Aurélie 07/06/06

 

où il est question de la lumière : diffraction, spectrophotométrie d'après bac S Polynésie 2006



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où il est question de la lumière (6 pts)

Partie A :

Un faisceau de lumière parallèle monochromatique, de longueur d'onde l produit par une source laser arrive sur un fil vertical de diamètre a ( a est de l'ordre du dixième de mm). On place un écran à la distance D de ce fil ; D est très grande devant a. La figure ci-dessous est en vue de dessus.

  1. Quel enseignement sur la nature de la lumière ce phénomène apporte-t-il ? Nommer ce phénomène.
  2. Faire apparaître sur la figure ci-dessus l'écart angulaire ou demi angle de diffraction q et la distance D entre le fil diffractant et l'écran.
  3. Exprimer cet écart angulaire en fonction des grandeurs L et D sachant que pour les petits angles exprimés en radians tan q =q.
  4. Quelle expression mathématique lie les grandeurs q, l et a ? Préciser les unités de ces grandeurs physiques.
  5. En utilisant les résultats précédents montrer que la largeur L de la tache centrale de diffraction s'exprime par : L=2lD/a.
  6. On dispose de deux fils calibrés de diamètres respectifs a1 = 60 mm et a2 = 80 mm. On place successivement ces deux fils dans le dispositif et on obtient sur l'écran deux figures de diffraction notées A et B. Associer en le justifiant, à chacun des deux fils la figure de diffraction qui lui correspond.

    On cherche à déterminer expérimentalement la longueur d'onde dans le vide l de la lumière monochromatique émise par la source laser utilisée. Pour cela on place devant le faisceau laser des fils calibrés verticaux. On désigne par "a" le calibre d'un fil. D= 2,5 m. Pour chaque fil on mesure la largeur L de la tache centrale de diffraction. On trace la courbe L=f(1/a).

  7. La lumière émise par la source laser est dite monochromatique. Quelle est la signification de ce terme ?
  8. Montrer que l'allure de la courbe L=f(1/a) obtenue est en accord avec l'expression de L donnée en 5.
  9. Donner l'équation de la courbe L=f(1/a) et en déduire la longueur d'onde l.
  10. Calculer la fréquence de la lumière monochromatique émise par la source laser.
  11. On éclaire avec cette source laser un verre flint d'indice n(l) = 1,64. A la traversée de ce milieu transparent dispersif, les valeurs de la fréquence, de la longueur d'onde et de la couleur associées à cette radiation varient-elle ?
    c= 3,00 108 m/s.

Partie B :

On étudie la cinétique de la réaction en solution aqueuse, entre les ions permanganate MnO4- et l'acide éthanedioïque H2C2O4. L'équation de la réaction, considérée comme totale, modélisant la transformation chimique étudiée s'écrit :

2MnO4- + 5H2C2O4 +6H3O+ = 2Mn2+ + 10 CO2 +14 H2O.

On suit l'évolution du système chimique par spectrophotométrie. En solution aqueuse les ions permanganate absorbent une partie des radiations du spectre visible contrairement à toutes les autres espèces du milieu réactionnel qui n'interagissent pas avec la lumière visible. Le spectrophotomètre est réglé sur la longueur d'onde l dans l'air de l'une des radiations absorbées par les ions permanganate. Il permet de mesurer l'absorbance A l de la solution. L'absorbance est proportionnelle à la concentration effective des ions permanganate soit Al(t) = k[MnO4-](t).

  1. Le spectre d'absorbtion A=f(l) d'une solution aqueuse d'ion permanganate de potassium de concentration molaire c= 5,0 10-4 mol/L en ions présents en solution est donné ci-dessous :

    - Dans quel intervalle de longueur d'onde l'absorbance est-elle significative ? Quelle est la couleur de la solution ?
    - Un laser de longueur d'onde 540 nm serait-il adapté pour l'étude spectrophotométrique de la transformation ?

  2. On introduit dans la cuve du spectrophotomètre un volume V1 = 1,0 mL d'une solution aqueuse acidifiée de permanganate de potassium de concentration effective en ion permanganate égale à 5,0 10-4 mol/L. A la date t=0 on ajoute un volume V2 = 1,0 mL une solution d'acide oxalique de concentration 12,5 10-4 mol/L. Le spectrophotomètre mesure l'absorbance en fonction du temps.

