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Les frottements seront négligés. Longueur à vide du ressort R1 : l0 = 10 cm ; raideur k1=k = 10 N/m ; la masse des ressorts est négligeable. g = 10 m/s²  Partie A : ( figure 1) m = 40 g
Partie B : ( figure 2) Longueur à vide du ressort R2 : l0 = 10 cm ; raideur k2=3k = 30 N/m ; la masse m coulisse le long de la tige O1O2= 2L= 30 cm. Soient Dl10 et Dl20 les allongements des ressorts R1 et R2 à l'équilibre.
corrigé 
La masse m est soumise à son poids, vertical, vers le bas, valeur P= mg et à la tension du ressort, verticale, vers le haut, valeur T= k |Dl| A l'équilibre le poids et la tension du ressort se compensent. Ces deux forces opposées ont la même valeur mg = k(l-l0) = k |Dl| ; |Dl| = mg /k = 0,04*10 / 10 = 0,04 m = 4 cm. Dl = -0,04 m. Dl = l-l0 d'où l = Dl
+l0 = -0,04 +0,1 = 0,06 m.
action de la tige et poids se neutralisent. T1 = k1 Dl10 = k Dl10 ; T2 = k2 Dl20 = 3 kDl20 . A l'équilibre, ces deux forces ont la même valeur, d'où : Dl10 = 3Dl20 . de plus 2L= 2 l0 + Dl10+ Dl20 ; L= l0 +2 Dl20 ; Dl20 =½(L-l0) = 0,5(15-10)=2,5 cm = 0,025 m ; Dl10 =0,075 m. allongements Dl1 et Dl2 des ressorts : Dl1 = Dl10 +x ; Dl2 =Dl20 -x Ecrire la seconde loi de Newton projetée sur l'axe Ox avec : T1 = -kDl1 ; T2 = 3kDl2 . -k(Dl10 +x ) + 3k(Dl20 -x)= mx" (dérivée seconde de x par rapport au temps) -kDl10-kx + 3kDl20-3kx= mx" ; or kDl10=3kDl20 d'où -4kx = mx" soit x"+4k/m x=0. en posant w0²= 4k/m =40/0,04 = 1000 ; w0 =31,6 rad/s, l'équation différentielle s'écrit : x"+w0²x=0 (1) périodeT0 = 2p/w0 = 6,28 / 31,6 = 0,2 s. les solution de cette équation sont du type x(t) = A cos( 2p/T0 t+F). dériver deux fois par rapport au temps : x" = -( 2p/T0 )2 A cos( 2p/T0 t+F)= - w0²x repport dans (1) : - w0²x + w0²x=0 quel que soit le temps, donc x(t) = A cos( 2p/T0 t+F) est bien solution de (1) On détermine A et F par les conditions initiales : à t=0, x(0) = a = 0,02 m d'où 0,02 = A cos F ; d'où A=0,02 m et F =0 ( amplitude)
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Un ressort de constante de raideur k, de masse négligeable et de longueur à vide l0 est fixé par l'une de ses extrémités à une butée fixe. Il peut osciller sans frottement suivant la ligne de plus grande pente d'un plan incliné d'un angle a par rapport à l'horizontale. On relie l'extrrémité libre du ressort à une petite bille de masse m. On considérera cette bille comme ponctuelle. A l'équilibre, le ressort est comprimé de 1,0 cm par rapport à sa longueur à vide et la bille se trouve en A. m= 200 g ; a= 20° ; yB= 14 cm ; AB= 20 cm. 
corrigé 
A l'équilibre T=kx=mgsina d'où k= mgsina / x = 0,2*9,8 sin20 / 0,01 = 67 N/m. vitesse vA( en m/s) de la bille en A. origine des énergies potentielles : le point A . Ecrire la conservation de l'énergie mécanique. Au point le plus bas ( ressort comprimé de 8 cm suplémentaires) l'énergie est sous forme potentielle élastique et de pesanteur 0,5*67*0,08²-0,2*9,8*0,08 sin 20 = 0,16 J En A, l'énergie est sous forme cinétique : ½mv²A 0,16 =½mv²A soit v²A=0,16*2/0,2 = 1,6; vA= 1,3 m/s. vitesse vB( en m/s) de la bille en B : entre A et B seul le poids effectue un travail résistant ( l'action du plan, perpendiculaire au plan ne travaille pas) travail du poids : mg(yA-yB) = -mgAB sina = -0,2*9,8*0,2 sin 20 = -0,134 J théorème de l'énergie cinétique entre A et B : ½mv²B-½mv²A= -mgAB sina v²B=v²A - 2gAB sina = 1,6 -2*9,8*0,2*sin 20 = 0,27 ; vB= 0,52 m/s. calcul de OP en cm : chute libre avec vitesse initiale
en P l'altitude est nulle : 0 = -4,9 x²/(0,52²*cos²20) + x tan20 + 0,14 -20,5 x² + 0,364 x+0,14 = 0 d'où x = 0,092 m ( 9,2 cm) durée en seconde mise par la bille pour aller de A en P : trajet BP : OP=vBcosa t soit t =OP/(vBcosa)=0,092/(0,52*cos20)= 0,19 s. trajet AB : mouvement rectiligne uniformément retardé d'accélération a telle qie : v²B-v²A=2a AB soit a = (0,52²-1,3²) / 0,4 = -3,35 m/s. vitesse primitive de l'accélération : v= -at + vA = -3,35 t + 1,46 soit t =( vB -vA)/a=(1,46-0,9)/3,35 = 0,17 s total : 0,19+0,17 = 0,36 s.
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