Aurélie 03/04/06
d'après concours kiné Assas 2006

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Ressorts.

Les frottements seront négligés. Longueur à vide du ressort R1 : l0 = 10 cm ; raideur k1=k = 10 N/m ; la masse des ressorts est négligeable. g = 10 m/s²

Partie A : ( figure 1) m = 40 g

  1. Shématiser les forces appliquées à la masse m.
  2. Calculer la déformation Dl=l-l0 et la longueur du ressort à l'équilibre.

Partie B : ( figure 2) Longueur à vide du ressort R2 : l0 = 10 cm ; raideur k2=3k = 30 N/m ; la masse m coulisse le long de la tige O1O2= 2L= 30 cm.

Soient Dl10 et Dl20 les allongements des ressorts R1 et R2 à l'équilibre.

  1. Shématiser les forces appliquées à la masse m et représenter Dl10 et Dl20 .
    - Quelle relation existe-t-il entre l0, Dl10 , Dl20 et L ?
    - Ecrire la condition d'équilibre ; donner les espressions de Dl10 et Dl20. Calculer Dl10 et Dl20.
  2. On écarte la masse m de a= 2,0 m vers la droite et on la lâche sans vitesse initiale. On repère la masse m par la position x de son centre d'inertie sur un axe orienté vers la droite. L'origine O de l'axe correspond avec la position d'équilibre.
    - Exprimer à l'instant t les allongements Dl1 et Dl2 des ressorts en fonction de x, Dl10 et Dl20.
    - Déterminer l'équation différentielle de la masse.
    - Montrer que la solution de cette équation est du type x(t) = A cos( 2p/T0 t+F). Déterminer les expressions litérales et numériques de A, T0 et F.

corrigé

La masse m est soumise à son poids, vertical, vers le bas, valeur P= mg et à la tension du ressort, verticale, vers le haut, valeur T= k |Dl|

A l'équilibre le poids et la tension du ressort se compensent. Ces deux forces opposées ont la même valeur

mg = k(l-l0) = k |Dl| ; |Dl| = mg /k = 0,04*10 / 10 = 0,04 m = 4 cm. Dl = -0,04 m.

Dl = l-l0 d'où l = Dl +l0 = -0,04 +0,1 = 0,06 m.


action de la tige et poids se neutralisent.

T1 = k1 Dl10 = k Dl10 ; T2 = k2 Dl20 = 3 kDl20 .

A l'équilibre, ces deux forces ont la même valeur, d'où : Dl10 = 3Dl20 .

de plus 2L= 2 l0 + Dl10+ Dl20 ; L= l0 +2 Dl20 ; Dl20 =½(L-l0) = 0,5(15-10)=2,5 cm = 0,025 m ; Dl10 =0,075 m.

allongements Dl1 et Dl2 des ressorts : Dl1 = Dl10 +x ; Dl2 =Dl20 -x

Ecrire la seconde loi de Newton projetée sur l'axe Ox avec : T1 = -kDl1 ; T2 = 3kDl2 .

-k(Dl10 +x ) + 3k(Dl20 -x)= mx" (dérivée seconde de x par rapport au temps)

-kDl10-kx + 3kDl20-3kx= mx" ;

or kDl10=3kDl20 d'où -4kx = mx" soit x"+4k/m x=0.

en posant w0²= 4k/m =40/0,04 = 1000 ; w0 =31,6 rad/s, l'équation différentielle s'écrit : x"+w0²x=0 (1)

périodeT0 = 2p/w0 = 6,28 / 31,6 = 0,2 s.

les solution de cette équation sont du type x(t) = A cos( 2p/T0 t+F).

dériver deux fois par rapport au temps : x" = -( 2p/T0 )2 A cos( 2p/T0 t+F)= - w0²x

repport dans (1) : - w0²x + w0²x=0 quel que soit le temps, donc x(t) = A cos( 2p/T0 t+F) est bien solution de (1)

On détermine A et F par les conditions initiales :

à t=0, x(0) = a = 0,02 m d'où 0,02 = A cos F ; d'où A=0,02 m et F =0 ( amplitude)



champ magnétique

Soient deux fils rectilignes verticaux, infinis, parallèles situés à la distance O1O2 = 2a l'un de l'autre et parcourus par des courants de sens opposé et de même intensité I0. Le plan des deux fils est contenu dans le plan du méridien magnétique terrestre et une aiguille aimantée placée en leur voisinage s'oriente comme sur la figure lorsqu'aucun courant ne traverse les fils.

On rappelle qu'un fil rectiligne infini, parcouru par un courant crée en un point M' de l'espace un champ magnétique de valeur B= m0 I/ (2pr), où r est la distance de M' au fil. m0 = 4p 10-7 SI ; 2a = 20 cm ; Bh= 2 10-5 T, composante horizontale du champ magnétique terrestre.

