Aurélie 9/11/06
mécanique des fluides ; éclairage ; polymérisation PVC d'après bts enveloppe du batiment 2006

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Mécanique des fluides (7 points)

Un bassin de grande surface est rempli d'eau. Il peut se vidanger par une canalisation horizontale de section S située à sa base. Un tube témoin servant de détecteur de fuites, permet de déterminer la pression statique dans la canalisation sans perturber l'écoulement.

La canalisation fermée à son extrémité présente une fuite en F, on la schématise par un trou de section s. L'eau étant considérée comme un fluide parfait on peut lui appliquer le théorème de Bernoulli ; 1/(2g)( v²2-v²1) +(z2-z1)+(P2-P1)/(rg)=0. La fuite d'eau étant faible, on admet que la hauteur d'eau dans le bassin ne varie pas.

  1. Etablir à partir du théorème de Bernoulli, l'expression littérale de la vitesse d'écoulement vF de l'eau à travers le trou de fuite en fonction de h et g.
    - Calculer vF si h= 10 m, g= 10 N/kg.
    - Calculer le débit volumique de fuite si s = 1 mm².
  2. Exprimer la valeur de la vitesse V de l'eau dans la canalisation en fonction de vF, S et s. Calculer V si S= 1 cm².
  3. L'eau étant en équilibre dans le tube témoin, exprimer la différence de pression entre les points B et A' en fonction de la hauteur d'eau h' dans le tube.
    - Montrer que Dh peut s'écrire : Dh = h-h'=V²/(2g). Calculer Dh.
    - En pratique on ne peut mesurer Dh que lorsque sa valeur est supérieure à 5 mm. Déterminer la valeur minimale de la section du trou de fuite s, que l'on peut détecter pour S= 1 cm² et h = 10 m.
corrigé
Expression littérale de la vitesse d'écoulement vF de l'eau à travers le trou de fuite en fonction de h et g :

Ecrire le théorème de Bernoulli entre les points F (2) et A (1) :

d'une part, la surface du récipient étant très grande par rapport à la section du trou, la vitesse de l'eau en A est presque nulle

d'autre part, on considère le point F dans le jet d'eau, en contact avec l'air extérieur d'où : PF-PA=0

par suite : 1/(2g)( v²F-0) +(zF-zA)=0 ; 1/(2g) v²F- h=0 soit v²F = 2gh ; vF= (2gh)½.

si h = 10 m alors vF= 200½ = 14 m/s.

Débit volumique qv de fuite si s = 1 mm² :

qv = s vF avec s= 10-6 m² ; qv =10-6 *14 = 1,4 10-5 m3/s.

Expression de la valeur de la vitesse V de l'eau dans la canalisation en fonction de vF, S et s :

le débit volumique se conserve d'où : s vF = SV ; V= s /S vF =10-6 / 10-4 *14 = 0,14 m/s.

Expression de la différence de pression entre les points B et A' en fonction de la hauteur d'eau h' dans le tube :

Ecrire le théorème de Bernoulli entre les points B et A : 1/(2g)( V²-v²A) +(zB-zA)+(PB-PA)/(rg)=0

PB-PA =rg[h- V²/(2g) ]

L'eau étant en équilibre dans le tube témoin : PB-PA' =rgh'

de plus : PA' =PA =pression atmosphérique

d'où : rgh' = rgh -½rV² ; h-h'= V²/(2g)

Dh = h-h'=V²/(2g) = 0,14²/20 = 10-3 m = 1 mm.
En pratique on ne peut mesurer Dh que lorsque sa valeur est supérieure à 5 mm.

Valeur minimale de la section du trou de fuite s, que l'on peut détecter pour S= 1 cm² et h = 10 m :

Dh = 5 10-3 m ; V²/(2g) = 5 10-3 soit V² = 0,1 ; V= 0,316 m/s

or V= s /S vF soit s = V S/vF = 0,316*10-4 / 14 =2,26 10-6 m² = 2,3 mm².

Eclairage.( 7 points)

On désire comparer le prix de revient de deux installations, l'une utilisant des lampes à incandescence, l'autre des lampes fluorescentes compactes. On veut obtenir la même efficacité lumineuse soit six lampes à incandescence pour une lampe fluorescente compacte et une même durée de vie.
lampe
puissance (W)
efficacité lumineuse (lm W-1)
durée de vie moyenne (heure)
prix d'achat( euro)
à incandescence
60
10
1000
1
fluorescente compacte
10
60
8000
14
Le prix du kWh est 0,076 euro.

  1. Calculer le coût total de 8000 h d'éclairage avec les lampes à incandescence puis avec les lampes fluorescentes. Conclure.
    - Citer un avantage et un inconvénient pour chaque type de lampe.
  2. On considère une lampe comme une source ponctuelle émettant dans toutes les directions avec la même intensité lumineuse. L'angle solide est alors W=4p sr. On donne la formule de l'éclairement d'un point A du plan de travail horizontal : EA= I cos a/l² où I est l'intensité lumineuse en candela et I= F/(4p), F désigne le flux lumineux en lumens.
    - Calculer l'éclairement E0 au cente de la table située à h=1,30 m au dessous de la lampe.
    - Calculer l'éclairement EA en un point A de la table situé à d= 1 m du centre.
corrigé
Coût total de 8000 h d'éclairage avec les lampes à incandescence puis avec les lampes fluorescentes :

Le prix du kWh est 0,076 euro ; énergie kWh) = puissance (kW)*durée (h)

une lampe fluorescente compacte : 0,01*8000 = 80 kWh soit 80*0,076 =6,1 euros

six lampes incandescentes sonr utiles pour une même efficacité lumineuse de 60 lm W-1.

