Aurélie 19/12/05
cycle de Rankine

d'après bts

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cycle thermodynamique d'une machine à vapeur

Le fonctionnement d'une machine à vapeur peut être modélisé par un cycle de Rankine. Un fluide, l'eau subit des transformations dont certaines consistent à réaliser des échanges thermiques avec deux sources de chaleur, chaque source étant à température constante. Ces échanges peuvent provoquer des transitions de phase liquide <--> vapeur.

- vaporisation A--> B à pression constante P1= 50 bar du fluide dans le bouilleur.

- détente isentropique B--> C de la vapeur juste saturante dans la turbine calorifugée ( lors de cette étape de l'énergie est fournie sous forme de travail à l'extérieur de la machine à vapeur), jusquà P2<P1.

- condensation totale C--> M à pression constante P2 = 0,1 bar dans le condenseur.

- compression isentropique M--> D du liquide juste saturant au départ, de P2 à P1, dans la pompe calorifugée.

- échauffement D-->A à pression constante P1.

Etude du cycle :

  1. Indiquer quelle information donnée dans la description du cycle permet de conclure que la vaporisation est complète en B.
    Le diagramme T-s fourni permet de visualiser l'évolution de l'eau au cours du cycle. On peut voir sur ce diagramme la courbe de saturation ( courbe de rosée et courbe d'ébullition se rejoignent au point critique ), qui délimite la zone "état liquide", la zone " état vapeur" et la zone "coexistence liquide vapeur". On remarquera également la continiuté des courbes isobares et isenthalpes sur tout le domaine représenté, avec parfois une ou deux ruptures de pente.
  2. Indiquer sur le diagramme où sont situées les zones " état liquide", "état vapeur" et "coexistence liquide vapeur".
  3. En observant les courbes isobares du diagramme T-s, expliquer pourquoi on peut admettre que le point M est pratiquement confondu avec le point D sur ce diagramme, bien que les états D et M soient différents.
  4. Dessiner précisément le cycle de Rankine sur le diagramme fourni.
  5. Par lecture graphique, compléter le tableau suivant :

    état
    A
    B
    C
    M
    D
    P (bar)
    50
    50
    0,10
    0,10
    50
    T(K)

    h( kJ kg-1)
    1324
    3018
    2075
    235
    239
    s (J K-1 mol-1)

    14
    On rappelle l'expression du premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement permanent entre une entrée et une sortie de machine sans variation d'énergie cinétique ni variation d'énergie potentielle : Dh=hsortie-hentrée= W+Q
    ( h, W, Q grandeurs massiques ; W : travail utile fourni par la machine)
  6. Calculer l'énergie thermique ( ou quantité de chaleur) QDB reçue par 1,00 kg de vapeur d'eau, au cours du transfert thermique avec la source chaude.
  7. Calculer le travail reçu WBC dans la turbine calorifugée. Commenter son signe.
  8. Calculer le travail reçu WMD à la pompe calorifugée.
  9. Calculer l'énergie thermique Qf reçue par 1,00 kg d'eau lors du transfert thermique avec la source froide.
  10. Calculer le rendement h de ce cycle moteur.

quelques idées
La pression de vapeur saturante est la pression à laquelle un fluide passe de l'état gazeux à l'état liquide (ou l'inverse) à une température donnée.

information donnée dans la description du cycle permettant de conclure que la vaporisation est complète en B : " détente de la vapeur juste saturante dans la turbine calorifugée"

on peut admettre que le point M est pratiquement confondu avec le point D sur ce diagramme : un liquide est pratiquement incompressible

état
A
B
C
M
D
P (bar)
50
50
0,10
0,10
50
T(K)
534
534
320
320
325
h( kJ kg-1)
1324
3018
2075
235
239
s (J K-1 mol-1)
60
120
120
14
14
vaporisation A--> B à pression constante : Dh= 3018-1324 = 1694 kJ kg-1 QAB=Dh= hB-hA=3018-1324=1694 kJ kg-1 ;

or Dh=hsortie-hentrée= W+Q d'où : WAB=0 kJ kg-1.

détente isentropique B--> C : Dh= 2075-3018 = - 943 kJ kg-1 ; Ds= 0 d'où QBC=0 et WBC=Dh=- 943 kJ kg-1 .

condensation totale C--> M à pression constante :

QCM= Dh= 235-2075 = -1840 kJ kg-1 ;

or Dh=hsortie-hentrée= W+Q d'où : W= 0 kJ kg-1.

compression isentropique M--> D du liquide : Dh= 239-235 = 4 kJ kg-1 ; Ds= 0 d'où QMD=0 et WMD=Dh= 4 kJ kg-1 .

échauffement D-->A à pression constante : Dh= 1324-239 = 1085 kJ kg-1 ;WDA voisin de zéro, fluide quasiment incompressible et P= constante.

or Dh=hsortie-hentrée= W+Q d'où : QDA=1085 kJ kg-1 .

