|
|
||||
|
||||
|
Isotherme : Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; l'une des parois du récipient contenant ce gaz est un piston mobile ; elle est en contact thermique avec l'extérieur dont la température est constante, égale à T0= Ti . En déplaçant lentement le piston, la pression du gaz atteint la valeur P0.
Monotherme : Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; ce gaz est placé dans un récipient calorifugé. A la date t, on supprime le calorifugeage. Le système en contact thermique avec l'extérieur, dont la température reste constante T0 atteint un état d'équilibre thermique. Mêmes questions que ci-dessus. corrigé Isotherme : La transformation est réversible, étant suffisamment lente pour être à chaque instant en équilibre thermique avec le milieu extérieur ; la transformation est isotherme. Tf=T0= Ti. équation des gaz parfaits : Pf Vf= RT soit Vf= RT/Pf = RT0/P0. de plus PiVi= RT0 d'où : Vf=PiVi/P0 travail reçu par le gaz : la transformation est réversible PV= RT0 = PiVi dW= -PdV = -PiVi/ V dV = -PiVi d ln(V) intégrer entre Vi et Vf : W= -PiVi ln(Vf/Vi) avec Vf/Vi = Pi/P0 W= -PiVi ln (Pi/P0) quantité de chaleur reçue : l'énergie interne du gaz parfait ne dépendant que de la température DU=0 ( isotherme) premier principe : Q+W=DU=0 soit Q= -W= PiVi ln (Pi/P0) variation d'entropie élémentaire : dS= dSéchangée + dScréée dScréée.=0 car transformation réversible D
Séchangée =Q/T0
= PiVi /T0
ln (Pi/P0)=
R ln
(Pi/P0)
Des échanges thermiques entre le gaz et le milieu extérieur aboutissent à l'équilibre thermique : Tf=T0. L'opération n'est pas réversible, ni quasi-statique si les échanges sont rapides. Le volume reste constant : Vi= RTi/Pi = RTf/Pf=RT0/Pf soit Pf = T0/Ti Pi Les parois sont fixes, le volume reste constant : aucune force ne travaille et W = 0. variation d'énergie interne du gaz parfait : D U= Cv, m (T0-Ti) Cv, m capacité thermique molaire à volume constant. D U= Q+W ( premier principe) ; W=0 soit Q= D U= Cv, m (T0-Ti) L'entropie est une fonction d'état : en conséquence peut importe le chemin suivi entre l'état initial et final ; le calcul de la variation d'entropie est fait pour une transformation réversibble. pour une transformation élémentaire : dS= dQ/T = (dU-dW)/T = Cv, m /T dT+ PdV/T avec P/T= R/V dS=Cv, m d ln(T) + R d ln(V) intégrer entre Ti et Tf=T0 : D S = Cv, m ln(T0/Ti) + R ln(Vf/Vi) = Cv, m ln(T0/Ti) car Vf=Vi D S= D Séchangée + D Scréée D Séchangée = Q/T0 = Cv, m (1-Ti/T0 ) D Scréée =D S-D Séchangée = Cv, m[ln(T0/Ti)- (1-Ti/T0 )] D Scréée est positive, la transformation étant irréversible.
|
||||
|
Isobare : Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; ce gaz est placé dans un cylindre calorifugé, muni d'un piston. La pression extérieure est P0=Pi= constante. On chauffe lentement le gaz par une résistance électrique jusqu'à la température notée Tf.
Monobare : Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; ce gaz est placé dans un cylindre calorifugé, muni d'un piston, bloqué par une cale. La pression extérieure est P0 différente de Pi. On retire à une date t=0 la cale bloquant le piston. Mêmes questions que ci-dessus. corrigé Isobare : La transformation peut être considérée comme réversible, l'équilibre mécaniques étant réalisé à chaque instant entre le système et le milieu extérieur : la transformation est isobare. Equation d'état du gaz parfait : Vf= RTf/Pf=RTf/P0. La transformation est réversible : dW= - PdV = -P0dV et W= -P0(Vf-Vi )= P0(Vi-Vf) =R(Ti-Tf) Energie fournie par effet Joule au gaz pendant la durée Dt de la transformation : Q= RI²Dt variation d'énergie interne du gaz : DU= CV, m (Tf-Ti) D U= Q+W ( premier principe) CV, m (Tf-Ti) = R(Ti-Tf) + RI²Dt Dt = [(CV, m +R)(Tf-Ti)]/ (RI²) en utilisant la fonction enthalpie, on trouve, à pression constante : D H= CP, m (Tf-Ti)= RI²Dt et Dt = [CP, m(Tf-Ti)]/ (RI²) avec CV, m +R = CP, m variation d'entropie élémentaire : dS= dSéchangée + dScréée dScréée.=0 car transformation réversible dSéchangée =dQ/Tf = dH/Tf= CP, m dT / T=CP, m dln(T) intégrer
