Cet exercice étudie le principe de fonctionnement d'un piège photo réalisé par un ornithologue afin d'identifier le prédateur d'une espèce d'oiseau en voie de disparition.

Un œuf de caille posé sur un commutateur à bascule sert d'appât dans un vieux nid. Lorsque le prédateur prélève l'œuf, le commutateur bascule de la position 0 à la position 2. Le condensateur initialement chargé se décharge dans un électroaimant que l'on peut modéliser par une bobine d'inductance L et de résistance interne r. L'électroaimant, placé sur un appareil photo déclenche la prise de vue.

Le circuit de charge est constitué d'un condensateur de capacité C, d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un générateur idéal de tension de fem E= 8 V.

I- Armement du dispositif.

Le dispositif s'arme en plaçant le commutateur en position 1 pendant la durée nécessaire à la charge du condensateur. Cette opération réalisé, l'œuf est déposé sur le bras du commutateur à bascule qui est ainsi maintenu en position O.

1. Indiquer sur le schéma le sens du courant de charge du condensateur. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension u_c(t) aux bornes du condensateur lors de la charge.
   Vérifier que cette équation est de la forme u_c(t) +tdu_c(t)/dt= E.
   En déduire l'expression de la constante t en fonction des paramètres du circuit.
2. Montrer par une analyse dimensionnelle que la constante t est homogène à un temps.
3. Déduire de l'équation différentielle la valeur U_c de u_c(t) en régime permanent.
4. Montrer que l'expression u_c(t) = A(1-exp(-t/t) est solution de l'équation différentielle à condition que la constante A soit égale à E.
5. Montrer que pour une durée t=5t on peut considérer que la charge du condensateur est totale.
6. Un enregistrement de la tension u_c(t) a été réalisé. Evaluer la valeur de t sur cet enregistrement en expliquant la méthode utilisée.
   En déduire la durée minimale durant laquelle l'opérateur doit maintenir l'interrupteur en position 1 afin de réaliser la charge du condensateur.

Déclenchement du piège

Lorsque l'œuf est prélevé, le commutateur bascule de la position 0 à la position 2. Un enregistrement de la tension u_c(t) aux bornes du condensateur est réalisé lors de l'étude de ce dispositif.

1. On admet que la décharge du condensateur dans la bobine est apériodique. C'est l'énergie transférée qui provoque le déplacement du barreau de l'électroaimant. Le " temps de réaction " du piège peut être caractérisé par la durée notée t½ au bout de laquelle la tension du condensateur est réduite de moitié. Déterminer graphiquement cette durée.
2. Afin que le barreau de l'électroaimant soit éjecté et percute avec la meilleure efficacité le déclencheur de l'appareil photo, l'énergie initialement emmagasinée par le condensateur doit être la plus grande possible. En justifiant indiquer, parmi les paramètres ci-dessous, quels sont ceux sur lesquels on peut agir pour atteindre cet objectif : la fem du générateur de tension ; la capacité C du condensateur ; la résistance R.

Détermination de l'inductance L de la bobine constituant l'électroaimant.

On place cette bobine en série avec un condensateur de capacité C'= 10 nF initialement chargé sous une tension de 6V et une résistance R' tel que R'+r= 50 ohms. Le circuit ainsi constitué est représenté ci-dessous :

L'évolution de la tension aux bornes du condensateur a été enregistrée à la fermeture de l'interrupteur.

1. Comment nomme-t-on le régime correspondant à cette évolution de la tension uc(t) aux bornes du condensateur.
2. Utiliser l'enregistrement pour déterminer l'inductance L. Justifier.

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corrigé

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sens réel du courant i lors de la charge :

équation différentielle vérifiée par u_c(t) lors de la charge : u_c+Ri =E (1) (loi d'additivité des tensions)

de plus i = dq/dt et q=Cu_c soit i = Cdu_c/dt ; repport dans (1) d'où : u_c+RCdu_c/dt = E

On pose t = RC ; par suite : u_c+t du_c/dt = E

analyse dimensionnelle :

R résistance soit tension / intensité ; C capacité soit charge / tension d'où on déduit : RC charge / intensité

or une charge est une intensité fois un temps ; par suite RC a la dimension d'un temps.

valeur de u_c(t) en régime permanent :

en régime permanent u_c(t) est constant : donc du_c/dt = 0 ; u_c+t du_c/dt = E s'écrit : U_c=E.

solution de l'équation différentielle : u_c(t) = A(1-exp(-t/t)) ;

dériver par raport au temps ; du_c/dt = A/t exp(-t/t)

repport dans l'équation différentielle : A(1-exp(-t/t)) + A exp(-t/t) = E

A- A exp(-t/t)+ A exp(-t/t) = E

u_c(t) = A(1-exp(-t/t)) est solution de l'équation différentielle si A= E.

tension aux bornes du condensateur à t=5t : u_c(5t) = E(1-exp(-5t/t)) =E(1-exp(-5)) = 0,993 E

à 0,7 % près on peut considérer que la charge du condensateur est terminée.

valeur de t :

abscisse de l'intersection de la tangente à t=0 avec l'asymptote horizontale

ou bien abscisse correspondant à u_c= 0,63 E= 0,63*8 = 5 V.

La charge du condensateur est pratiquement terminée à t = 5 t soit 1 s.

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Durée caractéristique : à t_½ u_c = ½E = 4 V

L'énergie initialement stockée dans le condensateur doit être la plus grande possible : E =½CE² en fin de charge

Cette énergie sera d'autant plus grande que E sera plus grand et que la capacité C sera plus grande.

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Nom du régime correspondant au graphe ci-dessus : régime pseudo-périodique.

Inductance de la bobine : pseudo-période T= 2,0 10^-5 s (lecture graphe)

de plus T= 2p(LC)^½ ; T² = 4p² LC soit L= T²/(4p² C) avec C= 10^-8F.

L= 4 10^-10/(4*3,14² 10^-8)= 1,0 10^-3 H.

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