énergie thermique QDB reçue par 1,00 kg de vapeur d'eau, au cours du transfert thermique avec la source chaude :

QDB = QDA +QAB =  1085+1694 = 2779 kJ kg-1.

travail reçu WBC dans la turbine calorifugée : - 943 kJ kg-1 . 

travail reçu WMD à la pompe calorifugée : 4 kJ kg-1  

énergie thermique Qf reçue par 1,00 kg d'eau lors du transfert thermique avec la source froide : -1840 kJ kg-1

rendement h de ce cycle moteur : travail disponible / énergie reçue de la source chaude

|somme des travaux | :|-943+4|= 939 kJ kg-1

énergie reçue de la source chaude 2779 kJ kg-1 ; rendement h = 939/2779*100 = 34%.
Cycle de Rankine

Le fluide utilisé est de l'eau qui décrit le cycle suivant :

A--> B : échauffement isobare de l’eau de 30 °C à 295 °C à P1 = 80 bars dans le générateur de vapeur.

B--> C : vaporisation à 295 °C dans le générateur de vapeur.

C--> D : détente isentropique de la vapeur saturante en entrée turbine de P1 = 80 bars à P2 = 0,042 bar.

D--> E : fin de condensation à P2 = 0,042 bar.

E--> A : compression isentropique du liquide dans la pompe.

En régime permanent ( pertes de charges, pertes thermiques, variations d’énergie cinétique et d’énergie potentielle de pesanteur négligeables), étudier les transformations suivantes :

  1. Calculer le travail massique de compreesion lors de la compression isentrope du liquide E-->A ainsi que l'élévation de la température de l'eau.
    Rappel : DT= TE V/CPaDP avec : a = 3,5 10-4 K-1, coefficient de dilatation isobare de l'eau ; cP = 4,18 103kJ kg-1 K-1 .
  2. Quelle est l'énergie thermique cédée au fluide dans le générateur de vapeur ? ceau = 4,18 kJ kg-1 K-1.
    pression (bar
    entropie massique kJ kg-1 K-1
    enthalpie massique kJ kg-1
    liquide saturant
    vapeur saturante
    liquide saturant
    vapeur saturante
    80
    3,208
    5,744
    1317,2
    2758
    0,042
    0,437
    8,452
    125,71
    2556
  3. Quel est le travail de détente dans la turbine ?
  4. Quelle est la quantité de chaleur échangée au condenseur ?
  5. Calculer le rendement.
corrigé
travail massique de compreesion lors de la compression isentrope du liquide E-->A :

écrire le premier principe de la thermodynamique : dh= dW+dq

or transformation isentrope ( adiabatique réversible) , donc dq =0.

de plus dh = Tds+VdP s'écrit dans ce cas : dh=dW=VdP

l'eau étant peu compressible V est pratiquement constant. Intégrer :

V= 1L= 10-3 m3 ; WAE= 10-3 *(80-0,042 )105= 8 kJ kg-1.

élévation de la température de l'eau :
DT= TE V/CPaDP avec : a = 3,5 10-4 K-1; TE= 273+30 = 303 K; cP = 4,18 103 kJ kg-1 K-1 ; V= 10-3 m3 ; DP = 8 106 Pa.

DT= 303*10-3 / (4,18 103 ) *3,5 10-4 * 8 106 =0,2 K.

énergie thermique cédée au fluide dans le générateur de vapeur :

Chaleur reçue lors de l’échauffement isobare de l’eau (A-->B) : pression constante 80 bar.

écrire le premier principe de la thermodynamique : dh= dW+dq

or il n'y a pas de parties mobiles dans le générateur de vapeur, donc dW =0.

dh= dQ= Ceau dT soir si Ceau ne dépend pas de la température : QAB= Ceau (TB-TA) = 4,18 (295-30)=1108 kJ kg-1.

enthalpie de vaporisation de l’eau B-->C : QBC= Lvap TB=hC-hB= 2758-1317= 1441 kJ kg-1.

total : 1108+1441 = 2549 kJ kg-1.

travail de détente dans la turbine C--> D :

 écrire le premier principe de la thermodynamique : dh= dW+dq

or transformation isentrope ( adiabatique réversible) , donc dq =0.

Dh= hD-hC .

Calcul de hD : au point D

L’entropie est une grandeur extensive : sD= x svap +(1-x) sliq avec svap entropie massique de la vapeur saturante et sliq entropie massique du liquide de saturation à la pression de 0,042 bar )

d'où x =( sD- sliq ) / ( svap -sliq) = LD/VL

Or la détente CD étant isentrope sD = svap à la pression d’entrée turbine (80 bar)

x = (5,744-0,437) /(8,452-0,437)=0,662.

L'enthalpie est une grandeur extensive :

hD= x hvap +(1-x) hliq = 0,662*2556+(1-0,662)*125,71 =1735 kJ kg-1.

Dh= hD-hC = 1735-2758 = -1024 kJ kg-1.

Transfert thermique au condenseur D-->E

pression constante 80 bar.

écrire le premier principe de la thermodynamique : dh= dW+dq

or il n'y a pas de parties mobiles dans le condensaur, donc dW =0.

dh= dQ; Dh= hE-hD =125,7-1735 = -1610 kJ kg-1.

Calcul du rendement h:

rendement = rapport entre l’énergie utile ( travail) et l’énergie totale reçue par le système

-énergie utile : travail massique récupéré lors de la détente de la vapeur dans la turbine.
- énergie totale reçue : énergie thermique reçue par 1 kg d’ eau au générateur de vapeur + travail massique reçu par l’eau lors de la compression.

h= 1024/ (1108+1610) *100 = 38 %.
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