On associe en série un générateur basse fréquence (GBF), un résistor (R= 10 kW) , un condensateur de capacité C= 10mF et un interrupteur. Le GBF délivre une tension u, rectangulaire telle que : u(t)=U₀ =10 V sur l'intervalle [0 ; ½T] et u(t) = 0 sur l'intervalle [½T, T]

1. Représenter u(t) sur l'intervalle [0, 2T].
2. A l'instant t=0 on ferme l'interrupteur et la tension u(t) prend la valeur U₀. Etablir l'équation différentielle caractérisant la tension u_C(t) aux bornes du condensateur pendant la première demi-période de u(t).
   - Faire un schéma en indiquant le sens du courant et les différentes tensions.
   -On donne comme solution de l'équation différentielle : u_c= A(1-exp(-at)). Déterminer littéralement et numériquement A et a.
   - Que représentent physiquement A et a.
   - En déduire l'expression de u_C(t).
   - Vérifier que la solution trouvée satisfait aux conditions initiales
   - Donner l'allure de la courbe u_c(t) dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.
   - En déduire l'énergie stockée à chaque instant par le condensateur.
   - Que vaut cette énergie en fin de charge ( ½T>> RC)
   - A quel instant t₁ la charge maximale est-elle atteinte au millième près ?
3. A l'instant t=½T, la tension u(t) passe de U₀ à 0. On réalise un changement de repère temporel : on appelle t' la nouvelle variable pour laquelle l'instant initial t'=0 correspond à t=½T.
   - Etablir l'équation différentielle caractérisant la tension u_C(t') aux bornes du condensateur pendant la seconde demi-période de u(t).
   - Faire le schéma du montage en faisant apparaître l'intensité et les différentes tensions.
   - On donne comme solution de l'équation différentielle : u_c= Bexp(-bt). Déterminer littéralement et numériquement B et b.
   - Que représentent physiquement b. Quel rapport avec a ?
   - En déduire la valeur de B puis l'expression de u_C(t').
   - Vérifier que la solution trouvée satisfait aux conditions initiales
   - Donner l'allure de la courbe u_c(t') dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.
   - En déduire l'énergie stockée à chaque instant par le condensateur.
   - Que vaut cette énergie en fin de décharge ( ½T>> RC)
   - A quel instant t'₂ la charge vaut-elle 37% de la charge maximale ?
   
   Données : ln 10 = 2,3 ; e¹ = 100/37

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corrigé

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u(t) sur l'intervalle [0, 2T]

équation différentielle caractérisant la tension u_C(t) aux bornes du condensateur pendant la première demi-période de u(t)

u_PB= U₀ ; u_PB= u_PA+ u_AB avec i = dq_A/dt = Cdu_AB/dt .

U₀ = Ri +u_AB soit U₀ =RC du_C/dt +u_C (1)

u_c= A(1-exp(-at))

dériver l'expression de u_C par rapport au temps : du_C/dt = Aa exp(-at).

repport dans (1) : U₀ = RCAa exp(-at)+A(1-exp(-at))

U₀ = A(RCa -1)exp(-at) +A égalité vérifiée quel que soit le temps, en conséquence A= U₀ et a =1/(RC) = 1/(10⁴*10^-5) = 10 s

A : amplitude de la tenion u_C (V) ; a =1/(RC) inverse de la constante de temps ( seconde^-1 ) du dipôle RC.

u_C(t) = U₀(1-exp(-t/(RC)))= 10 ( 1-exp(-10t))

la solution trouvée satisfait aux conditions initiales en effet :

u_C(0) = 10(1-exp(0)) = 0 ( condensateur non chagé)

allure de la courbe u_c(t) dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC.

énergie stockée à chaque instant par le condensateur : ½Cu_C².
cette énergie en fin de charge vaut : ½CU²₀ = 0,5 10^-5*100 = 5 10^-4 J.
instant t₁ où la charge maximale est atteinte au millième près : u_C(t₁) = 0,999 U₀ ; 0,999 = 1-exp(-10t₁) ; 10^-3 = exp(-10t₁)

ln(10^-3) = -10 t₁ ; t₁ = -0,1 ln(10^-3) =0,69 s.

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équation différentielle caractérisant la tension u_C(t') aux bornes du condensateur pendant la seconde demi-période de u(t).

u_C(t') = Ri avec i = -dq/dt et q= Cu_C soit i = -Cdu_C/dt

u_C(t')+RCdu_C/dt =0 (1)

solution de l'équation différentielle : u_c= Bexp(-bt). Valeurs de B et b :

dériver l'expression de u_C par rapport au temps : du_C/dt = -Bb exp(-bt).

repport dans (1) : B exp(-bt) -Bb RC exp(-bt) =0 égalité vérifiée quel que soit le temps, en conséquence b =1/(RC) = 1/(10⁴*10^-5) = 10 s
b=a =1/(RC) inverse de la constante de temps ( seconde^-1 ) du dipôle RC.
valeur de B et l'expression de u_C(t') :

à l'instant t'=0 u_c(0) = U₀ = 10 V d'où B = 10 V et u_c= 10 exp(-10t). La solution trouvée satisfait aux conditions initiales
allure de la courbe u_c(t') dans le cas ou ½T est très supérieur au produit RC :

énergie stockée à chaque instant par le condensateur : ½Cu_C².
cette énergie est nulle en fin de décharge ( ½T>> RC)
instant t'₂ où la charge vaut 37% de la charge maximale :

u_C(t'₂) = 0,37 *10 = 10 exp(-10t'₂) ; 0,37 = exp(-10t'₂) ; -10t'₂ = ln 0,37 = -1 soit t'₂ = 0,1 s.