Les frottements seront négligés. Longueur à vide du ressort R₁ : l₀ = 10 cm ; raideur k₁=k = 10 N/m ; la masse des ressorts est négligeable. g = 10 m/s²

Partie A : ( figure 1) m = 40 g

1. Shématiser les forces appliquées à la masse m.
2. Calculer la déformation Dl=l-l₀ et la longueur du ressort à l'équilibre.

Partie B : ( figure 2) Longueur à vide du ressort R₂ : l₀ = 10 cm ; raideur k₂=3k = 30 N/m ; la masse m coulisse le long de la tige O₁O₂= 2L= 30 cm.

Soient Dl₁₀ et Dl₂₀ les allongements des ressorts R₁ et R₂ à l'équilibre.

1. Shématiser les forces appliquées à la masse m et représenter Dl₁₀ et Dl₂₀ .
   - Quelle relation existe-t-il entre l₀, Dl₁₀ , Dl₂₀ et L ?
   - Ecrire la condition d'équilibre ; donner les espressions de Dl₁₀ et Dl₂₀. Calculer Dl₁₀ et Dl₂₀.
2. On écarte la masse m de a= 2,0 m vers la droite et on la lâche sans vitesse initiale. On repère la masse m par la position x de son centre d'inertie sur un axe orienté vers la droite. L'origine O de l'axe correspond avec la position d'équilibre.
   - Exprimer à l'instant t les allongements Dl₁ et Dl₂ des ressorts en fonction de x, Dl₁₀ et Dl₂₀.
   - Déterminer l'équation différentielle de la masse.
   - Montrer que la solution de cette équation est du type x(t) = A cos( 2p/T₀ t+F). Déterminer les expressions litérales et numériques de A, T₀ et F.

---

corrigé

---

La masse m est soumise à son poids, vertical, vers le bas, valeur P= mg et à la tension du ressort, verticale, vers le haut, valeur T= k |Dl|

A l'équilibre le poids et la tension du ressort se compensent. Ces deux forces opposées ont la même valeur

mg = k(l-l₀) = k |Dl| ; |Dl| = mg /k = 0,04*10 / 10 = 0,04 m = 4 cm. Dl = -0,04 m.

Dl = l-l₀ d'où l = Dl +l₀ = -0,04 +0,1 = 0,06 m.

---

action de la tige et poids se neutralisent.

T₁ = k₁ Dl₁₀ = k Dl₁₀ ; T₂ = k₂ Dl₂₀ = 3 kDl₂₀ .

A l'équilibre, ces deux forces ont la même valeur, d'où : Dl₁₀ = 3Dl₂₀ .

de plus 2L= 2 l₀ + Dl₁₀+ Dl₂₀ ; L= l₀ +2 Dl₂₀ ; Dl₂₀ =½(L-l₀) = 0,5(15-10)=2,5 cm = 0,025 m ; Dl₁₀ =0,075 m.

allongements Dl₁ et Dl₂ des ressorts : Dl₁ = Dl₁₀ +x ; Dl₂ =Dl₂₀ -x

Ecrire la seconde loi de Newton projetée sur l'axe Ox avec : T₁ = -kDl₁ ; T₂ = 3kDl₂ .

-k(Dl₁₀ +x ) + 3k(Dl₂₀ -x)= mx" (dérivée seconde de x par rapport au temps)

-kDl₁₀-kx + 3kDl₂₀-3kx= mx" ;

or kDl₁₀=3kDl₂₀ d'où -4kx = mx" soit x"+4k/m x=0.

en posant w₀²= 4k/m =40/0,04 = 1000 ; w₀ =31,6 rad/s, l'équation différentielle s'écrit : x"+w₀²x=0 (1)

périodeT₀ = 2p/w₀ = 6,28 / 31,6 = 0,2 s.

les solution de cette équation sont du type x(t) = A cos( 2p/T₀ t+F).

dériver deux fois par rapport au temps : x" = -( 2p/T₀ )² A cos( 2p/T₀ t+F)= - w₀²x

repport dans (1) : - w₀²x + w₀²x=0 quel que soit le temps, donc x(t) = A cos( 2p/T₀ t+F) est bien solution de (1)

On détermine A et F par les conditions initiales :

à t=0, x(0) = a = 0,02 m d'où 0,02 = A cos F ; d'où A=0,02 m et F =0 ( amplitude)

---

---

Soient deux fils rectilignes verticaux, infinis, parallèles situés à la distance O₁O₂ = 2a l'un de l'autre et parcourus par des courants de sens opposé et de même intensité I₀. Le plan des deux fils est contenu dans le plan du méridien magnétique terrestre et une aiguille aimantée placée en leur voisinage s'oriente comme sur la figure lorsqu'aucun courant ne traverse les fils.

On rappelle qu'un fil rectiligne infini, parcouru par un courant crée en un point M' de l'espace un champ magnétique de valeur B= m₀ I/ (2pr), où r est la distance de M' au fil. m₀ = 4p 10^-7 SI ; 2a = 20 cm ; B_h= 2 10^-5 T, composante horizontale du champ magnétique terrestre.