  1. Calculer I0 pour qu'un fil infini crée en un point H tel que a= 10 cm un champ magnétique de valeur égal à Bh.
  2. On se place en un point M de l'axe Ox situé à a=10 cm à droite de O2. Exprimer en fonction de Bh, les normes B1 et B2 des champs crée en M par les deux fils. Représenter ces champs ainsi que le champ résultant Br en M.
    - Après avoir exprimer la norme de Br en fonction de Bh, calculer de quel angle a tourné l'aiguille aimantée.
  3. On se place en un point P de l'axe Oy à une distance a= 10 cm de O. Exprimer les distances O1P et O2P en fonction de a. Montrer que le triangle PO1O2 est rectangle en P. Exprimer en fonction de Bh, les normes B1 et B2 des champs crée en P par les deux fils. Représenter ces champs ainsi que le champ résultant Br en P.
    - Après avoir exprimer la norme de Br en fonction de Bh, calculer de quel angle a tourne l'aiguille aimantée.

corrigé
Bh= m0 I0/ (2pa) soit I0 =2paBh/ m0 =2p *0,1*2 10-5 /(4p 10-7 )= 10 A.

normes B1 et B2 des champs crée en M par les deux fils : O1M=3a et O2M= a

B1= m0 I0/ (2p*3a) =Bh/3 ; B2= m0 I0/ (2pa) =Bh.

Br2 =Bh2 +(2/3Bh)2 =13/9 Bh2 ; Br =13½Bh/3

tan a = (2/3Bh) / Bh = 2,/3 = 0,67 ; a =33,7 °.


distances O1P et O2P en fonction de a : O1P = O2P = 2½a

Pythagore : O1P2+ O2P2 =4 a² = O1O22 , donc le triangle PO1O2 est rectangle en P.

normes B1 et B2 des champs crée en P par les deux fils :

B1=B2= m0 I0/ (2p*2½a) =Bh/2½.

schéma en vue de dessus :

Valeur du champ résultant : Br=2½Bh ; tan b = Bh / Bh = 1 ; b =45 °. l'aiguille aimantée tourne de 45°.


radioactivité : 21283 Bi.

 

  1. Quelle est la composition du noyau de 21283 Bi
  2. Donner la définition de l'énergie de liaison d'un noyau.
  3. Le noyau de bismuth 212 est instable et donne naissance spontanément à un noyau de Tallium 20881 Tl. Ecrire l'équation de désintégration du bismuth 212. Justifier. Calculer l'énergie W libérée par cette réaction nucléaire.
    - En déduire la masse du noyau de bismuth 212 exprimée en u.
  4. Lors de cette réaction nucléaire, le noyau fils est émis avec une énergie cinétique de recul de 0,117 MeV et un rayonnement électromagnétique d'énergie 0,327 MeV est détecté. Comment interprété la présence de ce rayonnement ?
    - Calculer l'énergie cinétique de la particule
    a.

Masse du noyau de 20881 Tl : m(208 Tl)= 207,937 592 u ; masse du noyau d'hélium : m(4He)= 4,001 54 u ;

Energie de liaison par nucléon : E(212 Bi) = 7,800 MeV/nucléons ; E(208 Tl) = 7,847 MeV/nucléons ; E(4 He) = 7,066 MeV/nucléons ;

1 u= 1,661 10-27 kg = 931,5 MeV c-2.


corrigé
composition du noyau de 21283 Bi : 83 protons ; 212-83 = 129 neutrons

énergie de liaison d'un noyau : c'est l'énergie libérée lors de la formation du noyau à partir des nucléons séparés au repos. 

21283 Bi-->20881 Tl + 42He.

conservation de la charge : 83 = 81+2 ; conservation du nombre de nucléons : 212 = 208+4.

énergie W libérée par cette réaction nucléaire :

W = 4 E(4 He) + 208 E(208 Tl) -212 E(212 Bi)

W= 4*7,066 +208*7,847-212*7,8 = 6,84 MeV.

soit |Dm| =6,84/931,5 = 7,343 10-3 u

masse du noyau de bismuth 212 : |Dm| = m(212 Bi) -(m(208 Tl) + m(4He))

m(212 Bi)=|Dm| + m(208 Tl) + m(4He) =7,343 10-3 +207,937 592 + 4,001 54 = 211,946 47 u.

présence de ce rayonnement :

le noyau fils se trouve dans un état excité ; le retour à l'état fondamental s'accompagne de libération d'énergie sous forme de photon g.

énergie cinétique de la particule a : 6,84 -0,117-0,327 = 6,4 MeV.


