Cet exercice étudie le principe de fonctionnement d'un piège photo réalisé par un ornithologue afin d'identifier le prédateur d'une espèce d'oiseau en voie de disparition.

Un œuf de caille posé sur un commutateur à bascule sert d'appât dans un vieux nid. Lorsque le prédateur prélève l'œuf, le commutateur bascule de la position 0 à la position 2. Le condensateur initialement chargé se décharge dans un électroaimant que l'on peut modéliser par une bobine d'inductance L et de résistance interne r. L'électroaimant, placé sur un appareil photo déclenche la prise de vue.

Le circuit de charge est constitué d'un condensateur de capacité C, d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un générateur idéal de tension de fem E= 8 V.

I- Armement du dispositif.

Le dispositif s'arme en plaçant le commutateur en position 1 pendant la durée nécessaire à la charge du condensateur. Cette opération réalisé, l'œuf est déposé sur le bras du commutateur à bascule qui est ainsi maintenu en position O.

1. Indiquer sur le schéma le sens du courant de charge du condensateur. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension u_c(t) aux bornes du condensateur lors de la charge.
   Vérifier que cette équation est de la forme u_c(t) +tdu_c(t)/dt= E.
   En déduire l'expression de la constante t en fonction des paramètres du circuit.
2. Montrer par une analyse dimensionnelle que la constante t est homogène à un temps.
3. Déduire de l'équation différentielle la valeur U_c de u_c(t) en régime permanent.
4. Montrer que l'expression u_c(t) = A(1-exp(-t/t) est solution de l'équation différentielle à condition que la constante A soit égale à E.
5. Montrer que pour une durée t=5t on peut considérer que la charge du condensateur est totale.
6. Un enregistrement de la tension u_c(t) a été réalisé. Evaluer la valeur de t sur cet enregistrement en expliquant la méthode utilisée.
   En déduire la durée minimale durant laquelle l'opérateur doit maintenir l'interrupteur en position 1 afin de réaliser la charge du condensateur.

Déclenchement du piège

Lorsque l'œuf est prélevé, le commutateur bascule de la position 0 à la position 2. Un enregistrement de la tension u_c(t) aux bornes du condensateur est réalisé lors de l'étude de ce dispositif.

1. On admet que la décharge du condensateur dans la bobine est apériodique. C'est l'énergie transférée qui provoque le déplacement du barreau de l'électroaimant. Le " temps de réaction " du piège peut être caractérisé par la durée notée t½ au bout de laquelle la tension du condensateur est réduite de moitié. Déterminer graphiquement cette durée.
2. Afin que le barreau de l'électroaimant soit éjecté et percute avec la meilleure efficacité le déclencheur de l'appareil photo, l'énergie initialement emmagasinée par le condensateur doit être la plus grande possible. En justifiant indiquer, parmi les paramètres ci-dessous, quels sont ceux sur lesquels on peut agir pour atteindre cet objectif : la fem du générateur de tension ; la capacité C du condensateur ; la résistance R.

Détermination de l'inductance L de la bobine constituant l'électroaimant.

On place cette bobine en série avec un condensateur de capacité C'= 10 nF initialement chargé sous une tension de 6V et une résistance R' tel que R'+r= 50 ohms. Le circuit ainsi constitué est représenté ci-dessous :

L'évolution de la tension aux bornes du condensateur a été enregistrée à la fermeture de l'interrupteur.

1. Comment nomme-t-on le régime correspondant à cette évolution de la tension uc(t) aux bornes du condensateur.
2. Utiliser l'enregistrement pour déterminer l'inductance L. Justifier.

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corrigé

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sens réel du courant i lors de la charge :

équation différentielle vérifiée par u_c(t) lors de la charge : u_c+Ri =E (1) (loi d'additivité des tensions)

de plus i = dq/dt et q=Cu_c soit i = Cdu_c/dt ; repport dans (1) d'où : u_c+RCdu_c/dt = E

On pose t = RC ; par suite : u_c+t du_c/dt = E

analyse dimensionnelle :

R résistance soit tension / intensité ; C capacité soit charge / tension d'où on déduit : RC charge / intensité

or une charge est une intensité fois un temps ; par suite RC a la dimension d'un temps.

valeur de u_c(t) en régime permanent :

en régime permanent u_c(t) est constant : donc du_c/dt = 0 ; u_c+t du_c/dt = E s'écrit : U_c=E.

