I- Réalisation de la pile :

On réalise une pile à partir des couples Pb²⁺(aq) / Pb(s) et Sn²⁺(aq)/Sn(s).

Les ions Pb²⁺(aq) proviennent d'une solution de nitrate de plomb( Pb²⁺(aq)+2NO₃^-(aq)), les ions Sn²⁺(aq) proviennent d'une solution de nitrate d'étain ( Sn²⁺(aq) +2NO₃^-(aq)).

La demi-pile de gauche contient le métal étain plongeant dans une solution de volume V₂ = 30,0 mL, C₂= 2,0 10^-2 mol/L. La demi-pile de droite contient le métal plomb plongeant dans une solution de volume V₁= 20 mL, C₁ = 3,0 10^-2 mol/L. Le pont salin est réalisé avec du nitrate de potassium.

M(Pb)= 207,2 ; M(Sn)=118,7 g/mol ; e = 1,6 10^-19 C ; N_A= 6,02 10²³ mol^-1 ; Pb²⁺(aq) + Sn(s) = Sn²⁺(aq)+ Pb(s). K₁= 2,18

Sn²⁺(aq)+ Pb(s) = Pb²⁺(aq) + Sn(s) ; K₂ = 0,46.

L'électrode positive de cette pile est l'électrode de plomb.

1. Faire un schéma légendé de la pile.
2. Comment évolue ce système lorsque la pile débite un courant ? Justifier
   - Préciser le sens de déplacement de tous les porteurs de charge électrique. Quelle est l'utilité du pont salin ?
3. On fait débiter la pile pendant Dt=2,0 h avec une intensité I= 15 mA. Calculer la variation de masse de l'électrode de plomb ?

II. Circuit RL : on remplace la pile maison par un générateur de tension stabilisée de fem E=1,5 V. Le montage électrique consiste en une association série d'une bobine réelle (L ; r= 8,6 W), d'un conducteur ohmique (R=10 W ), d'un interrupteur et du générateur.

1. Faire le schéma électrique du circuit en plaçant les "flèches tension" en respectant la convention récepteur pour les dipôles passifs ainsi que le sens conventionnel du courant. On note u_g tension aux bornes du générateur, u_b tension aux bornes de la bobine et u_R tension aux bornes du résistor.
2. A partir du tracé de ln(k)=f(t), où I_p est l'intensité du courant en régime permanent, déterminer la valeur de la constante de temps.
   - En déduire la valeur de l'inductance de la bobine.
   - Montrer par une analyse dimensionnelle que la constante de temps est homogène à un temps ou une durée. Préciser l'unité dans le système international associée à cette dimension.

    

3. Méthode numérique d'Euler :
   - Etablir l'équation différentielle traduisant l'évolution temporelle du courant i(t).
   - La méthode d'Euler introduit les notations suivantes : di/dt = Di/Dt pour D t petit. i(t_n+1) =i(t_n) + Di(t_n) avec t_n+1 = t_n + Dt ( pas de résolution). Recopier et compléter le tableau suivant :

   t	i	di/dt
   s	A	As-1
   0	0	36,59
   5,00 10-4	0,018	28,29
   1,00 10-3
   1,50 10-3
   2,00 10-3
   2,50 10-3	0,058	10,11
   3,00 10-3	0,063	7,82

   Quels est l'intérêt et l'inconvénient du choix d'un pas de résolution inférieur à 5 10^-4 s ?

---

corrigé

---

Sn (s ) = Sn²⁺(aq)+ 2e^- : oxydation du réducteur l'étain.

Pb²⁺(aq) +2e^-=Pb (s ) réduction de l'oxydant Pb²⁺(aq)

Sn (s ) + Pb²⁺(aq) = Sn²⁺(aq) + Pb (s )

Dans la solution et dans le pont salin, les cations positifs se déplacent dans le sens conventionnel du courant, tandis que les anions négatifs se déplacent en sens contraire.

utilité du pont salin : assure la continuité électrique et assure l'électroneutralité des solutions.

variation de masse de l'électrode de plomb : augmentation de masse

Q=It= 0,015*2*3600 = 108 C soit n(e^-) = 108/96500 = 1,12 10^-3 mol d'électrons.

