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Céramiques et ultrasons (4
points)
Les ultrasons sont utilisés dans de nombreux domaines de la
vie courante : échographie, détecteurs de présence dans les alarmes,
etc. Les émetteurs et les récepteurs d'ultrasons sont fréquemment
constitués de céramiques piézoélectriques.
Les parties 1 et 2 de cet exercice sont indépendantes.
- Emission et propagation de l'onde ultrasonore produite
par une céramique piézoélectrique :
Lorsqu'on applique une tension sinusoïdale d'amplitude suffisante et de
fréquence appropriée entre les deux faces métallisées et opposées d'une
céramique piézoélectrique, elle se met à vibrer. Lorsque la céramique
entre en résonance, elle émet des ultrasons. La fréquence des ultrasons
émis est égale à la fréquence de vibration de la céramique émettrice.
- Propagation des ondes ultrasonores :
On réalise le montage schématisé figure ci-dessous. Le
récepteur, constitué d'une céramique réceptrice, est placé à une
distance d, face à la céramique émettrice. Une tension de même
fréquence que les ultrasons reçus apparaît aux bornes de la céramique
réceptrice. On visualise cette tension sur la voie A d'un oscilloscope.
L'oscillogramme obtenu est représenté sur la figure ci-dessous. Le
coefficient de balayage est égal à 10 µs/div et la sensibilité
verticale à 0,2 V/div. On rappelle que la célérité des ultrasons dans
l'air est vair = 340 m.s-1 dans les conditions de
l'expérience.
Déterminer la période T et la fréquence f de la tension
observée à l'oscilloscope. En déduire la fréquence f des
ultrasons. Justifier.
Donner l'expression littérale puis la valeur de la longueur d'onde l des ultrasons dans l'air.
- Résonance de la céramique émettrice :
Pour une valeur appropriée de la fréquence de la tension
sinusoïdale appliquée, son amplitude restant constante, la céramique
émettrice entre en résonance. La tension sinusoïdale joue alors le rôle
d'un excitateur et la céramique celui d'un résonateur. Que peut-on dire
de la valeur de la fréquence de la tension excitatrice à la résonance ?
Décrire qualitativement le phénomène de résonance en ce qui concerne
l'amplitude de vibration de la céramique.
- Oscillations libres dans un circuit RCL série :
Pour étudier les conditions d'obtention d'oscillations
électriques libres à la fréquence propre f0 = 40 kHz, on
réalise le circuit schématisé figure ci-dessous. Un oscilloscope à
mémoire permet d'enregistrer la tension aux bornes du condensateur.
L'oscillogramme est représenté sur la figure ci-dessous. La bobine a
une inductance de valeur L = 1,0 mH ; R est la résistance totale du
circuit. Le condensateur est initialement chargé sous une tension Uc
= 4,0 V. A l'instant de date t = 0 s, on ferme l'interrupteur K.
Comment appelle-t-on le type de régime correspondant à la
figure ci-dessus ?
Interpréter en termes d'énergie l'amortissement des oscillations, que
l'on observe.
Comment peut-on éviter l'amortissement des oscillations, sachant que la
résistance du circuit ne peut être nulle ?
Dire si les affirmations ci-dessous concernant les oscillations libres
d'un dipôle RLC sont vraies ou fausse. Commentez brièvement.
Affirmation 1 : En augmentant la résistance R d'un dipôle
RLC on observera toujours des oscillations amorties.
Affirmation 2 : la valeur de la période propre d'un dipôle
RLC dépend de la charge initiale du condensateur.
- Détermination de la capacité d'un condensateur :
Dans le cas étudié, l'amortissement est assez faible pour
pouvoir confondre la pseudo période du dipôle RLC avec la période
propre T0 du dipôle LC (L et C ayant les mêmes valeurs
respectives dans les deux cas). On considère le circuit LC représenté à
la figure ci-dessous.L'interrupteur K est ouvert et la tension aux
bornes du condensateur est égale à U0. A l'instant de date t
= 0 s, on ferme l'interrupteur K. Après avoir établi l'expression de
l'intensité i du courant en fonction de la tension uc
montrer que l'équation différentielle vérifiée par la tension uc(t)
aux bornes du condensateur est: d²uc/dt + 1/(LC) uc
= 0
- La solution de cette équation différentielle peut
s'écrire uc(t) = U0cos(2pt/T0).
