La pile cuivre aluminium :

1. On introduit dans un becher un volume V= 50 mL d'une solution de chlorure d'aluminium (Al³⁺ + 3Cl^-) de concentration en soluté apporté 0,10 mol/L, dans laquelle plonge une lame d'aluminium. dans un second becher, on introduit un volume V= 50 mL d'une solution de sulfate de cuivre ( Cu²⁺ + SO₄^2-) de concentration en soluté apportée 0,10 mol/L, dans laquelle plonge une lame de cuivre. On relie les deux bechers par un pont salin contenant du nitrate d'ammonium. Lorsqu'on branche un voltmètre électronique avec la borne COM relié à l'aluminium on lit U= +1,8 V.
   - Quelle est la polarité de la pile ?
   - Quel est le rôle du pont salin ?
2. On relie la pile à un conducteur ohmique.
   - Faire un schéma légendé en indiquant le sens du courant dans le circuit, et n indiquant le sens de déplacement des différents porteurs de charge à l'intérieur et à l'extérieur de la pile.
   - Ecrire et nommer les réactions qui se produisent aux électrodes.
   - Montrer que la ta transformation entre les deux couples peut s'écrire : 2Al + 3Cu²⁺ = 2Al³⁺ +3 Cu. constante d'équilibre associée K= 10²⁰.
   Calculer le quotient de réaction initial. Montrer en appliquant le critère d'évolution spontanée que le sens d'évolution est cohérent avec le fonctionnement de la pile.
3. La pile fonctionne pendant 1h 30 min en débitant un courant d'intensité constante I= 40 mA. 1 faraday = 9,65 10⁴ C.M(Al) = 27 g/mol.
   - Calculer la quantité d'électricité échangée en 1h 30 min.
   - Calculer la quantité de matière correspondante d'électrons.
   - Donner la realtion entre la quantité de matière d'électrons et la quantité de matière d'aluminium ayant disparu.
   - Calculer la perte de masse de l'électrode d'aluminium.
4. La pile est équivalente à l'association série d'un générateur de tension de fem E= 1,8 V et d'un conducteur ohmique r. On remplace le conducteur ohmique par un condensateur.

   - Recopier le schéma ci-dessus en représentant le sens du courant de charge du condensateur et flèches représentant les tensions u_QM, u_QP et u_AB.
   - Quel est le signe de la charge prise par l'armature A du condensateur lors de la charge.
   - A chaque instant la charge q_A de l'armature A du condensateur est proportionnelle à la tension u_AB entre ses armatures A et B. Quel est le nom et l'unité de ce coefficient de propottionnalité ?

5. Etude de la variation de la tension aux bornes du condensateur au cours du temps lorsqu'il est soumis à un échelon de tension.
   - A l'aide d'un graphique expliquer ce qu'est un échelon de tension E.
   - L'équation différentielle permettant de déterminer la tension u_AB aux bornes du condensateur est de la forme : E= rC du_AB/dt + u_AB. Que représente la grandeur C ?
   - La solution de cette équation différentielle est u_AB= E(1-exp(-t/t)). En déduire l'expression de la constante t. Quelle est l'unité de t ? Le vérifier par analyse dimentionnelle. Quel nom donne-t-on à t?
   - Quelles valeurs écrites en fonction de E, prend la tension u_AB aux dates suivantes ; t ; 3t ; 5t ; 10t . Dessiner l'allure de la courbe u_AB=f(t) de t=0 à t= 6 t.
6. Après avoir chargé le condensateur de capacité C= 100 mF sous la tension E= 1,8 V, on le décharge dans un moteur qui en tournant provoque la montée d'un hauteur h, à la vitesse constante d'un solide S de masse m= 100 g. ( g= 10 m/s²)
   - Quelle est l'énergie maximale emmagasinée par le condensateur ?
   - De quelle hauteur h peut monter le solide si le transfert d'énergie se fait avec un rendement de 100 %. 