solution de l'équation différentielle : u_c(t) = A(1-exp(-t/t)) ;

dériver par raport au temps ; du_c/dt = A/t exp(-t/t)

repport dans l'équation différentielle : A(1-exp(-t/t)) + A exp(-t/t) = E

A- A exp(-t/t)+ A exp(-t/t) = E

u_c(t) = A(1-exp(-t/t)) est solution de l'équation différentielle si A= E.

tension aux bornes du condensateur à t=5t : u_c(5t) = E(1-exp(-5t/t)) =E(1-exp(-5)) = 0,993 E

à 0,7 % près on peut considérer que la charge du condensateur est terminée.

valeur de t :

abscisse de l'intersection de la tangente à t=0 avec l'asymptote horizontale

ou bien abscisse correspondant à u_c= 0,63 E= 0,63*8 = 5 V.

La charge du condensateur est pratiquement terminée à t = 5 t soit 1 s.

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Durée caractéristique : à t_½ u_c = ½E = 4 V

L'énergie initialement stockée dans le condensateur doit être la plus grande possible : E =½CE² en fin de charge

Cette énergie sera d'autant plus grande que E sera plus grand et que la capacité C sera plus grande.

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Nom du régime correspondant au graphe ci-dessus : régime pseudo-périodique.

Inductance de la bobine : pseudo-période T= 2,0 10^-5 s (lecture graphe)

de plus T= 2p(LC)^½ ; T² = 4p² LC soit L= T²/(4p² C) avec C= 10^-8F.

L= 4 10^-10/(4*3,14² 10^-8)= 1,0 10^-3 H.

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Propriétés de l'acide benzoïque

Les conservateurs sont des substances qui prolongent la durée de conservation des denrées alimentaires en les protégeant des altérations des micro-organismes. L'acide benzoïque C₆H₅-COOH ( code E210) et le benzoate de sodium C₆H₅-COONa ( code E211) sont utilisés dans l'industrie comme conservateurs alimentaires pour leurs propriétés fongicides et antibactériennes.

Acide benzoïque : solide blanc, masse molaire M= 122 g/mol, solubilité dans l'eau ( masse maximale que l'on peut dissoudre dans 1 L d'eau) : 2,4 g/L à 25°C.

Couple acide base C₆H₅-COOH / C₆H₅-COO^- pK_a1 = 4,2

Réaction de l'acide benzoïque avec l'eau :

On introduit une masse m₀ d'acide benzoïque dans un volume V₀= 100 mL d'eau distillée. Après dissolution totale, on obtient une solution aqueuse d'acide benzoïque notée S₀ de concentration C₀ = 1,0 10^-2 mol/L. Le pH-mètre indique 3,1 pour le pH de la solution S₀.

1. Quelle masse m₀ faut-il peser pour préparer la solution S₀ ? La solution est-elle saturée ?
2. Ecrire l'équation de la réaction de l'acide benzoïque avec l'eau.
3. Tracer le diagramme de prédominance du couple acide benzoïque / ion benzoate. En déduire l'espèce prédominante sans la solution S₀.
4. Etablir un tableau d'avancement correspondant à cette transformation chimique, en fonction de C₀, V₀ et x_éq, avancement à l'état d'équilibre.
5. Déterminer l'avancement maximal.
   -Montrer que le taux d'avancement final t s'écrit t =[H₃O⁺] / C₀ puis le calculer. Ce résultat est-il en accord avec la question précédente ?
6. Donner l'expression du quotient de réaction à l'état d'équilibre Q_{r éq}.
7. Retrouver la valeur donnée du pK_a du couple acide benzoïque / ion benzoate.

Réaction de l'acide benzoïque avec la soude.

On ajoute à la solution S₀ quelques gouttes de soude ( hydroxyde de sodium). Le pH-mètre indique alors 6,2.

1. Indiquer sans calcul, quelle est l'espèce du couple acide benzoïque/ ion benzoate qui prédomine alors dans la solution obtenue.
2. Ecrire l'équation de la réaction qui se produit entre l'acide benzoïque et les ions hydroxyde HO^-. Exprimer la constante d'équilibre K puis la calculer.

Synthèse du benzoate de méthyle.

On le prépare à partir de la réaction entre l'acide benzoïque et le méthanol de formule CH₃OH.

On mélange une masse m₁ = 12,2 g d'acide benzoïque avec un volume V₂ = 30 mL de méthanol, quelques gouttes d'une solution concentrée d'acide sulfurique et quelques grains de pierre ponce.

