systèmes libre et forcé dans une automobile, accumulateur au plomb d'après bac S Asie 2006 dipôle (RL) ; cinétique de la saponification de l'éthanoate d'éthyle d'après bac Amérique du Sud 2005 oscillateur solide ressort ; le dihydrogène : : pile à combustible et électrolyse d'après bac Nlle Calédonie mars 2005

Aurélie 20/06/06

systèmes libre et forcé dans une automobile, accumulateur au plomb

d'après bac S Asie 2006

systèmes libre et forcé dans une automobile ( 6,5 points)

Les parties 1 et 2 de cet exercice sont indépendantes

I- La suspension : les amortisseurs : (4 pts)

La suspension d'une automobile permet d'atténuer les oscillations verticales, inconfortables et dangereuses pour les passagers, se produisant lors du passage dans un trou ou sur un obstacle. Elle se compose au niveau de chaque roue d'un ressort et d'un amortisseur (généralement à huile).

Pour étudier ce système, l'automobile est modélisée par un solide de masse m, de centre d'inertie G reposant sur un ressort vertical de constante de raideur k. Le repérage des positions y du centre d'inertie de l'automobile se fait selon un axe vertical Oy orienté vers le haut ; l'origine O est choisie à la position d'équilibre G₀ du centre d'inertie du solide. Les amortisseurs engendrent globalement une force de frottement opposée au vecteur vitesse du solide et proportionnelle à sa valeur ; le coefficient de proportionnalité h s'appelle coefficient d'amortissement.

Quelle est l'expression correcte de la période propre T₀ de l'oscillateur ? La justifier par une analyse dimensionnelle :
T₀ = 2p(k/m)^½ ; T₀ = 2p(m/k)^½ ; T₀ = 2p(km)^½ .
On considère deux automobiles A₁ et A₂, assimilables chacune à un solide de même masse m reposant sur un ressort vertical de constante de raideur k = 6,0 10⁵ N/m. La figure ci-après présente les courbes y(t) des positions du centre d'inertie G du solide modélisant chaque automobile lors du passage sur une bosse.
- Les oscillations sont-elles libres ou forcées ?
- Donner les noms des régimes associés aux courbes 1 et 2.
- L'une des courbes présente une pseudo-période. Déterminer graphiquement sa valeur.
- En admettant que la valeur de la pseudo-période est très voisine de celle de la période propre, calculer la masse m commune de chaque automobile.
- Les allures différentes des courbes sont dues au coefficient d'amortissement h. Quelle courbe correspond à la plus grande valeur de h ? Justifier la réponse. Quelle automobile possède la meilleure suspension ?
De nombreux garages possèdent un dispositif permettant de tester la suspension d'une automobile : il impose à la roue testée une excitation verticale périodique dont on peut faire varier la fréquence f. Le dispositif permet d'enregistrer l'amplitude des oscillations de la caisse en fonction de la fréquence. Les courbes ci-dessous ont été obtenues lors de deux tests réalisés sur deux amortisseurs.
- À quel type d'oscillations sont soumis les amortisseurs lors de ces tests ? Justifier la réponse en citant un verbe dans la description du dispositif servant au test.
- L'amplitude des oscillations passe par un maximum pour une fréquence voisine d'une fréquence caractéristique de l'amortisseur. Laquelle ? Comment s'appelle alors ce phénomène ?
- Quel est l'amortisseur qui assure le plus de confort aux passagers ?

II- L'alimentation électrique: l'accumulateur au plomb :

La batterie de démarrage d'une automobile est constituée par l'association, en série, de plusieurs éléments d'accumulateurs au plomb. Un élément d'accumulateur comprend deux électrodes : l'une est en plomb métal Pb(s), l'autre est recouverte de dioxyde de plomb PbO2(s). Elles sont immergées dans une solution aqueuse d'acide sulfurique. Les deux couples oxydant / réducteur impliqués dans le fonctionnement de cet accumulateur sont : PbO₂(s) / Pb²⁺ (aq) et Pb²⁺ (aq) / Pb(s).

Lors de la décharge, l'accumulateur joue le rôle de générateur. L'oxydant PbO₂(s) et le réducteur Pb(s) réagissent spontanément l'un sur l'autre. En écrivant les équations aux électrodes, montrer que l'équation de la réaction s'écrit alors : PbO₂(s) + 4 H⁺ (aq) + Pb(s) = 2 Pb²⁺ (aq) + 2 H₂O( l)
- Identifier l'électrode négative de ce générateur en justifiant la réponse.
- Le fonctionnement du démarreur nécessite un courant d'intensité 200 A. Le conducteur actionne le démarreur pendant 1,0 s ; quelle est la masse de plomb Pb(s) consommée ? masse molaire atomique du plomb: 207,2 g.mol^-1; faraday (1 F) = 96500 C/mol ;
constante d'Avogadro N_A = 6,02 10²³ mol^-1 ; charge électrique élémentaire e = 1,6 10^-19 C.
Lors de la charge, l'accumulateur joue le rôle d'électrolyseur. Un générateur de charge, de force électromotrice supérieure à celle de l'accumulateur est branché en opposition avec celui-ci : la borne positive du générateur est reliée à l'électrode positive de l'accumulateur, la borne négative à l'électrode
négative. Le sens du courant est imposé par le générateur de charge.

