitesse initiale.
    - Les frottements sont supposés négligeables. Etablir l'équation différentielle du mouvement du glaçon. Montrer qu'elle est de la forme d²z/dt²+w0² z =g dans laquelle w0 a une expression que l'on précisera.
    - L'équation différentielle a pour solution z=Acos ( w0t) + B sin (w0t) + C. Exprimer A, B et C en fonction de zéq et z0.

corrigé
relation entre l'ordonnée à l'équilibre zéq et l'arrête h lorsque le glaçon est immobile :

le glaçon est soumis à deux forces opposées, son poids et la poussée d'Archimède : reau zéqh2 g = rglace h3 g soit reau zéq = rglace h

zéq = 0,9 h

équation différentielle du mouvement du glaçon :

le glaçon est soumis à son poids, vertical, vers le bas, valeur rglace h3 g et à la poussée d'Archimède reau z h2 g.

écrire la seconde loi de Newton sur l'axe Oz : rglace h3 g- reau z h2 g = rglace h3 d²z/dt²

diviser par rglace h3 : g- reau /rglace g z h2 /h3 = d²z/dt² ;

d²z/dt² + reau /(rglace h) g z = g ; w02 =r eaug/(rglace h).

Expressions de A, B et C en fonction de zéq et z0 :

à t=0 z= z0 ; z0 = A + C

vitesse z'= -Aw0sin (w0t) + Bw0cos (w0t)

la vitesse est nulle à t=0 d'où : 0= B w0 ; w0 n'étant pas nul alors B=0.

z" = -Aw20cos (w0t)- Bw20sin (w0t) = -Aw20cos (w0t)

repporter z" et z dans l'équation différentielle :

-Aw20cos (w0t) +w20(Acos ( w0t) +C)=g ; d'où C= g/w20 = rglace h/r eau=0,9 h = zéq

or z0 = A + C d'où : A= z0 -zéq


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