    - Justifier l'évolution de l'absorbance au cours du temps.
    - Déterminer les quantités de matière initiales des ions permanganate et d'acide oxalique.
    - A l'aide d'un tableau d'avancement déterminer l'avancement maximal en supposant les ions oxonium en excès.
    - Comment peut-on évaluer la vitesse volumique à la date t ?
    - Comment évolue la vitesse volumique de cette réaction ?
    - Définir le temps de demi-réaction t½. Le déterminer graphiquement.

corrigé

renseignement sur la nature de la lumière :

Le phénomène de diffraction ( par une fente de largeur du même ordre de grandeur que la longueur d'onde de la lumière) met en évidence la nature ondulatoire de la lumière.

écart angulaire q :

tan q = ½L/D voisin de q radian pour les angles petits.

d'autre part q = l/a

avec : l longueur d'onde (m) et a : largeur de la fente (m)

en tenant compte des deux relations ci-dessus : ½L/D=l/a soit L=2lD/a

A chaque fil sa figure de diffraction :

le produit lD étant constant, L largeur de la tache centrale et a largeur de la fente sont inversement proportionnelles : la figure A correspond donc à la plus petite fente a1= 60 mm et la figure B à la fente la plus large a2 = 80 mm.

monochromatique : une lumière monochromatique correspond à une seule couleur, à une seule fréquence.

L= k * 1/a = 2,72 10-6 *1/a, en accord avec la realtion trouvée ci-dessus (L=2lD/a avec k identifié a : 2lD)

longueur d'onde de la lumière : 2lD =2,72 10-6 avec D=2,5 m

l =2,72 10-6 / 5 = 5,44 10-7 m = 544 nm.

fréquence de cette lumière : f = c/l =3,00 108 / 5,44 10-7 =5,51 1014 Hz.

A la traversée d'un milieu transparent dispersif :

la fréquence reste constante( donc la couleur associée reste constante) ; la longueur d'onde varie ainsi que la célérité.

Spectre d'absorption A=f(l) d'une solution de permanganate de potassium à 5,0 10-4 mol/L :

L'absorbance présente un maximum dans la région [480 nm - 580 nm] ; la solution absorbe le vert et une partie du jaune ; la solution a une teinte complémentaire de bande de couleur absorbée ; la solution est donc rose violet.

Un laser de longueur d'onde 540 nm est tout a fait adapté pour l'étude spectrophotomètrique de la transformation.

Evolution de l'absorbance A au cours du temps :

l'ion permanganate MnO4- est la seule espèce colorée ; c'est de plus un réactif , donc qui disparaît au cours du temps ; en conséquence l'absorbance A diminue au cours du temps.

Quantité de matière (mol) initiale des réactifs : volume (L) de la solution * concentration (mol/L)

acide oxalique H2C2O4 :1,0 10-3*12,5 10-4 =1,25 10-6 mol.

ion permanganate : 1,0 10-3*5 10-4 =5,0 10-7 mol.

avancement maximal :

avancement (mol)
2MnO4-
+5H2C2O4
+6H3O+
=2Mn2+
+10CO2
+14H2O
initil
0
5,0 10-7
1,25 10-6
en excès d'après l'énoncé
0
0
solvant en large excès
en cours
x
5,0 10-7-2x
1,25 10-6-5x
2x
10x
fin
xmax
5,0 10-7-2xmax
1,25 10-6-5xmax
2xmax
5xmax
si MnO4- en défaut : 5,0 10-7-2xmax =0 soit xmax =2,5 10-7mol

si H2C2O4 en défaut : 1,25 10-6-5xmax =0 soit xmax =2,5 10-7mol

Evaluer la vitesse volumique à une date t : v= 1/V dx/dt avec V : volume de la solution et x : avancement (mol)

l'absorbance A est proportionnelle à [MnO4-] ; or [ MnO4-] =(5,0 10-7-2x)/V

dériver par rapport au temps : d[MnO4-]/dt = -2/V dx/dt ; soit 1/V dx/dt = -½d[MnO4-]/dt

A la date t considérée, tracer la tangente à la courbe A=f(t) puis déterminer son coefficient direceteur ( -dA/dt) ; la vitesse v est proportionnelle à ce coefficient.

Evolution de cette vitesse volumique : autocatalyse

t<2 min : la vitesse est très faible, car le catalyseur ( l'un des produits Mn2+ ) est en faible quantité.

2<t<4 min : la vitesse augmente avec la quantité croissante du catalyseur.

t>4 min : la vitesse diminue puis s'annule, car les quantités de matière des réactifs diminuent.

temps de demi-réaction :

durée au bout de laquelle l'avancement est égal à la moitié de l'avancement final

( dans ce cas l'avancement final est égal à l'avancement maximal)

à t½ : x= 1,25 10-7 mol ; [ MnO4-]t½ =(5,0 10-7-2*1,25 10-7)/V = 2,5 10-7/V mol/L soit la moitié de sa valeur initiale

donc l'absorbance a diminué de moitié à t½.



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