- Écrire l'équation de la réaction chimique se produisant lors de la charge.
- La transformation est-elle spontanée ou forcée

corrigé

La suspension : les amortisseurs :

Expression correcte de la période propre T₀ de l'oscillateur : analyse dimensionnelle
T₀ = 2p(k/m)^½ ; T₀ = 2p(m/k)^½ ; T₀ = 2p(km)^½ .

2p est sans dimension ; masse : [m]= M ; [T₀]= T

D'une part, la valeur de la tension d'un ressort est proportionnelle à sa déformation x ; le coefficient de proportionalité est la raideur k : en conséquence k est égal à une force divisée par une longueur . k = F/x

D'autre part, la seconde loi de Newton indique qu'une force est égale à une masse multipliée par une accélération : F= ma

De plus une accélération est une longueur divisée par un temps élevé au carré .

en conséquence, la dimension de k est : [k]= [ma/x]= MLT^-2L^-1 = MT ^-2

dimension de k/m : [k/m]= MT^-2 M^-1 = T^-2 ; soit [k/m]^½=T^-1 ;

je conclus : T₀ = 2p(k/m)^½ ne convient pas.

dimension de m/k : [m/k]= M^-1 T ² M = T² ; soit [m/k]^½=T ;

je conclus : T₀ = 2p(m/k)^½ convient.

dimension de km : [m/k]= MT ^-2 M =M² T ^-2; soit [mk]^½=MT^-1 ;

je conclus : T₀ = 2p(mk)^½ ne convient pas.

Les oscillations sont libres : au delà de la bosse, le ressort n'est pas sollicité par un excitateur
A la courbe 1 correspond un régime apériodique ( on n'observe pas d'oscillation) ; à la courbe 2 on associe un régime pseudopériodique ( l'amplitude des oscillation diminue au cours du temps).
Détermination graphique de la pseudo-période :

T voisin de 0,325 s soit 0,32 s.
masse m commune de chaque automobile :

d'une part T voisin T₀ = 0,33 s et d'autre part :T₀ = 2p(m/k)^½ soit T²₀ = 4p² m/k : m = kT²₀ / (4p² )

m = 6,0 10⁵ * 0,325² / (4*3,14²) =1,6 10³kg.

Les allures différentes des courbes sont dues au coefficient d'amortissement h : l'amortissement est d'autant plus grand que le coefficient d'amortisement h est grand : donc la courbe 1 correspond à la plus grande valeur de h.

Une bonne suspension correspond à un coefficient d'amortissement grand : les passagers ne doivent pas être soumis à des oscillations à chaque passage de bosse.

"il impose à la roue testée une excitation verticale " : en conséquence, lors de ces tests les amortisseurs sont soumis à des oscillations forcées.

L'amplitude des oscillations passe par un maximum pour une fréquence voisine de la fréquence propre, caractéristique de l'amortisseur : ce phénomène porte le nom de résonance.
L'amortisseur qui assure le plus de confort aux passagers doit donner des oscillations dont l'amplitude est la plus faible possible à la résonance :

A₂ <A₁, donc l'amortisseur 2 assure le meilleur confort.

L'alimentation électrique: l'accumulateur au plomb :

Lors de la décharge, l'accumulateur joue le rôle de générateur.

couple :PbO₂(s) / Pb²⁺ (aq) ; l'oxydant PbO₂(s) se réduit : PbO₂(s) + 4 H⁺ (aq) + 2e^-= Pb²⁺ (aq)+ 2 H₂O( l) ( 1) .

couple : Pb²⁺ (aq) / Pb(s) ; le réducteur Pb(s) s'oxyde : Pb(s) = Pb²⁺ (aq)+ 2e^-( 2) .

Des électrons porteurs d'une charge négative sont libérés lors de cette oxydation, en conséquence cette électrode de plomb constitue la borne négative de ce générateur.

( 1) + ( 2) conduisent à l'équation de la réaction : PbO₂(s) + 4 H⁺ (aq) + Pb(s) = 2 Pb²⁺ (aq) + 2 H₂O( l)

masse de plomb Pb(s) consommée :

Le fonctionnement du démarreur nécessite un courant d'intensité 200 A. Le conducteur actionne le démarreur pendant 1,0 s ;

en conséquence la quantité d'électricité Q mise en jeu est : Q=It = 200*1 = 200 C.

Or Q= n(e^-) F : avec F, le faraday : 1F = N_A e et n(e^-) : quantité de matière (mol) d'électrons

d'où : n(e^-) = Q/(N_A e)

De plus : Pb(s) = Pb²⁺ (aq)+ 2e^-d'où : n(e^-) = 2 n(Pb) soit n(Pb) = ½ n(e^-)

enfin m(Pb) = n(Pb) M(Pb)

par suite la masse de plomb disparue s'exprime par : m(Pb) = ½QM(Pb) / (N_A e)

m(Pb) = 0,5*200 *207,2 / ( 6,02 10²³ *1,6 10^-19)=0,21 g.

Lors de la charge, l'accumulateur joue le rôle d'électrolyseur : le sens du courant est imposé par le générateur de charge.

en conséquence la transformation est forcée, l'accumulateur reçoit de l'énergie électrique de la part du générateur de charge.

L'équation de la réaction chimique se produisant lors de la charge est l'inverse de la réaction chimique de décharge.

2 Pb²⁺ (aq) + 2 H₂O( l) = PbO₂(s) + 4 H⁺ (aq) + Pb(s)

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