Un satellite de masse m est en orbite dans le vide sidéral autour de la Terre ( masse M_T et rayon R_T)

1. On suppose que la seule force agissant sur le satellite est la force gravitationnelle de la Terre. Quelles sont les autres forces négligées dans ce cas ?
2. Exprimer l'intensité de la force de gravitation terrestre agisant sur ce satellite en fonction de M_T, m, R_T, G et h ( altitude du satellite par rapport au sol)
3. Montrer que la trajectoire du satellite est plane et circulaire, et que le mouvement est uniforme en précisant le référentiel choisi.
4. En déduire une expression de la vitesse du satellite.
5. Calculer cette vitesse si h = 300 km.
   M_T= 6 10²⁴ kg ; R_T= 6400 km ; G= 6,7 10^-11 SI ; 60^½=7,75.

Les microgouttelettes d'eau ( suposées sphériques de rayon r) d'un nuage tombe dans l'atmosphère avec une vitesse v. ( les vecteurs sont écrits en gras et en bleu).

1. Faire un bilan des forces agissant sur la gouttelette lors de sa chute verticale et les représenter sur un schéma. La force de frottement due à l'air a pour expression : f = - 6p r h v, où h représente le coefficient de viscosité de l'air.
2. Vérifier que la Poussée d'Archimède peut être négligée.
   Etablir l'équation différentielle de la gouttelette dans ce cas.
3. En déduire l'expression de la vitesse limite de chute en fonction de r_eau, r, g, h.
4. Calculer cette vitesse limite.
5. Comparer cette vitesse limite à celle d'une goutte de pluie dont le rayon r'=200 r.

Données : r = 1mm ; r_eau= 1000 kg/m³ ; r_air= 1,3 kg/m³ ; h = 20 10^-6 SI ; g = 10 m/s² ; 1/9 = 0,11

Un condensateur de capacité C, initialement chargé sous une tension U= 5 V est déchargé à travers un conducteur ohmique de résistance R= 10 kW. On visualise la tenion u_c aux bornes du condensateur au cours de la décharge.

1. Déterminer l'équation différentielle du circuit de décharge en faisant apparaître sur un schéma les grandeurs u_c et i.
2. Vérifier que u_c(t)= U exp( -t/(RC)) est solution de cette équation.
3. Déterminer la constante de temps du circuit en précisant la méthode utilisée et en déduire la capacité du condensateur.

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corrigé

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équation différentielle du circuit de décharge

u_c + Ri = 0 avec q = Cu_c et i = dq/dt = C du_c /dt d'où : u_c + RCdu_c /dt =0 (1)

u_c (t) = U exp( -t/(RC)) ; du_c /dt = U/(-RC) exp( -t/(RC))

repport dans (1) : U exp( -t/(RC)) +RC U/(-RC) exp( -t/(RC)) =0 vérifié quel que soit t.

donc u_c(t)= U exp( -t/(RC)) est solution de cette équation.

constante de temps du circuit :

C= t/R = 50 / 10⁴ = 5 10^-3 F.

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Un condensateur de capacité C= 10 mF, initialement chargé sous une tension U=6 V est placé dans le circuit suivant :

1. Faire aparaître sur un schéma u_c, tension aux bornes du condensateur, u_L, tension aux bornes de la bobine et i intensité du courant lorsque l'interrupteur est fermé.
2. Etablir l'équation différentielle à laquelle obéit la tension u_c ( bobine L= 0,1 H et résistance négligeable)
3. Une solution de cette équation est de la forme u_c(t) = a cos(wt+b). Déterminer l'expression de w.
4. L'interrupteur est fermé à la date t=0. En déduire les valeurs de a et b.
5. Calculer la période T des oscillations.
6. Donner l'allure de la courbe u_c(t) sur deux périodes sans souci d'échelle.

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corrigé

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u_c+u_L=0 avec Cu_c= Q ; u_L= Ldi/dt et i = dQ/dt = Cdu_c/dt soit di/dt = Cd²u_c/dt²

équation différentielle à laquelle obéit la tension u_c : u_c+LCd²u_c/dt² =0 ou d²u_c/dt² +w² u_c=0 avec w²= 1/(LC)

w²= 1/(0,1*10^-5) = 10⁶ ; w = 10³rad/s.

valeurs de a et b : u_c(0) =U= 6 = a cos(b) d'où a= U= 6V et cos b=1 soit b=0

période T des oscillations : T = 2p/w= 6,28 10^-3 s.

allure de la courbe u_c(t) sur deux périodes

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1. On obtient du sodium 24en bombardant par des neutrons du sodium ²³₁₁Na. Enoncer les lois de conservation dans les réactions nucléaires.
2. Ecrire la réaction de formation du sodium 24.
3. Le sodium 24 est radioactif par émission b^- et sa période ou demi-vie est 15 h. Ecrire l'équation de désintégration du sodium 24.
4. Donner sans démonstration la loi de décroissance radioactive en précisant la signification de chaque terme.
5. Donner la définition de la période ou demi-vie d'un élément radioactif. Etablir la relation entre la constante radioactive et la demi-vie.
6. On injecte dans le sang d'un individu 10 mL d'une solution contenant initialement du sodium 24 à une concentration molaire volumique de 10^-3 mol/L. Quel est le nombre de mole de sodium 24 introduit dans le sang ? Combien en restera-t-il au bout de 6 h.
   - Au bout de 6 h on prélève 10 mL de sang du même individu. On trouve alors 1,5 10^-8 mol de sodium 24. En supposant que tout le sodium 24 est réparti uniformément dans tout le volume sanguin, calculer ce volume sanguin.

Données : exp[(-ln2)*6/15] = 0,75 ; exp[(-ln2)*15/6] = 0,18 ;

Soit un cube de glace d'arête h placé à la surface de l'eau contenue dans une cuve. L'altitude de la surface de l'eau est supposée constante, le volume de la cuve étant très grand devant celui du glaçon. Soit z(t) l'ordonnée de la surface inférieure du glaçon.

1. Etablir la relation entre l'ordonnée à l'équilibre z_éq et l'arrête h lorsque le glaçon est immobile. r_eau = 1 g/mL ; r_glace = 0,9 g/mL
2. On enfonce le cube de glace jusqu'à ce que sa face inférieure soit à une ordonnée z₀ telle que z_éq<z₀<h. On lâche le cube sans vitesse initiale.
   - Les frottements sont supposés négligeables. Etablir l'équation différentielle du mouvement du glaçon. Montrer qu'elle est de la forme d²z/dt²+w₀² z =g dans laquelle w₀ a une expression que l'on précisera.
   - L'équation différentielle a pour solution z=Acos ( w₀t) + B sin (w₀t) + C. Exprimer A, B et C en fonction de z_éq et z₀.