Méthode d'Euler

Aurélie 05/06

Méthode d'Euler

d'après concours manipulateur électroradiologie médicale Nantes

Circuit RL

II. Circuit RL : on remplace la pile maison par un générateur de tension stabilisée de fem E=1,5 V. Le montage électrique consiste en une association série d'une bobine réelle (L ; r= 8,6 W), d'un conducteur ohmique (R=10 W ), d'un interrupteur et du générateur.

Faire le schéma électrique du circuit en plaçant les "flèches tension" en respectant la convention récepteur pour les dipôles passifs ainsi que le sens conventionnel du courant. On note u_g tension aux bornes du générateur, u_b tension aux bornes de la bobine et u_R tension aux bornes du résistor.
A partir du tracé de ln(k)=f(t), où I_p est l'intensité du courant en régime permanent, déterminer la valeur de la constante de temps.
- En déduire la valeur de l'inductance de la bobine.
- Montrer par une analyse dimensionnelle que la constante de temps est homogène à un temps ou une durée. Préciser l'unité dans le système international associée à cette dimension.

Méthode numérique d'Euler :
- Etablir l'équation différentielle traduisant l'évolution temporelle du courant i(t).
- La méthode d'Euler introduit les notations suivantes : di/dt = Di/Dt pour D t petit. i(t_n+1) =i(t_n) + Di(t_n) avec t_n+1 = t_n + Dt ( pas de résolution). Recopier et compléter le tableau suivant :

t	i	di/dt
s	A	As^-1
0	0	36,59
5,00 10^-4	0,018	28,29
1,00 10^-3
1,50 10^-3
2,00 10^-3
2,50 10^-3	0,058	10,11
3,00 10^-3	0,063	7,82

Quels est l'intérêt et l'inconvénient du choix d'un pas de résolution inférieur à 5 10^-4 s ?

corrigé

valeur de la constante de temps : d'une part i=I_P(1-exp(-t/t)) soit i/I_P = 1-exp(-t/t)

d'autre part k = ln(1-i/I_P)= ln(exp(-t/t)) = -t/t = -454 t d'où t = 1/454 = 2,20 10^-3 s.

valeur de l'inductance de la bobine :t = L/(R+r) soit L= t (R+r) = 2,20 10^-3 *18,6 = 4,1 10^-2 H.

la constante de temps est homogène à un temps exprimé en seconde : t = L/(R+r)

½LI² a la dimension d'une énergie en J ; L a la dimension d'uné énergie divisée par une intensité au carré : J A^-2.

(R+r) I² t a la dimension d'une énergie soit (R+r) a la dimension d'uné énergie divisée par une intensité au carré, divisée par un temps : J A^-2 s^-1.

donc L/(R+r) a la dimension d'un temps.

équation différentielle traduisant l'évolution temporelle du courant i(t) : u_g = u_L+u_R ; E= ri+Ldi/dt+Ri

Ldi/dt + (R+r)i = E soit di/dt = E/L-(R+r)/L i = E/L-454 i= 36,59-454 i

compléter le tableau :

i(10^-3) =i(5 10^-4) + Di(t_n) = i(5 10^-4) + (di/dt)_{5 10-4}Dt = 0,018+28,29*5 10^-4 = 0,0321 A

(di/dt)_10-3=36,59-454 *0,0321=21,99.

i(1,5 10^-3) =i(1 10^-3) + Di(t_n) = i(1 10^-3) + (di/dt)_10-3Dt = 0,0321+21,99*5 10^-4 = 0,0431 A

(di/dt)_{1,5 10-3}=36,59-454 *0,0431=17,02.

i(2 10^-3) =i(1,5 10^-3) + Di(t_n) = i(1,5 10^-3) + (di/dt)_{1,5 10-3}Dt = 0,0431+17,02*5 10^-4 = 0,0516 A

(di/dt)_{1,5 10-3}=36,59-454 *0,0516=13,16.

t i di/dt

s A As^-1

0 0 36,59

5,00 10^-4 0,018 28,29

1,00 10^-3 0,032 21,99

1,50 10^-3 0,043 17,02

2,00 10^-3 0,052 13,16

2,50 10^-3 0,058 10,11

3,00 10^-3 0,063 7,82

avec un pas plus petit on augmente la précision, mais on multiplie le nombre de calculs.

radioactivité en médecine. (6 pts)

A- partie 1 :

La radioactivité a est interdite en médecine. En effet, la radioactivité a est peu pénétrante mais très dangereuse car elle traverse la matière en l'ionisant.

Les radioactivité b^- et b⁺, associées à l'émission g, sont utilisées soit à des fins de diagnostic, soit de thérapie.

Un exemple le phosphore32 : on l'utilise ³²₁₅ P comme traceur radioactif " béta moins" dans la détection de certaines tumeurs. Son temps de demi-vie est de 14,3 jours. Selon un schéma classique, la désintégration du phosphore 32 de type "béta moins" laisse le noyau fils dans un état excité, qui retourne à l'état normal ( niveau fondamental) en émettant un photon gamma d'une énergie de 142,7 keV. Les préparations cellulaires marquées au phosphore 32 ont une activité initiale de 5,92 10¹⁰ Bq.