On chauffe à reflux pendant 60 minutes. Après refroidissement, on verse le contenu du ballon dans une ampoule à décanter contenant de l'eau glacée. On obtient deux phases bien distinctes. Après traitement de la phase contenant l'ester , on isole une masse égale à 9,52 g de benzoate de méthyle.

composés	formule	masse molaire g/mol	masse volumique g/mL	solubilité dans l'eau
acide benzoïque	C6H5-COOH	122	1,3	faible
méthanol	CH3OH	32	0,80	forte
benzoate de méthyle		136	1,1	nulle

1. Déterminer les quantités de matière n₁ d'acide benzoïque et n₂ de méthanol introduits.
2. Identifier les facteurs cinétiques sur lesquels on joue pour réaliser le plus rapidement possible cette synthèse.
3. Quelle est l'utilité du chauffage à reflux ?
4. Ecrire l'équation de la réaction de synthèse du benzoate de méthyle.
5. Quel est le réactif limitant ? En déduire la quantité de matière théorique d'ester que l'on pourrait obtenir si la transformation était totale.
6. Définir et calculer le rendement expérimental de cette synthèse.

Fission nucléaire :

Une centrale nucléaire est une usine de production d'électricité. Actuellement ces centrales utilisent la chaleur produite par des réactions de fission de l'uranium 235 qui constitue le " combustible nucléaire ". Cette chaleur transforme de l'eau en vapeur. La pression de la vapeur permet de faire tourner à grande vitesse une turbine qui entraîne un alternateur produisant de l'électricité.

Certains produits de fission sont des noyaux radioactifs de forte activité et dont la demi-vie peut être très longue.

1. Définir le terme demi-vie.
2. Définir l'activité d'une source radioactive. Préciser son unité dans le système SI
3. Le bombardement d'un noyau d'uranium 235 par un neutron peut produire un noyau de strontium et un noyau de xénon selon l'équation suivante :
   ²³⁵₉₂U + ₀¹n--->⁹⁴_ZSr+ ^A₅₄Xe + 3 ₀¹n
   Déterminer A et Z.
   Calculer en MeV l'énergie libérée par cette réaction de fission.
   Quelle est l'énergie libérée par nucléon de matière participant à la réaction ?

particule ou noyau	neutron	proton	deutérium	tritium	hélium 3	hélium4	uranium 235	xénon	strontium
symbole	01n	11n	21H	31H	32He	42He	23592U	A54Xe	94ZSr
masse en u	1,00866	1,00728	2,01355	3,01550	3,01493	4,00150	234,9942	138,8892	93,8945

1 u = 1,66054 10^-27 kg ; énergie de masse de l'unité de masse atomique E= 931,5 MeV , 1 eV= 1,60 10^-19 J ; c= 3,00 10⁸ m/s.

Fusion nucléaire :

Le projet ITER s'installera prochainement sur le site de Cadarache en France. L'objectif de ce projet est de démontrer la possibilité scientifique et technologique de la production d'énergie par fusion des atomes. La fusion est la source d'énergie du soleil et des autres étoiles.

Pour obtenir une réaction de fusion il faut rapprocher suffisamment deux noyaux qui se repoussent, puisqu'ils sont tous deux chargés positivement. Une certaine énergie est donc indispensable pour franchir cette barrière et d'arriver dans la zone très proche du noyau, où se manifestent les forces nucléaires capables de l'emporter sur la répulsion électrostatique.

La réaction de fusion la plus accessible est la réaction impliquant le deutérium et le tritium. La demi-vie du tritium consommé au cours de cette réaction n'est que de 15 ans.

De plus il y a peu de déchets radioactifs générés par la fusion et l'essentiel est retenu dans les structures de l'installation ; 90% d'entre eux sont de faible ou moyenne activité.

1. Le deutérium ₁²H et le tritium ₁³H sont deux isotopes de l'hydrogène.
   Définir le terme de noyaux isotopes.
   Donner la composition de ces deux noyaux.
2. Qu'appelle-t-on réaction de fusion ?
3. Sur la courbe d'Aston indiquer dans quel domaine se trouvent les noyaux susceptibles de donner une réaction de fusion.
4. Ecrire l'équation de la réaction nucléaire entre un noyau de Deutérium et un noyau de Tritium sachant que cette réaction libère un neutron et un noyau noté ^A_ZX. Préciser la nature de ce noyau.
5. Montrer que l'énergie libérée au cours de cette réaction est de 17,6 MeV. Quelle est l'énergie libérée par nucléon de matière participant à la réaction ?
6. Conclure sur l'intérêt du projet ITER en indiquant les avantages que présenterait l'utilisation de la fusion par rapport à la fission pour la production d'électricité dans les centrales nucléaires.