En déduire, en utilisant l'équation différentielle, l'expression
littérale de la période propre T0 du circuit.
Calculer la valeur à donner à la capacité C du condensateur de manière
à obtenir des oscillations à la fréquence f0 = 40 kHz.
corrigé
période T et fréquence f
de la tension observée à l'oscilloscope :
deux périodes correspondent à 5 divisions soit 50 ms; T= 25ms = 2,5 10-5 s.
fréquence f = 1/T = 105/2,5 = 4,0 104 Hz
= 40 kHz.
fréquence f des ultrasons = fréquence du
signal observé à l'oscilloscope = 40 kHz
" Une tension de même fréquence que les ultrasons reçus
apparaît aux bornes de la céramique réceptrice"
expression littérale et la valeur de la longueur d'onde l des ultrasons dans l'air :
l = c /f = 340/4 104 = 8,5 10-3 m.
Résonance de la céramique
émettrice :
à la résonance la valeur de la fréquence de la tension
excitatrice est égale à la fréquence propre du résonateur.
Description du phénomène de résonance en ce qui
concerne l'amplitude de vibration de la céramique :
la céramique est soumise à des oscillations forcées ; à la
résonance l'amplitude des oscillations devient très grande alors que
pour des fréquences excitatrices très différentes de la fréquence
propre de la séramique, l'amplitude des oscillations restet faible.
Oscillations libres dans
un circuit RCL série :
-
type de régime correspondant à la figure :
oscillations libres pseudo-périodiques.
Interpréation en termes d'énergie de
l'amortissement des oscillations :
au cours des échanges d'énergie entre condensateur et
bobine, une partie de l'énergie est dissipée sous forme de chaleur (
effet joule) dans les résistances ( conducteur ohmique)
-
On éviter l'amortissement des oscillations en
compensant à chaque instant l'énergie perdue ( par exemple à l'aide
d'un dispositif électronique simulant une résistance négative)
L'affirmation 1 est fausse : "En augmentant la
résistance R d'un dipôle RLC on observera toujours des oscillations
amorties".
Aumgmenter R c'est augmenter l'énergie dissipée sous
forme d'effet joule ; les oscillations s'amortissent de plus en plus :
on aboutit à un régime apériodique.
L'affirmation 2 est fausse : "la valeur de la
période propre d'un dipôle RLC dépend de la charge initiale du
condensateur".
La pseudo-période ( si amortissement faible) dépend de
l'inductance de la bobine et de la capacité du condensateur T=2p(LC)½.
Détermination de la
capacité d'un condensateur :
équation différentielle vérifiée par la tension uc(t)
aux bornes du condensateur
tension aux bornes du condensateur : uc(t) ; avec
q(t) = C uc(t) et i (t) =q(t) /dt = Cd uc(t)/dt ;
di(t)/dt = Cd²uc(t)/dt²
tension aux bornes de la bobine : uL(t) = Ldi(t)/dt
= LCd²uc(t)/dt²
additivité des tensions : uc(t) +uL(t)
=0 ; uc(t)+ LCd²uc(t)/dt² =0
soit : d²uc/dt + 1/(LC) uc
= 0
solution de cette équation différentielle : uc(t) =
U0cos(2pt/T0).
expression littérale de la période propre T0
du circuit :
dériver deux fois uc(t) = U0cos(2pt/T0) par rapport au temps :
u'c(t) = -U02p/T0sin(2pt/T0) ; u"c(t) = -U0(2p/T0)2cos(2pt/T0) = - (2p/T0)2uc(t)
repport dans l'équation différentielle : - (2p/T0)2uc(t) +
1/(LC)uc(t) =0
cela est vérifié quel que soit t si : (2p/T0)2
= 1/(LC) soit T0 = 2p(LC)½.
valeur de la capacité C du condensateur de manière à
obtenir des oscillations à la fréquence f0 = 40 kHz :
T0 = 2,5 10-5 s ; C= T²0/(4p²L) = 2,5² 10-10/(4p²10-3) =1,6 10-8 F = 16 nF.
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