Quels sont les noms et les formules associées au radioactivités a, b^- et b⁺.
Ecrire les équations nucléaires associées à la désintégration du phosphore et le retour à l'état fondamental du noyau fils. Justifier.
Montrer par une analyse dimensionnelle que l' "eV" est bien homogène à une énergie.
Définir et calculer le défaut de masse Dm dans le noyau de phospore. En déduire l'énergie de liaison par nucléon en MeV/nucléon.
Quelle est l'activité A(t₁) de la préparation cellulaire à t₁ = 36 h ?
Déterminer la longueur d'onde dans le vide l₀ associée au photon lors de la désexcitation du noyau fils. Appartient-elle au domaine visible ? Justifier.

c= 2,99 10⁸ m/s ; h= 6,63 10^-34 Js ; N_A= 6,02 10²³mol^-1 ; e= 1,6 10^-19 C ; 1eV= 1,6 10^-19 J.
masses : proton m_p= 1,67264 10^-27 kg ; neutron : m_n= 1,67493 10^-27 kg ; électron : m_e = 9,11462 10^-31 kg ; noyau de phosphore : m_P= 5,30806 10^-26 kg.

n° atomique : Al (Z=13) ; Si (Z=14) ; S(Z=16) ; chlore Cl(Z=17).

B- Méthode d'Euler :
Il est souvent utile de prévoir les courbes de décroissance par la méthode d'Euler, sans procéder à l'expérience. A partir de la loi de décroissance de l'activité A(t), l'équation différentielle vérifiée par l'activité A du traceur est : dA/dt + lA=0. La méthode d'Euler introduit les notation,s suivantes :

dA/dt= DA/Dt pour D t petit ; A(t_n+1) =A(t_n) + DA(t_n) avec t_n+1 = t_n + Dt ( pas de résolution.

Montrer que la relation de récurrence entre A(t_n+1) et A(t_n) peut se mettre sous la forme : A(t_n+1) =(1-lDt)A(t_n)
A l'aide de la relation précédente calculer en MBq la valeur de l'activité à la date t= 1,5 jours et à la date 3,0 jours. Prendre Dt = 1,5 j.
La validité de la méthode d'Euler est liée au choix du pas de résolution. Quels est l'intérêt et l'inconvénient du choix d'un pas de résolution égale à 12 h dans cet exemple au lieu de 1,5 j ?

corrigé

noms et formules associées au radioactivités a, b^- et b⁺ : a, noyau d'hélium ⁴₂He ; b^- : électrons ⁰_-1e ; b⁺ : positon ⁰₁e.

équations nucléaires associées à la désintégration du phosphore : ³²₁₅ P -->^A_Z X* +⁰_-1e

conservation de la charge : 15=Z-1 soit Z= 16 ( élément S) ; conservation du nombre de nucléons : 32=A+0

puis retour à l'état fondamental du nouyau fils : ³²₁₆ S*--->³²₁₆ S +⁰₀g.

électron volt : énergie acquise par un électron accéléré sous une tension de 1V

charge élémentaire * tension ; intensité * temps * tension ou A V s donc dimension d'une énergie.

défaut de masse Dm dans le noyau de phospore :15 protons et 32-15 = 17 neutrons

Dm = 15 m_p + 17 m_n - m_P =15*1,67264 10^-27 + 17 * 1,67493 10^-27 -5,30806 10^-26 =0,48281 10^-27 kg.

énergie correspondante : E=Dm c² =0,48281 10^-27 * (2,99 10⁸)² =4,316 10^-11 J

soit 4,316 10^-11 /1,6 10^-19 =2,698 108 eV = 269,8 MeV ; 269,8/32 = 8,4 MeV/nucléon.

activité A(t₁) de la préparation cellulaire à t₁ = 36 h = 1,5 jours : A=A₀ exp(-lt) aveclt½=ln2 ; l = ln2/14,3 =4,847 10^-2 j^-1.

A(t₁) =5,92 10¹⁰ exp(-4,847 10^-2 *1,5) =5,5 10¹⁰ Bq.

longueur d'onde dans le vide l₀ associée au photon lors de la désexcitation du noyau fils : l₀= hc/ E

E=142,7 keV = 142,7 10³*1,6 10^-19 =2,283 10^-14 J

l₀= 6,63 10^-34*2,99 10⁸ /2,283 10^-14 =8,68 10^-12 m

radiation située en dehors du domaine visible donc les longueurs d'onde sont comprises entre 800 et 400 nm.

relation de récurrence entre A(t_n+1) et A(t_n) : A(t_n+1) =A(t_n) + DA(t_n)

A(t)= A₀ exp(-lt) soit dA(t)/dt = -lA₀ exp(-lt) = -lA(t) ; DA/Dt=-lA(t) ; DA=-lA(t) Dt

A(t_n+1) =A(t_n) +-lA(t_n) Dt =( 1-lDt )A(t_n)

valeur de l'activité à la date t= 1,5 jours et à la date 3,0 jours :

A(1,5)= ( 1-lDt )A₀= (1-4,847 10^-2*1,5) 5,92 10¹⁰=5,4896 10¹⁰ Bq =5,49 10⁴ MBq.

A(3 )=( 1-lDt )A(1,5) = (1-4,847 10^-2*1,5) 5,49 10¹⁰= 5,09 10¹⁰ Bq = 5,1 10⁴ MBq

avec un pas de 12 heures on augmente la précision, mais on multiplie le nombre de calculs.

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