Aurélie 20/3/6
Relever le facteur de puissance d'un moteur

d'après concours interne d'ingénieur territorial 2004

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Electricité ( 4 pts)
  1. Un récepteur d'impédance Z= 20 W introduit un déphasage j entre une tension et l'intensité tel que cos j=0,8. La tension d'alimentation ( 400 V - 50 Hz) est en avance sur l'intensité. Calculer la valeur de l'inductance L et de la résistance R du dipole équivalent à ce récepteur.
  2. On réalise un moteur triphasé équilibré en montant en triangle trois enroulements identiques à celui décrit ci-dessus sur une installation 230 / 400 V - 50 Hz. Calculer l'intensité du courant dans chaque enroulement puis dans les fils de ligne.
    - Quelle est la puissance active de ce moteur ?
  3. Sur l'installation précédente on ajoute au moteur trois condensateurs de capacité identique C= 290 mF montés en étoile. Calculer l'intensité en ligne pour l'ensemble obtenu. Comparer à celle trouvée ci-dessus et conclure.
corrigé

cos j = R/Z d'où : R= Z cosj = 20*0,8 = 16 W.

pulsation w = 2pf = 2*3,14*50 = 314 rad/s ; tan j = 0,75

L=R tan j /w = 16*0,75/314 =0,038 H.

intensité du courant dans chaque enroulement : couplage triangle :

chaque impédance est alimentée sous une tension composée U= 400 V

U= Z J soit J= U/Z =400/20 = 20 A.

l'intensité du courant dans un fil de ligne I diffère de l'intensité du courant J dans une impédance : I = 20 *3 ½= 34,6 A.

puissances ( quel que soit le couplage)

Puissance active : P= 3½*400*34,6*0,8 =19,2 kW.

couplage étoile :

chaque impédance est alimentée sous une tension simple ;

l'intensité du courant dans un fil de ligne est égale à l'intensité du courant dans une impédance.

puissance réactive des condensateurs : Q2= - 3 Cw V² =-3*290 10-6*314*220² = -13200 var

les condensateurs ne comsomment pas de puissance active P2=0
P (watt)
S ( VA) = (P² + Q²)½
|Q |(var)
moteur
19200
P/cosj=19200/0,8=24000
S sinj= 14400
condensateur
0
13200
-13200
total installation
19200
(19200²+1200²)½=19220
1200
intensité du courant dans la ligne : I= S/(3½U) =19220/(1,732*400) =27,7 A.

l'intensité diminue ; le facteur de puissance de l'installation esr relevé : cosj' = 19200/19220 voisin de 1.
Electricité ( 3 pts)

Une installation fonctionnant sous 220 v - 50 Hz monophasé comprend :
- Un appareillage de puissance utile 29440 W, de rendement h=0,8 et de facteur de puissance cosj=0,75
- Un ensemble de 200 lampes de 100 W chacune.

La ligne qui alimente cette installation est équivalente au dipole série de caractéristiques : Rli=0,05 W ; Lli = 0,001 H et Cli = 12500 mF. On demande :

  1. L'intensité du courant dans la ligne.
  2. Le facteur de puissance de l'installation.
  3. Les pertes par effet joule dans la ligne.
  4. La puissance apparente au départ de la ligne.
  5. La tension au départ de la ligne.
  6. Le facteur de puissance au départ de la ligne.
corrigé
On note U : valeur efficace de la tension ; I : intensité efficace du courant ; P=UI cos j( watt) puissance active

S= UI, puissance apparente ( V A) et Q = UI sin j( var ) puissance réactive

La puissance consommée par l'appareillage vaut : Putile / rendement =29440 / 0,8 = 36800 W = 36,8 kW

Q est positif si l'appareillage est inductif ; négatif si l'appareillage est capacitif

P (watt)
S ( VA)
|Q |(var)
appareillage
36800
P/cosj=36800/0,75 = 49067
S sinj= 32455
lampes
20000
20000
0
total installation
56800
(56800²+32455²)½=65416
32455

intensité du courant dans la ligne : I= S/U =65416/220 =297 A.

facteur de puissance de l'installation : cosj= P/S = 56800/65416 =0,87.

pertes par effet joule dans la ligne : rI² =0,05*2972 = 4410 W.

fréquence : f = 50 Hz ; pulsation w= 2pf = 314 rad/s

réactance de la ligne X =Lw-1/(Cw) = 0,001*314 - 1/( 0,0125*314)=0,314-0,255 =0,059 W.

Puissance réactive de la ligne Qli =XI²=0,059*2972 = 5204 var.

Puissance réactive totale : Q=Qli + Qinst= 5204+32455 = 37660 var

Puissance active totale : P=Pli + Pinst= 4410+56800=61210 W

Puissance apparente au départ de la ligne : S= (P² + Q²)½ =(376602 + 612102)½=71867 VA.

tension au départ de la ligne : U= S/I =71867/297 = 242 V.

facteur de puissance au départ de la ligne : P/S =61210/71867= 0,85.

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