1. Calculer I₀ pour qu'un fil infini crée en un point H tel que a= 10 cm un champ magnétique de valeur égal à B_h.
2. On se place en un point M de l'axe Ox situé à a=10 cm à droite de O₂. Exprimer en fonction de B_h, les normes B₁ et B₂ des champs crée en M par les deux fils. Représenter ces champs ainsi que le champ résultant B_r en M.
   - Après avoir exprimer la norme de B_r en fonction de B_h, calculer de quel angle a tourné l'aiguille aimantée.
3. On se place en un point P de l'axe Oy à une distance a= 10 cm de O. Exprimer les distances O₁P et O₂P en fonction de a. Montrer que le triangle PO₁O₂ est rectangle en P. Exprimer en fonction de B_h, les normes B₁ et B₂ des champs crée en P par les deux fils. Représenter ces champs ainsi que le champ résultant B_r en P.
   - Après avoir exprimer la norme de B_r en fonction de B_h, calculer de quel angle a tourne l'aiguille aimantée.

1. Quelle est la composition du noyau de ²¹²₈₃ Bi
2. Donner la définition de l'énergie de liaison d'un noyau.
3. Le noyau de bismuth 212 est instable et donne naissance spontanément à un noyau de Tallium ²⁰⁸₈₁ Tl. Ecrire l'équation de désintégration du bismuth 212. Justifier. Calculer l'énergie W libérée par cette réaction nucléaire.
   - En déduire la masse du noyau de bismuth 212 exprimée en u.
4. Lors de cette réaction nucléaire, le noyau fils est émis avec une énergie cinétique de recul de 0,117 MeV et un rayonnement électromagnétique d'énergie 0,327 MeV est détecté. Comment interprété la présence de ce rayonnement ?
   - Calculer l'énergie cinétique de la particule a.

Masse du noyau de ²⁰⁸₈₁ Tl : m(²⁰⁸ Tl)= 207,937 592 u ; masse du noyau d'hélium : m(⁴He)= 4,001 54 u ;

Energie de liaison par nucléon : E(²¹² Bi) = 7,800 MeV/nucléons ; E(²⁰⁸ Tl) = 7,847 MeV/nucléons ; E(⁴ He) = 7,066 MeV/nucléons ;

1 u= 1,661 10^-27 kg = 931,5 MeV c^-2.

La solubilité s d'un cristal ionique est la concentration molaire volumique maximale en soluté apporté que l'on peut dissoudre dans 1 L de solution. L'eau de chaux est une solution aqueuse saturée d'hydroxyde de calcium Ca(OH)₂. A 20,0°C, la conductivité de cette solution est s = 5,00 10^-1 S/m

1. Ecrire l'équation chimique de la réaction de dissolution de l'hydroxyde de calcium
2. Exprimer la concentration des ions présents dans l'eau de chaux en fonction de la solubilité s de l'hydroxyde de calcium ( le milieu étant basique on négligera la contribution des ions oxonium)
3. Exprimer la conductivité de la solution en fonction de :
   - La concentration des ions majoritaires présents dans la solution
   - La solubilité s de l'hydroxyde de calcium
   - En déduire s.
4. Quel est le pH de la solution d'eau de chaux ?
5. Exprimer la constante K_s de l'équilibre de dissolution de l'hydroxyde de calcium et calculer sa valeur numérique l_HO-= 190 10^-4 S m² mol^-1 ; l_Ca2+= 120 10^-4 S m² mol^-1 ;

   ---

   corrigé

   ---

   équation chimique de la réaction de dissolution de l'hydroxyde de calcium : Ca(OH)₂ (s) = Ca²⁺ (aq) + 2 HO^- (aq)

L'acétate de benzyle de formule CH₃-COO-CH₂-C₆H₅ est l'un des constituants de l'essence de jasmin.

1. Ecrire l'équation chimique de sa formation à partir de l'acide éthanoïque. Donner trois caractéristiques de cette réaction.
2. Lors de la synthèse, on a utilisé 6,00 g d'acide et 10,8 g d'alcool. On a obtenu 10,0 g d'ester. Calculer le rendement de cette synthèse.
3. Le rendement aurait-il été amélioré :
   - par chauffage du milieu réactionnel ( justifier).
   - par addition d'acide sulfurique (justifier)
4. On mélange 7,50 g d'ester et 900 mg d'eau. Après un chauffage prolongé de cette solution on constate que la transformation n'évolue plus. Comment appelle-t-on cette réaction ?
   - Donner les quantités de matière de chaque espèces présentes lorsque la transformation n'évolue plus.
5. On traite maintenant 1,50 g d'ester restant par une solution de soude à 10 mol/L. Ecrire l'équation chimique de la réaction.
   - Comment appelle-t-on cette réaction ?
   - En quoi diffère-t-elle de la réaction effectuée à la question 4 ?
   - Quel est le volume minimal de soude utilisé ?
   M( acide éthanoïque) = 60 g/mol ; M( alcool benzylique) = 108 g/mol ; M( acétate de benzyle) = 150 g/mol ; m(eau) = 18 g/mol)