entre Ti et Tf : DS =CP,
m ln(Tf/Ti)
La transformation est adiabatique( cylindre calorifugé). Le piston se déplace rapidement quand on enlève la cale, la transformation n'est pas réversible. La pression finale est égale à la pression du milieu extérieur : Pf=P0. travail fourni par le milieu extérieur au gaz , transformation monobare : W= -P0 ( Vf-Vi)= -P0 Vf(1-Vi/Vf) Or P0Vf/Tf = PiVi/Ti = R d'où : Vi/Vf = P0Ti/ (PiTf ) W = -P0 Vf(1- P0Ti/ (PiTf )) La transformation est adiabatique : Q=0 variation d'énergie interne du gaz : DU= CV, m (Tf-Ti) D U= Q+W ( premier principe) CV, m (Tf-Ti) =-P0 Vf(1- P0Ti/ (PiTf )) Vf =CV, m (Tf-Ti) /(1- P0Ti/ (PiTf )) variation d'enthalpie au cours d'une transformation élémentaire : dH= dU+d(PV) dH=dW+0 + PdV+VdP avec PdV+VdP = RdT( différencier PV= RT) dH=dW+RdT puis intégrer : H= W + R(Tf-Ti) = -P0 ( Vf-Vi)+ R(Tf-Ti) L'entropie est une fonction d'état : en conséquence le chemin emprunté entre l'état initial et final importe peu ; le calcul de la variation d'entropie est fait pour une transformation réversibble. pour une transformation élémentaire : dS= dQ/T = (dU-dW)/T = Cv, m /T dT+ PdV/T PV=RT soit en différenciant : PdV+ VdP= RdT ou PdV= RdT-VdP dS= Cv, m /T dT+ R/TdT-V/T dP= (Cv, m +R)/T dT - RdP / P = CP, m/T dT - Rd ln(P) = CP, md ln(T) - Rd ln(P) DS=CP, m ln(Tf/Ti) - R ln(P0/Pi)
|
||||
|
Adiabatique réversible : Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; ce gaz est placé dans un cylindre calorifugé, muni d'un piston. La pression extérieure est P0= constante. Ce gaz subit une transformation adiabatique. Le piston est lentement déplacé jusqu' à ce que la pression du gaz devienne P0.
Adiabatique non réversible : Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; ce gaz est placé dans un cylindre calorifugé, muni d'un piston, bloqué par une cale. La pression extérieure est P0 différente de Pi. On retire à une date t=0 la cale bloquant le piston. Mêmes questions que ci-dessus.
corrigé Adiabatique réversible : loi de Laplace : PVg=Cte ; PiVig=PfVfg soit Vf = Vi (Pi/Pf)1/g ; Vf = Vi (Pi/P0)1/g g :rapport des chaleurs massiques à pression et à volume constant, supposé indépendant de la température équation du gaz parfait : Pf Vf =P0Vf = RTf soit Tf =P0Vf / R= Vi P0 (Pi/P0)1/g / R = ViPi1/g P01-1/g / R or ViPi / R = Ti ; Tf =Ti (Pi/ P0)1/g-1 travail reçu par un gaz parfait au cours d'une transformation adiabatique réversible : travail élémentaire : dW= -PdV = -Cte /Vg dV=-Cte V-g dV= -Cte/(-g+1) d V-g+1 intégrer entre Vi et Vf : W=-Cte /(-g+1) (Vf-g+1- Vi-g+1 ) avec Cte =PiVig=P0Vfg W=-( P0Vfg Vf-g+1- PiVig Vi-g+1 ) /(-g+1)= (-P0Vf + PiVi) /(-g+1) La quantité de chaleur reçue au cours d'une transformation adiabatique est nulle. La variation d'entropie est nulle : transformation adiabatique (pas d'échange d'entropie) et transformation réversible (pas d'entropie créée )
Le piston se déplace rapidement quand on libère la cale, la transformation n'est pas réversible. La loi de Laplace ne s'applique pas. La transformation est monobare : le travail mécanique des forces pressantes extérieures à pression constante vaut W= -P0(Vf-Vi)= -P0Vf(1-Vi/Vf) équation du gaz parfait : PiVi/Ti= P0Vf/Tf soit : Vi/Vf = P0Ti/(PiTf ) W= -P0Vf(1- P0Ti/(PiTf ))= -RTf(1- P0Ti/(PiTf )) La transformation est adiabatique : Q=0 Conservation de l'énergie ( premier principe ) DU= W+Q= -P0(Vf-Vi) et DU= Cv,m(Tf-Ti) = R/(g-1)(Tf-Ti) R/(g-1)(Tf-Ti) = -RTf(1- P0Ti/(PiTf )) 1/(g-1)(1-Ti/Tf) = P0Ti/(PiTf )-1 1/(g-1) +1 =Ti/Tf( 1+ P0/Pi) g /(g-1)=Ti/Tf( 1/(g-1)+ P0/Pi) Tf = Ti( 1+ P0/Pi(g-1))/g volume final :Vf = RTf/P0=RTi/P0( 1+ P0/Pi(g-1))/g variation d'entropie : imaginer une transformation réversible passant de l'état initial à l'état final transformation élémentaire : dS =dQ/T= (dU-dW)/T = Cv, m /T dT+ PdV/T PV=RT soit en différenciant :PdV+ VdP= RdT ou PdV= RdT-VdP PV=RT soit en différenciant :PdV+ VdP= RdT ou PdV= RdT-VdP dS= Cv, m /T dT R/TdT-V/T dP= (Cv, m -R)/T dT - RdP / P = CP, m/T dT - Rd ln(P) = CP, md ln(T) - Rd ln(P) DS=CP, m ln(Tf/Ti) - R ln(P0/Pi) |
||||
|
|