Conductivité

La solubilité s d'un cristal ionique est la concentration molaire volumique maximale en soluté apporté que l'on peut dissoudre dans 1 L de solution. L'eau de chaux est une solution aqueuse saturée d'hydroxyde de calcium Ca(OH)2. A 20,0°C, la conductivité de cette solution est s = 5,00 10-1 S/m

  1. Ecrire l'équation chimique de la réaction de dissolution de l'hydroxyde de calcium
  2. Exprimer la concentration des ions présents dans l'eau de chaux en fonction de la solubilité s de l'hydroxyde de calcium ( le milieu étant basique on négligera la contribution des ions oxonium)
  3. Exprimer la conductivité de la solution en fonction de :
    - La concentration des ions majoritaires présents dans la solution
    - La solubilité s de l'hydroxyde de calcium
    - En déduire s.
  4. Quel est le pH de la solution d'eau de chaux ?
  5. Exprimer la constante Ks de l'équilibre de dissolution de l'hydroxyde de calcium et calculer sa valeur numérique
    lHO-= 190 10-4 S m² mol-1 ; lCa2+= 120 10-4 S m² mol-1 ;
    corrigé
    équation chimique de la réaction de dissolution de l'hydroxyde de calcium : Ca(OH)2 (s) = Ca2+ (aq) + 2 HO- (aq)
concentration des ions présents dans l'eau de chaux en fonction de la solubilité s : [Ca2+ ]= s ; [HO-] = 2s.

conductivité de la solution : s = lHO-[HO-] + lCa2+[Ca2+ ] = (2lHO-+ lCa2+) s

s = s /(2lHO-+ lCa2+) = 0,5 /((2*190+120)10-4) = 5000/500= 10 mol m-3 = 1,00 10-2 mol/L

pH de la solution d'eau de chaux : [H3O+]= Ke/[HO-]= 10-14 / 2 10-2 = 5 10-13 mol/L ; pH = -log( 5 10-13 ) =12,3.

constante Ks de l'équilibre de dissolution de l'hydroxyde de calcium :

Ks = [Ca2+ ][HO-] 2 = s (2s)² = 4s3= 4*( 10-2 )3 = 4 10-6.


synthèse d'un ester

L'acétate de benzyle de formule CH3-COO-CH2-C6H5 est l'un des constituants de l'essence de jasmin.

  1. Ecrire l'équation chimique de sa formation à partir de l'acide éthanoïque. Donner trois caractéristiques de cette réaction.
  2. Lors de la synthèse, on a utilisé 6,00 g d'acide et 10,8 g d'alcool. On a obtenu 10,0 g d'ester. Calculer le rendement de cette synthèse.
  3. Le rendement aurait-il été amélioré :
    - par chauffage du milieu réactionnel ( justifier).
    - par addition d'acide sulfurique (justifier)
  4. On mélange 7,50 g d'ester et 900 mg d'eau. Après un chauffage prolongé de cette solution on constate que la transformation n'évolue plus. Comment appelle-t-on cette réaction ?
    - Donner les quantités de matière de chaque espèces présentes lorsque la transformation n'évolue plus.
  5. On traite maintenant 1,50 g d'ester restant par une solution de soude à 10 mol/L. Ecrire l'équation chimique de la réaction.
    - Comment appelle-t-on cette réaction ?
    - En quoi diffère-t-elle de la réaction effectuée à la question 4 ?
    - Quel est le volume minimal de soude utilisé ?
    M( acide éthanoïque) = 60 g/mol ; M( alcool benzylique) = 108 g/mol ; M( acétate de benzyle) = 150 g/mol ; m(eau) = 18 g/mol)

corrigé
équation chimique de sa formation à partir de l'acide éthanoïque :

CH3-COOH + HO-CH2-C6H5 = CH3-COO-CH2-C6H5 + H2O

caractéristiques de cette réaction : lente, athermique, limitée par l'hydrolyse de l'ester.

rendement de cette synthèse :

Quantité de matière (mol) = mase (g) / masse molaire (g/mol)

n( acide) = 6/60 = 0,1 mol ; n( alcool) = 10,8 / 108 = 0,1 mol ( proportions stoechiométriques )

n( ester ) théorique si réaction totale = 0,1 mol soit 15 g

rendement = masse réelle / masse théorique *100 = 10 /15 *100 = 66,7 %.

Le rendement n'et pas amélioré ni par chauffage du milieu réactionnel , ni par addition d'acide sulfurique. La vitesse de la réaction augmente avec la température ; l'acide sulfurique sert de catalyseur : on atteint donc plus rapidement l'équilibre, sans modifier la composition de ce dernier.


ester + eau = acide + alcool ( hydrolyse de l'ester )

CH3-COO-CH2-C6H5 + H2O = CH3-COOH + HO-CH2-C6H5 .

Quantité de matière (mol) = mase (g) / masse molaire (g/mol)

n( ester) initiale = 7,5/150 = 0,05 mol ; n( eau) initiale = 0,9/18 = 0,05 mol ( conditions stoehiomètriques)

A l'équilibre 33% d'ester a réagi en donnant : 0,05/3 = 1,67 10-2 mol d'acide acétique et 1,67 10-2 mol d'alcool benzylique.

Il reste 3,33 10-2 mol d'ester et 3,33 10-2 mol d'eau.


CH3-COO-CH2-C6H5 + Na+ + HO- --> CH3-COO- + Na+ + HO-CH2-C6H5

Cette hydrolyse basique de l'ester ou saponification est lente mais totale.

n( ester) initiale = 1,5/150 = 0,01 mol ;

donc 0,01 mol de soude est nécessaire soit un volume V (L) = quantité de matière (mol/ concentration (mol/L) = 0,01/10 = 10-3 L = 1 mL.


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