On désire vérifier la résistance r d'une bobine réelle d'inductance L= 250 mH modélisée par :

A- En régime permanent :

On réalise un circuit comportant un générateur de tension continue de fem E= 6,0 V, de résistance interne négligeable, un ampèremètre numérique, un voltmètre numérique, des fils de connexion et la bobine étudiée.

1. Compléter le schéma ci-dessous en indiquant la position de l'ampèremètre, du voltmètre. Faire figurer la tension u_G=E aux bornes du générateur, u_B, tension aux bornes de la bobine. La tension aux bornes de l'ampèremètre est négligeable.
2. Les mesures des appareils donnent u_B=5,95 V et I= 410 mA. En déduire la résistance r de la bobine en justifiant la démarche.

B- En régime transitoire :

On ajoute en série au montage précédent une résistance R'= 10,0 W. Il remplace les appareils de mesures par un système d'acquisition informatisé qui lui donne les variations de i(t) obtenues à la fermeture de l'interrupteur. La tension du générateur reste égale à 6 V.

1. Quel est le phénomène observé dans le circuit ?
2. Sur le schéma ci-dessous indiquer comment brancher le système d'acquisition ( voie d'entrée et voie de référence) afin d'obtenir une tension proportionnelle à l'intensité. Justifier.
3. Déterminer la valeur de la constante de temps t à partir du graphe ci-dessous. Détailler clairement la méthode utilisée.
4. La valeur de t est égal à L/R où R représente la résistance totale du circuit. Donner l'expression de t en fonction des paramètres du circuit et vérifier par analyse dimensionnelle que t est homogène à un temps.
   - La bobine ayant une inductance L= 250 mH déterminer sa résistance.
5. On considère que l'intensité i(t) atteint une valeur limite I_oo=240 mA au bout d'une durée 5 fois supérieure à t. Quel est alors le régime de fonctionnement de la bobine ? Exprimer la résistance r de la bobine en fonction de E, R' et I_oo. Calculer r.
6. Les trois valeurs obtenues pour r sont-telles cohérentes entre elles ?

C- En régime transitoire :

Cette bobine est branchée aux bornes d'un condensateur C= 4 mF préalablement chargé :

1. Rappeler l'expression littérale de la période propre T₀ d'un oscillateur LC. Calculer T₀ .
2. On branche un oscilloscope aux bornes du condensateur et on observe sur l'écran des oscillations pseudo-périodiques de pseudo-période T. Interpréter l'ammortissement des oscillations.
   - On constate avec une base de temps de 2 ms/div, que deux pseudo-périodes occupent entre 6,2 et 6,4 divisions. Donner un encadrement de la pseudopériode T ainsi mesurée.
   - Comparer ce résultat à T₀.

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corrigé

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En régime permanent l'intensité I₀ est constante et dI₀/dt est nulle ; la tension aux bornes de la bobine est u_L=rI₀

u_L=rI₀   ; r = u_L /I₀ = 5,95 / 0,410 = 14,5 W.

Phénomène observé dans le circuit en régime transitoire :

à la fermeture de l'interrupteur, on observe un retard à l'établissement du courant ; pendant ce temps la bobine inductive stocke de l'énergie.

Schéma du circuit permettant de visualiser une tension proportionnelle à l'intensité du courant :

La tension aux bornes d'un résistor noté R' et l'intensité qui le traverse sont proportionnelles.

valeur de la constante de temps t = 10 ms = 10^-2 s.

expression littérale de t = L/(R'+r)= L/R avec R= R'+r.

dimension de t :

E=½Li² soit L=2E/i² : énergie / intensité au carré

Energie dissipée dans un résistor : E= Ri²t soit R = E/(i²t) : énergie / ( intensité² * temps)

d'où L/((R₀+r) a la dimension d'un temps

valeur de r si L= 0,250 H ; t = 0,0100 s et R' = 10,0 W :

r +R' = L/t = 0,25/0,01 = 250 soit r = 15,0 W.

régime de fonctionnement de la bobine à t >5t : régime permanent

En régime permanent l'intensité I_oo est constante et dI_oo/dt est nulle ; la tension aux bornes de la bobine est u_L=rI_oo

u_L=rI_oo   ; u_AB= R'I_oo ; additivité des tensions E=u_L+u_AB=rI_oo +R'I_oo ; r +R'= E /I_oo = 6 / 0,24 = 25,0 W ; r= 15,0 W.

les trois valeurs obtenues pour r sont cohérentes ( écart relatif 0,5*100/15 = 3,3 %)

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période propre de l'oscillateur LC : T₀ = 2p(LC)^½.

valeur de T₀ si L= 0,250H et C= 4 10^-6 F

T₀ = 6,28(0,25*4 10^-6)^½=6,28*10^-3s. ( 6 ms, le calcul donne un résultat peu précis, la capacité étant exprimée avec un seul chiffre significatif )

Amortissement des oscillations :

lors des échanges d'énergie entre condensateur et bobine, une partie de l'énergie est dissipée par effet joule dans les conducteurs ohmiques.

Encadrement de la pseudo-période T mesurée si 2 T appartient à l'intervalle [6,2 ; 6,4ms]

T est comprise entre 6,1 et 6,2 ms, valeur cohérente avec la valeur de la période propre T₀ ( écart relatif 0,15 *100/ 6,15 = 2,5%).

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