Aurélie 22/3/6
d'après concours interne d'ingénieur territorial 2004 Mécanique, électricité, hydraulique

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Mécanique ( 3 pts).

Une grenouille saute d'un nénuphar à un autre avec une vitesse initiale de 2 m/s. Le vecteur vitesse fait un angle de 55° avec l'horizontale.

  1. Effectuer l'inventaire des forces extérieures appliquées au centre de gravité de la grenouille quand il est en mouvement.
  2. Etablir les équations horaires littérales du mouvement du centre de gravité de la grenouille.
  3. Etablir l'équation littérale de la trajectoire du centre de gravité de la grenouille.
  4. Quelle est la distance entre les centres de gravité des deux nénuphars pour que la grenouille réussisse son saut ? ( Expression littérale et application numérique). g=10 m/s². La résistance de l'air est négligée.
corrigé
La grenouille en mouvement n'est soumise qu'à son poids.

Les nénuphars sont dans le même plan horizontal ; résoudre y=0

-0,5 g x² / (v²C cos² a) + x sin a / cos a =0 d'où : x=0 ( point de départ)

multiplier par cos a : -0,5 g x / (v²C cos a) + sin a =0 ; x = 2v²C cos a sin a / g = v²C sin (2a) / g

x= 4 /10 sin 110 = 0,376 m.
Electricité ( 4 pts)
  1. Un récepteur d'impédance Z= 20 W introduit un déphasage j entre une tension et l'intensité tel que cos j=0,8. La tension d'alimentation ( 400 V - 50 Hz) est en avance sur l'intensité. Calculer la valeur de l'inductance L et de la résistance R du dipole équivalent à ce récepteur.
  2. On réalise un moteur triphasé équilibré en montant en triangle trois enroulements identiques à celui décrit ci-dessus sur une installation 230 / 400 V - 50 Hz. Calculer l'intensité du courant dans chaque enroulement puis dans les fils de ligne.
    - Quelle est la puissance active de ce moteur ?
  3. Sur l'installation précédente on ajoute au moteur trois condensateurs de capacité identique C= 290 mF montés en étoile. Calculer l'intensité en ligne pour l'ensemble obtenu. Comparer à celle trouvée ci-dessus et conclure.
corrigé

cos j = R/Z d'où : R= Z cosj = 20*0,8 = 16 W.

pulsation w = 2pf = 2*3,14*50 = 314 rad/s ; tan j = 0,75

L=R tan j /w = 16*0,75/314 =0,038 H.

intensité du courant dans chaque enroulement : couplage triangle :

chaque impédance est alimentée sous une tension composée U= 400 V

U= Z J soit J= U/Z =400/20 = 20 A.

l'intensité du courant dans un fil de ligne I diffère de l'intensité du courant J dans une impédance : I = 20 *3 ½= 34,6 A.

puissances ( quel que soit le couplage)

Puissance active : P= 3½*400*34,6*0,8 =19,2 kW.

couplage étoile :

chaque impédance est alimentée sous une tension simple ;

l'intensité du courant dans un fil de ligne est égale à l'intensité du courant dans une impédance.

puissance réactive des condensateurs : Q2= - 3 Cw V² =-3*290 10-6*314*220² = -13200 var

les condensateurs ne comsomment pas de puissance active P2=0
P (watt)
S ( VA) = (P² + Q²)½
|Q |(var)
moteur
19200
P/cosj=19200/0,8=24000
S sinj= 14400
condensateur
0
13200
-13200
total installation
19200
(19200²+1200²)½=19220
1200
intensité du courant dans la ligne : I= S/(3½U) =19220/(1,732*400) =27,7 A.

l'intensité diminue ; le facteur de puissance de l'installation esr relevé : cosj' = 19200/19220 voisin de 1.
Hydraulique (3 pts) Jet d'eau de Genève

Le jet d'eau de diamètre initial dB=107 mm s'élève verticalement à une hauteur de h=156 m. En négligeant les pertes par frottement calculer :

  1. La vitesse vB à la base du jet.
  2. La vitesse dans le tuyau d'amenée de diamètre dA=1 m.
  3. Le débit volumique.
  4. La puissance nécessaire pour alimenter le jet d'eau.
  5. Si on remplaçait l'eau par du mercure de masse volumique 13,6 103 kg/m3, à quelle hauteur monterait le jet dans les mêmes conditions de vitesse d'éjection ? g = 10 m/s².
corrigé
L'énergie cinétique initiale de l'eau est convertie en énergie potentielle de pesanteur :

½mvB2 = mgh soit vB= (2gh)½=(2*10*156)½=55,9 m/s.

rapport des section des tuyaux (S/s) = rapport des carrés des diamètres : (dA/dB)2 = (1/0,107)2 = 87,34

Le débit volumique [ section (m²) * vitesse (m/s)] se conserve : S vA = s vB d'où : vA = s/S vB =55,9 /87,34= 0,64 m/s.

débit volumique : D = section (m²) * vitesse (m/s) = pdA²/4*vA=3,14/4 *0,64 = 0,5 m3/s.

puissance nécessaire pour alimenter le jet d'eau : D reau g h avec reau = 103 kg/m3.

P= 0,5*103*10*156 = 7,8 105 W = 780 kW.( la valeur réelle est 1000 kW)

Dans le cas du mercure et dans les mêmes conditions diviser h par 13,6 : 11,5 m.
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