Aurélie 10/04/06
charge-décharge d'un condensateur

d'après concours kiné EFOM 2006


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charge-décharge d'un condensateur

On associe en série un générateur basse fréquence (GBF), un résistor (R= 10 kW) , un condensateur de capacité C= 10mF et un interrupteur. Le GBF délivre une tension u, rectangulaire telle que : u(t)=U0 =10 V sur l'intervalle [0 ; ½T] et u(t) = 0 sur l'intervalle [½T, T]

  1. Représenter u(t) sur l'intervalle [0, 2T].
  2. A l'instant t=0 on ferme l'interrupteur et la tension u(t) prend la valeur U0. Etablir l'équation différentielle caractérisant la tension uC(t) aux bornes du condensateur pendant la première demi-période de u(t).
    - Faire un schéma en indiquant le sens du courant et les différentes tensions.
    -On donne comme solution de l'équation différentielle : uc= A(1-exp(-at)). Déterminer littéralement et numériquement A et a.
    - Que représentent physiquement A et a.
    - En déduire l'expression de uC(t).
    - Vérifier que la solution trouvée satisfait aux conditions initiales
    - Donner l'allure de la courbe uc(t) dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.
    - En déduire l'énergie stockée à chaque instant par le condensateur.
    - Que vaut cette énergie en fin de charge ( ½T>> RC)
    - A quel instant t1 la charge maximale est-elle atteinte au millième près ?
  3. A l'instant t=½T, la tension u(t) passe de U0 à 0. On réalise un changement de repère temporel : on appelle t' la nouvelle variable pour laquelle l'instant initial t'=0 correspond à t=½T.
    - Etablir l'équation différentielle caractérisant la tension uC(t') aux bornes du condensateur pendant la seconde demi-période de u(t).
    - Faire le schéma du montage en faisant apparaître l'intensité et les différentes tensions.
    - On donne comme solution de l'équation différentielle : uc= Bexp(-bt). Déterminer littéralement et numériquement B et b.
    - Que représentent physiquement b. Quel rapport avec a ?
    - En déduire la valeur de B puis l'expression de uC(t').
    - Vérifier que la solution trouvée satisfait aux conditions initiales
    - Donner l'allure de la courbe uc(t') dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.
    - En déduire l'énergie stockée à chaque instant par le condensateur.
    - Que vaut cette énergie en fin de décharge ( ½T>> RC)
    - A quel instant t'2 la charge vaut-elle 37% de la charge maximale ?

    Données : ln 10 = 2,3 ; e1 = 100/37


corrigé

u(t) sur l'intervalle [0, 2T]

équation différentielle caractérisant la tension uC(t) aux bornes du condensateur pendant la première demi-période de u(t)

uPB= U0 ; uPB= uPA+ uAB avec i = dqA/dt = CduAB/dt .

U0 = Ri +uAB soit U0 =RC duC/dt +uC (1)

uc= A(1-exp(-at))

dériver l'expression de uC par rapport au temps : duC/dt = Aa exp(-at).

repport dans (1) : U0 = RCAa exp(-at)+A(1-exp(-at))

U0 = A(RCa -1)exp(-at) +A égalité vérifiée quel que soit le temps, en conséquence A= U0 et a =1/(RC) = 1/(104*10-5) = 10 s

A : amplitude de la tenion uC (V) ; a =1/(RC) inverse de la constante de temps ( seconde-1 ) du dipôle RC.

uC(t) = U0(1-exp(-t/(RC)))= 10 ( 1-exp(-10t))

la solution trouvée satisfait aux conditions initiales en effet :

uC(0) = 10(1-exp(0)) = 0 ( condensateur non chagé)

allure de la courbe uc(t) dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.

énergie stockée à chaque instant par le condensateur : ½CuC².
cette énergie en fin de charge vaut : ½CU²0 = 0,5 10-5*100 = 5 10-4 J.
instant t1 où la charge maximale est atteinte au millième près : uC(t1) = 0,999 U0 ; 0,999 = 1-exp(-10t1) ; 10-3 = exp(-10t1)

ln(10-3) = -10 t1 ; t1 = -0,1 ln(10-3) =0,69 s.


équation différentielle caractérisant la tension uC(t') aux bornes du condensateur pendant la seconde demi-période de u(t).

uC(t') = Ri avec i = -dq/dt et q= CuC soit i = -CduC/dt

uC(t')+RCduC/dt =0 (1)

solution de l'équation différentielle : uc= Bexp(-bt). Valeurs de B et b :

dériver l'expression de uC par rapport au temps : duC/dt = -Bb exp(-bt).

repport dans (1) : B exp(-bt) -Bb RC exp(-bt) =0 égalité vérifiée quel que soit le temps, en conséquence b =1/(RC) = 1/(104*10-5) = 10 s
b=a =1/(RC) inverse de la constante de temps ( seconde-1 ) du dipôle RC.
valeur de B et l'expression de uC(t') :

à l'instant t'=0 uc(0) = U0 = 10 V d'où B = 10 V et uc= 10 exp(-10t). La solution trouvée satisfait aux conditions initiales
allure de la courbe uc(t') dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC :

énergie stockée à chaque instant par le condensateur : ½CuC².
cette énergie est nulle en fin de décharge ( ½T>> RC)
instant t'2 où la charge vaut 37% de la charge maximale :

uC(t'2) = 0,37 *10 = 10 exp(-10t'2) ; 0,37 = exp(-10t'2) ; -10t'2 = ln 0,37 = -1 soit t'2 = 0,1 s.


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