Aurélie 27/04/06
Oscillations d'un glaçon d'après concours kiné Limoges ( physique) 2006

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Oscillations d'un glaçon ( 5 pts)

Soit un cube de glace d'arête h placé à la surface de l'eau contenue dans une cuve. L'altitude de la surface de l'eau est supposée constante, le volume de la cuve étant très grand devant celui du glaçon. Soit z(t) l'ordonnée de la surface inférieure du glaçon.

  1. Etablir la relation entre l'ordonnée à l'équilibre zéq et l'arrête h lorsque le glaçon est immobile. reau = 1 g/mL ; rglace = 0,9 g/mL
  2. On enfonce le cube de glace jusqu'à ce que sa face inférieure soit à une ordonnée z0 telle que zéq<z0<h. On lâche le cube sans vitesse initiale.
    - Les frottements sont supposés négligeables. Etablir l'équation différentielle du mouvement du glaçon. Montrer qu'elle est de la forme d²z/dt²+w0² z =g dans laquelle w0 a une expression que l'on précisera.
    - L'équation différentielle a pour solution z=Acos ( w0t) + B sin (w0t) + C. Exprimer A, B et C en fonction de zéq et z0.

corrigé
relation entre l'ordonnée à l'équilibre zéq et l'arrête h lorsque le glaçon est immobile :

le glaçon est soumis à deux forces opposées, son poids et la poussée d'Archimède : reau zéqh2 g = rglace h3 g soit reau zéq = rglace h

zéq = 0,9 h

équation différentielle du mouvement du glaçon :

le glaçon est soumis à son poids, vertical, vers le bas, valeur rglace h3 g et à la poussée d'Archimède reau z h2 g.

écrire la seconde loi de Newton sur l'axe Oz : rglace h3 g- reau z h2 g = rglace h3 d²z/dt²

diviser par rglace h3 : g- reau /rglace g z h2 /h3 = d²z/dt² ;

d²z/dt² + reau /(rglace h) g z = g ; w02 =r eaug/(rglace h).

Expressions de A, B et C en fonction de zéq et z0 :

à t=0 z= z0 ; z0 = A + C

vitesse z'= -Aw0sin (w0t) + Bw0cos (w0t)

la vitesse est nulle à t=0 d'où : 0= B w0 ; w0 n'étant pas nul alors B=0.

z" = -Aw20cos (w0t)- Bw20sin (w0t) = -Aw20cos (w0t)

repporter z" et z dans l'équation différentielle :

-Aw20cos (w0t) +w20(Acos ( w0t) +C)=g ; d'où C= g/w20 = rglace h/r eau=0,9 h = zéq

or z0 = A + C d'où : A= z0 -zéq
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