énergie : 6*0,06*8000 = 2880 kWh soit 2880*0,076 = 219euros soit 36 fois plus cher q'avec des lampes fluorescentes.

Avantage et un inconvénient pour chaque type de lampe :

lampe fluorescente compacte : économie d'énergie mais coût plus élevé à l'achat.

lampe incandescente : peu économe en énergie mais faible coût à l'achat.

On considère une lampe comme une source ponctuelle émettant dans toutes les directions avec la même intensité lumineuse. L'angle solide est alors W=4p sr. On donne la formule de l'éclairement d'un point A du plan de travail horizontal : EA= I cos a/l² où I est l'intensité lumineuse en candela et I= F/(4p), F désigne le flux lumineux en lumens.
Eclairement E0 au cente de la table située à h=1,30 m au dessous de la lampe :

F = 60*10 = 600 lm ; I= F/(4p) = 600/12,56 = 47,8 Cd ; cos a = cos 0 = 1 ; h = l = 1,3 m

E0= I /h² = 47,8 / 1,3²= 28,3 lm m-2 = 28,3 lx.

Eclairement EA en un point A de la table situé à d= 1 m du centre :

F = 60*10 = 600 lm ; I= F/(4p) = 600/12,56 = 47,8 Cd ; tan a = d/h = 1/1,3 =0,769 ; a =37,6° ; cos 37,6 = 0,793

l =h/cos a = 1,3 / cos37,6 = 1,64 m

EA= I cos a/l² = 47,8*0,793/1,642= 14,1 lx.
polymérisation : PVC (6 points)
  1. L'éthylène C2H4 réagit avec le dichlore Cl2 pour donner un composé chloré, réaction 1. Puis ce dérivé chloré, par élimination d'une molécule de chlorure d'hydrogène HCl, produit le chlorure de vinyle CH2=CHCl, réaction 2.
    - Ecrire les équations bilan des deux réactions en indiquant les proportions en moles.
    - Comment nomme t-on la réaction 1 ?
    - Ecrire les formules développées de l'éthylène et du dérivé chloré en donnant son nom.
  2. La polymérisation du chlorure de vinyle conduit au polychlorure de vinyle, PVC, réaction 3.
    - Erire l'équation bilan de la réaction 3. De quel type de polymérisation s'agit-il ?
    - La masse molaire de ce PVC est de 94 kg/mol. En déduire son dégré de polymérisation.
    - En admettant que le rendement des trois réactions est de 100 %, quelle masse d'éthylène est nécessaire pour préparer 1,5 tonnes de PVC ?
  3. Le chlorure d'hydrogène produit par la réaction 2 est très soluble dans l'eau. Ecrire l'équation de la dissolution de ce gaz dans l'eau et nommer la solution S1 obtenue.
    - Par dilution de la solution S1 on prépare une solution S2. Ensuite on effectue un dosage de 20,0 mL de S2 par une solution de soude de concentration cB=0,025 mol/L. L'équivalence est obtenue pour un volume vBe= 15,2 mL de solution de soude versée.
    - Ecrire l'équation bilan de la réaction de dosage.
    - Déterminer la concentration molaire cA de S2.
    - En déduire la valeur du pH de la solution S2.

Données :masse atomique molaire (g/mol) : H : 1,0 ; C : 12 ; Cl : 35,5. 

corrigé
réaction 1 : réaction d'addition du dichlore sur une double liaison carbone-carbone :

H2C=CH2+ Cl2 ---> ClH2C--CH2Cl : 1,2-dichloroéthane

n(éthylène) = n(dichlore) = n( 1,2-dichloroéthane)

réaction 2 : ClH2C--CH2Cl --->ClHC=CH2 + HCl

n( 1,2-dichloroéthane) = n(chlorure de vinyle) = n (HCl)

réaction 3 : polymérisation radicalaire en chaîne : ---->

n : indice de polymérisation ou nombre moyen de motif élémentaire dans le polymère.

La masse molaire de ce PVC est de 94 kg/mol.

Degré de polymérisation :

masse molaire du polymère / masse molaire du monomère = 94 000 / (12*2+3+35,5) = 1504.
En admettant que le rendement des trois réactions est de 100 %, masse d'éthylène nécessaire pour préparer 1,5 tonnes de PVC :

quantité de matière de PVC (mol) = masse (g) / masse molaire CH2=CHCl = 1,5 106 / (12*2+3+35,5) = 2,4 104 mol

donc 2,4 104 mol déthylène

masse d'éthylène (g) = quantité de matière (mol) * masse molaire éthylène (g/mol) = 2,4 104*28 = 6,72 105 g = 0,67 tonne.

Le chlorure d'hydrogène produit par la réaction 2 est très soluble dans l'eau.

Equation de la dissolution de ce gaz dans l'eau :

HCl + H2O = H3O+ + Cl- solution d'acide chlorhydrique.

Par dilution de la solution S1 on prépare une solution S2. Ensuite on effectue un dosage de 20,0 mL de S2 par une solution de soude de concentration cB=0,025 mol/L. L'équivalence est obtenue pour un volume vBe= 15,2 mL de solution de soude versée.
Equation bilan de la réaction de dosage :

H3O+ + HO- = 2H2O
Concentration molaire cA de S2 :

à l'équivalence : cAVA = cBVB soit cA=cBVB /VA =0,025*15,2/20 = 0,019 mol/L.
Valeur du pH de la solution S2 :

pH= -log cA= -log 0,019 = 1,7.
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