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Dans une rue plane et rectiligne, un motard M démarre quand le feu passe au vert avec une accélération de valeur a1 pendant la durée S ; ensuite le pilote maintient sa vitesse constante de valeur v1. A l'instant du démarrage du cyclomoteur, une automobile A, située à la distance D du feu, derrière M, roule à vitesse constante , de valeur v2. On choisit comme origine des espaces, la position du feu tricolore, et comme origine des temps, l'instant où l'auto pase devant le feu tricolore. Le sens positif de l'axe correspond au ens du mouvement.
a1 = 1 m/s² ; v2 = 10 m/s ; D= 10 m ; 80½= 8,9 ; S = 20 s.
La vitesse v est une primitive de l'accélération : v est de la forme a1 t ; soit en tenant compte de l'origine des dates : v = a1( t+T) la position xM du motard est une primitive de la vitesse : xM est de la forme ½a1t2 ; xM = ½a1( t+T)2 et en combinant ces deux relations ( éliminer le temps): v2 =2 a1xM . durée T nécessaire pour que A atteigne le feu : T= D/v2 = 10/10 = 1 s. équation horaire xM(t) du motard pout t<= S-T en fonction de a1, D et v2 : xM(t) = ½a1(T+t)2 = ½a1(D/v2+t)2 ; xM(t) = 0,5 (1+t)2 . équation horaire xA(t) de l'auto : xA(t) = v2 t = 10 t. date t1 à laquelle l'auto rattrape la moto : xA(t1)=xM(t1) 0,5(1+t1)2= 10 t1 ; t12 -18t1+1=0 deux solutions : t= 0,1 s et t= 17,9 s. à la date t= 0,1 s, la voiture dépasse la moto ; à la date t = 17,9 s, la moto dépasse à nouveau la voiture. Pour t>=S-T soit t> 19 s, la moto est en tête. position de la moto pour t= S-T soit t = 19 s : xM(19) = 0,5*20² = 200 m. équation horaire du motard pour t>=19 s : mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v = a1S = 20 m/s.
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