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corrigé

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polarité de la pile :

le voltmètre indique une valeur positive lorsque sa borne COM est reliée à la plaque d'aluminium ; en conséquence celle-i est la borne négative de la pile.

Quant à la plaque de cuivre elle constitue la borne positive de la pile.

rôle du pont salin :

il assure la continiuté électrique et il contribue à l'électroneutralité des solutions dans chaque bécher.

Dans les solutions et le pont salin, les cations positifs se déplacent dans le sens conventionnel du courant ; par contre les anions négatifs se déplacent en sens contraire du sens conventionnel du courant.

les réactions aux électrodes :

à l'anode négative, oxydation Al = Al³⁺ + 3e^-.(1)

à la cathode positive, réduction : Cu²⁺ + 2e^- = Cu.(2)

puis 2 fois (1) + 3 fois (2) donnent : 2Al + 3Cu²⁺ = 2Al³⁺ +3 Cu. avec K= 10²⁰.

Quotient de réaction initial : Q _{r i} = [Al³⁺]_i²/[Cu²⁺]_i³ = 0,1² / 0,1³ = 10.

Q _{r i} < K la réaction évolue dans le sens direct, de la gauche vers la droite, ce qui est cohérent avec le fonctionnement de la pile.

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Quantité d'électricité Q échangée en 1h 30 min si I= 40 mA = 0,04 A :

Q= It = 0,04*3600*1,5 = 216 C ( 2,2 10² C )

Quantité de matière d'électrons correspondante : Q= n(e^-) F avec F= 9,65 10⁴ C

n(e^-) =216/9,65 10⁴ = 2,24 10^-3 mol ( 2,2 10^-3 mol)

relation entre n(e^-) et n(Al) : Al = Al³⁺ + 3e^-.

d'après les coefficients de cette demi-équation : n(e^-) = 3n(Al) ou n(Al) = 1/3 n(e^-) =2,24 10^-3 /3 = 7,46 10^-4 mol ( 7,5 10^-4 mol)

perte de masse de l'électrode d'aluminium :

m = n(Al) * M(Al ) = 7,46 10^-4 *27 = 2,0 10^-2 g.

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signe de la charge de l'armature A du condensateur lors de la charge :

les électrons se déplacent en sens contraire du sens conventionel du courant ; l'armature B acquiert une charge négative ; l'armature A acquiert une charge positive.

q_A= Cu_AB, charge et tension aux bornes du condensateur sont proportionnelles ; le coefficient de proportionnalité est la capacité du condensateur, exprimée en farad (F).

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Le condensateur est soumis à un échelon de tension E :

expression de la constante de temps t :

équation différentielle relative à la tension u_AB : E= rC du_AB/dt + u_AB.

C est la capacité du condensateur (farad)

solution de cette équation différentielle : u_AB =E(1-exp(-t/t))

dériver par rapport au temps : du_AB/dt = E/t exp(-t/t)

repport dans l'équation différentielle : E= rCE/t exp(-t/t)+E(1-exp(-t/t))

0 = rC/t exp(-t/t)-exp(-t/t)

relation vérifiée quel que soit le temps si t=rC

la constante de temps t a la dimension d'un temps, s'exprime en seconde :

r : résisatance soit tension / intensité

C : capacité soit charge / tension et une charge est une intensité fois un temps

d'où C : intensité * temps / tension

par suite rC a la dimension d'un temps.

valeurs en fonction de E de la tension u_AB aux dates :

u_AB(t)=E(1-e^-1) = 0,63 E; u_AB(3t)=E(1-e^-3) =0,95 E ; u_AB(5t)=E(1-e^-5) =0,99 E ; u_AB(10t)=E(1-e^-10) = E ;

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énergie maximale emmagasinée par le condensateur :

½CE² = 0,5*0,1*1,8²=0,16 J.

Cette énergie est transférée au moteur ; ce dernier convertit cette énergie en énergie mécanique ( potentielle de pesanteur mgh)

avec un rendement de 100% la hauteur maximale atteinte sera : 0,16/(mg) = 0,16 /(0,1*10) = 0,16 m.

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