Aurélie 19/06/06

Bobine à inductance réglable

d'après bac S Antilles 2006




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Bobine à inductance réglable ( 5,5 points)

On veut vérifier la valeur de l'inductance indiquée par le curseur du dispositif de réglage d'une bobine à noyau de fer doux. Pour cela on va procéder en deux étapes :

Première étape : on détermine la valeur de la capacité d'un condensateur par l'étude expérimentale de sa décharge à travers un conducteur ohmique.

Seconde étape: on étudie la décharge de ce condensateur à travers la bobine pour en déduire la valeur de son inductance.

Détermination de la capacité d'un condensateur :

Le circuit d'étude du condensateur est schématisé ci-dessous :

 

L'interrupteur est en position 1. Le condensateur est chargé sous la tension E. À la date t = 0, on commute l'interrupteur en position 2. Le condensateur se décharge à travers un conducteur ohmique de résistance R = 5,6 kW.

  1. En utilisant la convention récepteur, flécher les tensions uC aux bornes du condensateur et uR aux bornes du conducteur ohmique. Noter par q et - q les charges des armatures du condensateur.
  2. Montrer que l'équation différentielle du circuit vérifiée par la tension uC peut s'écrire : uC + RC duC/dt= 0.
    La solution de l'équation est uC(t) = E exp(-t/t) avec la constante de temps t = RC.
  3. À t = t, la tension aux bornes du condensateur est-elle égale à 37 %, 63% ou 93% de sa valeur initiale ? Justifier la réponse.
  4. À l'aide du graphe donné ci-dessous, déterminer la valeur de la constante de temps t.
  5. En déduire la valeur de la capacité C du condensateur.
  6. Sur le graphe donné, tracer l'allure de la courbe de décharge uC = f(t) dans le cas où on utilise un conducteur ohmique de résistance R' plus faible. Justifier.

Mesure de l'inductance de la bobine :

La bobine étudiée a une inductance L que l'on peut régler de 0,1 H à 1,1 H et une résistance r = 12 W. On admet que la relation uL = ri + Ldi/dt où uL et i sont définis en convention récepteur, reste valable aux bornes de la bobine avec noyau de fer doux. Pour mesurer une valeur L de l'inductance de la bobine, on place l'index de réglage sur 0,5 H. On réalise le circuit suivant :( C = 2,2 µF ).

L'interrupteur est en position 1. Le condensateur est chargé sous la tension E. À la date t = 0, on commute l'interrupteur en position 2.

  1. Pour visualiser à l'ordinateur la tension uC aux bornes du condensateur, représenter sur le schéma du circuit les connexions de la voie l et de la masse de la carte d'acquisition.
  2. Pourquoi qualifie-t-on le régime de la tension uC de pseudo-périodique ?
  3. Dans notre expérience, on peut considérer que la pseudo-période T est égale à la période propre donnée par la relation: T0 = 2p(LC)½. En vous aidant de la courbe uC = f(t), déterminer la valeur de l'inductance L du circuit en expliquant votre démarche.
  4. Comparer la valeur de l'inductance obtenue précédemment avec la valeur pointée par l'index de la bobine en calculant l'écart relatif |Lexp-Lbob|/ Lbob . L'indication de l'index est-elle correcte ? Justifier la réponse.

Bilan énergétique :

Maintenant on s'intéresse à l'évolution temporelle des énergies emmagasinées par le condensateur et la bobine, WC et WL.

 

  1. Écrire les expressions des énergies WC et WL en fonction des données uC, i intensité du courant dans le circuit, C et L.
  2. En vous aidant des conditions initiales, identifier les courbes WC et WL . Justifier votre réponse.
  3. En comparant les évolutions temporelles des énergies WC et WL, que se passe-t-il entre le condensateur et la bobine ?
  4. L'énergie totale W = WC + WL emmagasinée par le circuit décroît au cours du temps. Quelle est l'origine de cette perte d'énergie ?
  5. On aurait pu faire cette étude en associant en série avec la bobine à inductance réglable et le condensateur, un dipôle qui entretient les oscillations électriques. Quel est le rôle de ce dipôle ?



corrigé


équation différentielle du circuit vérifiée par la tension uC :

additivité des tensions : uC +uR=0 ; uC +Ri =0 ;

d'une part i= dq/dt et d'autre part : q=CuC d'où i = CduC/dt

par suite : uC + RC duC/dt= 0.

La solution de l'équation différentielle est uC= E exp(-t/t).

A t= 0 , la tension aux bornes du condensateur est-elle égale à uC(0)= E exp(0) = E.

À t = t, la tension aux bornes du condensateur est-elle égale à uC(t)= E exp(-t/t) = E exp(-1) = 0,37 E soit 37 % de sa valeur initiale.

valeur de la constante de temps t :

valeur de la capacité C du condensateur :

d'une part t = 1,2 10-2 s et R = 5,6 kW = 5,6 103 W et d'autre part t =RC

soit C= t /R = 1,2 10-2 /5,6 103 = 2,1 10-6 F.

Allure de la courbe de décharge uC = f(t) dans le cas où on utilise un conducteur ohmique de résistance R' plus :

d'une part t '= R'C et d'autre part R' est inférieure à R ; en conséquence t '<t


visualiser à l'ordinateur la tension uC aux bornes du condensateur :

Le régime de la tension uC est pseudo-périodique car l'amplitude des oscillations diminue au cours du temps.

valeur de l'inductance L du circuit :

D'une part T=T0= 6,5 10-3 s et d'autre part T0 = 2p(LC)½ soit T²0=4p² LC

d'où L= T²0/(4p² C) avec C= 2,2 10-6 F ; L= (6,5 10-3)² / (4*3,14² *2,2 10-6 ) =0,487 soit 0,49 H.

L'écart relatif vaut alors : (0,50-0,487) / 0,50 = 0,026 ( 2,6 %). L'indication de l'index est satisfaisante à 3% près.


expressions des énergies WC et WL :

L'énergie stockée par le condensateur s'exprime par : WC= ½CuC².

L'énergie emmagasinée par la bobine s'exprime par : WL= ½Li².

Les conditions initiales sont : condensateur chargé , uC= E ; intensité nulle.

La courbe correspondant à WC ( courbe tracée en pointillés) présente donc une valeur maximale à l'instant initial, et la courbe correspondant à WL ( courbe en trait plein) passe par zéro à l'instant initial.

En comparant les évolutions temporelles des énergies WC et WL, on constate que quand WC décroît alors WL croît et vis versa : il y a donc un échange permanent d'énergie entre condensateur et bobine. Au cours de cet échange, une partie de l'énergie est perdue, dissipée sous forme d'effet joule dans les parties résistives du circuit. L'énergie totale W = WC + WL emmagasinée par le circuit décroît donc au cours du temps.

En associant en série avec la bobine à inductance réglable et le condensateur, un dipôle qui entretient les oscillations électriques, on compense à chaque instant l'énergie perdue par effet joule.





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