or Pb²⁺(aq) +2e^-=Pb (s ) d'où n(Pb)= ½n(e^-) =5,6 10^-4 mol

masse de plomb correspondante (g) = n(Pb) M( Pb) = 5,6 10^-4 *207,2 = 1,16 10^-1 g ( 0,12 g)

---

valeur de la constante de temps : d'une part i=I_P(1-exp(-t/t)) soit i/I_P = 1-exp(-t/t)

d'autre part k = ln(1-i/I_P) = ln(exp(-t/t)) = -t/t = -454 t d'où t = 1/454 = 2,20 10^-3 s.

valeur de l'inductance de la bobine :t = L/(R+r) soit L= t (R+r) = 2,20 10^-3 *18,6 = 4,1 10^-2 H.

la constante de temps est homogène à un temps exprimé en seconde : t = L/(R+r)

½LI² a la dimension d'une énergie en J ; L a la dimension d'uné énergie divisée par une intensité au carré : J A^-2.

(R+r) I² t a la dimension d'une énergie soit (R+r) a la dimension d'uné énergie divisée par une intensité au carré, divisée par un temps : J A^-2 s^-1.

donc L/(R+r) a la dimension d'un temps.

équation différentielle traduisant l'évolution temporelle du courant i(t) : u_g = u_L+u_R ; E= ri+Ldi/dt+Ri

Ldi/dt + (R+r)i = E soit di/dt = E/L-(R+r)/L i = E/L-454 i= 36,59-454 i

compléter le tableau :

i(10^-3) =i(5 10^-4) + Di(t_n) = i(5 10^-4) + (di/dt)_{5 10-4}Dt = 0,018+28,29*5 10^-4 = 0,0321 A

(di/dt) _10-3=36,59-454 *0,0321=21,99.

i(1,5 10^-3) =i(1 10^-3) + Di(t_n) = i(1 10^-3) + (di/dt) _10-3Dt = 0,0321+21,99*5 10^-4 = 0,0431 A

(di/dt) _{1,5 10-3}=36,59-454 *0,0431=17,02.

i(2 10^-3) =i(1,5 10^-3) + Di(t_n) = i(1,5 10^-3) + (di/dt) _{1,5 10-3}Dt = 0,0431+17,02*5 10^-4 = 0,0516 A

(di/dt) _{1,5 10-3}=36,59-454 *0,0516=13,16.

t	i	di/dt
s	A	As-1
0	0	36,59
5,00 10-4	0,018	28,29
1,00 10-3	0,032	21,99
1,50 10-3	0,043	17,02
2,00 10-3	0,052	13,16
2,50 10-3	0,058	10,11
3,00 10-3	0,063	7,82

avec un pas plus petit on augmente la précision, mais on multiplie le nombre de calculs.

---

Electrolyse :

On envisage de chromer ( Cr) entièrement un pare-chocs métallique en y déposant une couche de chrome, d'une épaiseur e=50 mm. Le parre-chocs est considéré comme un bloc parallèlépipédique de longueur L= 2,0 m, de largeur l=0,10 m, de hauteur h= 5,0 mm. On plonge le parre-chocs dans une solution contenant des ions chrome III Cr³⁺, puis on électrolyse cette solution, entre l'électrode constituée par le parre-chocs et une seconde électrode de nature adéquate. L'opération dure 10 heures et son rendement est 95%.

1. Ecrire l'équation de la réaction d'électrode qui permet la formation du chrome métallique à partir des ions chrome III.
   - Le parre-chocs constitue-t-il l'anode ou la cathode de l'électrolyseur . Est-ce le pôle positif ou négatif de l'électrolyseur ?
2. Calculer le volume de la couche de chrome à déposer.
   - En déduire la masse m(Cr) de chrome, puis la quantité de matière n(Cr) en mol.
   - Indiquer la relation liant n(Cr) et la quantité d'électricité Q qui a traversé l'électrolyseur.
   - Calculer Q.
   - Quelle est la valeur de l'intensité du courant qui traverse la cuve à électrolyse pendant l'opération ?
   M(Cr) = 52 g/mol ; masse volumique du chrome r = 7,2 g/cm³.