Aide aux calculs : 6,24 = 2p ; p² = 10 = 3,2² ; 1,9 = 0,11 ; 438*14,7=6440 ; 438/14,7=29,8 ; 14,7/438 = 3,36 10^-2.

A- Modélisation de l'ensemble {dôme, ressort}

Un mobile autoporteur de masse m, de centre d'inertie G ( modélisant le dôme) est relié aux extrémités A et A' de deux ressorts identiques ( raideur k, longueur à vide l₀). Les ressorts modèlisent le "spider, qui permet de maintenir le dôme au centre. Les extrémités B et B' de ces ressorts sont fixes. L'étude est faîte dans le référentiel terrestre galiléen. Les ressorts travaillent toujours en extension et sont à spires non jointives.

Le système initialement au repos, est écarté de sa position d'équiliobre en déplaçant G le long de l'axe des ressorts. O correspond à la position de G à l'équilibre. Les frottements sont négligeables dans cette première partie.
Etude dynamique :

1. En effectuant un schéma des forces appliquées au mobile ( un schéma soigné sera fait), établir l'équation différentielle vérifiée par l'élongation x(t).
2. Mettre l'équation sous la forme x"+w²x=0. Donner l'expression de w.
3. Montrer que x(t) = X_m cos ( 2pt/T₀+F) est solution de l'équation différentielle et en déduire l'expression de T₀ en fonction de k et m.

Etude expérimentale :

On pèse le mobile : m= 62,4 g, puis on réalise l'expérience sur une table à numériser. Cette table permet l'enregistrement des positions succssives de G et de connaître les valeurs de l'élongation x(t), dans un repère lié à la table. Un logiciel de traitement des données permet d'afficher diverse représentations graphiques et de réaliser leur modélisation.

1. On affiche la représentation graphique des couples de points (t,x), la modélisation est une fonction sinusoïdale. Déterminer graphiquement la période T₀ et l'amplitude. En déduire une valeur approchée de la constante de raideur k des ressorts.

    

2. On affiche la représentation graphique des couples de points (x, x"), modélisée par une droite affine. Montrer que cette représentation est en accord avec l'équation différentielle.

   - Que représente le coefficient directeur de la droite. Déterminer sa valeur et donner une valeur approchée de la raideur k.

Etude énergétique :

1. Etablir l'expression de l'énergie mécanique E du système (ressort, mobile) en fonction de x et x' et des caractéristiques du système. ( on prendra comme état de référence l'état d'équilibre)
2. Montrer que la conservation de l'énergie permet d'écrire l'équation (x'/w)²+x²=C où C est une constante que l'on exprimera en fonction de E et k
3. Etablir l'expression de C en fonction de l'amplitude X_m et déterminer sa valeur à partir des résultats expérimentaux.
4. A partir de l'expression de E, retrouver l'équation différentielle.
5. Pour traduire la conservation de l'énergie on peut utiliser les représentations graphiques des couples (t,E) ou (x²,(x'/w)²). Trois représentations graphiques sont proposées.

   - Indiquer les deux représentations retenues en justifiant.
   - Donner l'allure des courbes qui donneraient les représentations graphiques des énergies potentielle, cinétique, mécanique en fonction de l'élongation x.

Un dispositif placé sur le mobile permet d'introduire des frottements :

En utilisant deux valeurs consécutives de l'amplitude, donner un ordre de grandeur du pourcentage de l'énergie perdue par l'oscillateur en une période.

 

B- Modélisation du haut parleur :

Etude de la force magnétique : la bobine, dont les spires sont représentées en coupe peut se déplacer sur le noyau central de l'aimant : parcourue par un courant électrique, elle est soumise à une force magnétique F_m de direction parallèle à l'axe x'x.

Cette bobine est, en outre accrochée en A à un ressort à spires non jointives de coefficient de raideur k= 438 N/m, dont l'autre extrémité B est fixe. Lorsque la bobine est parcourue par un courant I, le ressort s'allonge et une règle graduée permet de mesurer l'allongement x du ressort Un logiciel d'aquisition donne les résultats suivants :

1. Etablir, à l'équilibre du ressort, la relation numérique entre la valeur F_m de la force magnétique et l'allongement du ressort.
2. En utilisant les résultats expérimentaux, établir la relation numérique liant F_m et l'intensité du courant I.

Le haut parleur en fonctionnement : on utilise l'ensemble aimant-bobine pour construire un haut-parleur.

On utilisera les notations suivantes :

x: déplacement du centre d'inertie G par rapport à la position d'équilibre.

M : masse de l'équipage mobile ( M= 6,6 10^-3 kg)

F_e : force élastique résultant de l'action des deux ressorts, qui a pour direction l'axe x'x et pour valeur algébrique F_e = -kx avec k= 438 N/m

f : force de frottement fluide exercée par l'air f= f_x= -rdx/dt avec r= 0,52 kg s^-1.

F_m : force magnétique créee par le courant dans la bobine, lors du fonctionnement du haut parleur.

L'intensité variable du courant est de la forme i(t) = I_max sin ( 2pft)

1. Comment pouvez vous qualifier le type d'oscillations que subit la membrane du haut-parleur ?
2. Etablir l'équation différentielle : 6,6 10^-3 x" + 0,52 x'+438x= 6,44 I_max sin ( 2pft)
3. Un système enregistreur permet de visualiser les déplacements du point G pour deux fréquences du courant 41 Hz et 33 Hz. On obtient les courbes suivantes. Commenter.
4. Pour différentes valeurs de la fréquence, on mesure l'amplitude des oscillations, puis on trace la courbe donnant l'amplitude en fonction de la fréquence du courant.
   - Comment nomme-t-on ce type de courbe ?
   - Comment appelle-t-on la fréquence f₀ correspondant au maximum ?
   - Tracer sur le même graphe l'allure des courbes si les frottements sont diminués( C₁) , si les frottements sont augmentés ( C₂).