Un solide S considéré comme ponctuel de masse m= 0,690 kg se déplace sur un plan incliné faisant un angle a=20° avec le plan horizontal . Ce solide est relié à un axe placé sur le bord supérieur du plan incliné et normal à celui-ci par un fil inextensible de masse négligeable de longueur L= 0,5 m. g=9,8 m/s².

Le solide est mis en mouvement depuis le point I avec une vitesse initiale v₁. Au cours du mouvement le fil reste constamment tendu. Le mouvement du solide est étudié dans un repère lié à la terre et considéré comme galiléen.

1. Quel est la nature de la trajectoire du solide ? le mouvement est-il uniforme ?
2. On suppose dans cette question que le contact entre le solide et le plan est sans frottement. Lorsque le solide passe par sa position d'équilibre O la vitesse v₀ de son centre d'inertie a pour vakleur v₀= 2 m/s. Faire le bilan des forces s'exerçant sur le solide et faire un schéma.
   - Donner les caractéristiques du vecteur accélération en O.
   - Déterminer la tension du fil en O.
   - Le solide remonte jusqu'en F, bord supérieur du plan incliné. Quelle est en F la vitesse du mobile ?
3. En raison des frottement la vitesse en F a pour valeur v_F= 0,5 m/s. Les forces de frottement sont assimilables à une force f opposée au vecteur vitesse. La valeur de f est supposée constante, la calculer.

1. Principe du réseau : un réseau est un esemble de fentes équidistantes permettant d'analyser une lumière complexe et de déterminer la ou les longueurs d'onde émises par la source de lumière. La distance entre deux fentes consécutives est appelé pas du réseau. Il existe un phénomène d'interférences entre la lumière provenant des différentes fentes.
   On dispose dans tout l'exercice, d'un faisceau parallèle de lumière perpendiculairement au plan d'un réseau de pas 6,1 mm, d'un écran situé parallélement au réseau, à une distance D=1,4 m. La tache formée par le faisceau sur le réseau sera considérée comme ponctuelle ; soit O ce point et OI la direction du faisceau incident. On admet que l'on observe sur l'écran des zones d'interférences constructives pour des points M tels que sin q= pl/a où q représente l'angle entre OI et OM, l la longueur d'onde de la lumière, a le pas du réseau et p un nombre entier appelé ordre d'interférences ( si p=1, on parle d'ordre 1). On pourra confondre dans les calculs sin q et tan q.

   - Qu'appelle-t-on interférences constructives ?
   - Où se trouve sur l'écran la zone d'ordre p=0 ?

2. Citer une source émettant une lumière monochromatique.
   - Dans les conditions expérimentales indiquées ci-dessus on constate que, sur l'écran, la distance entre la zone d'ordre p=0 et la zone d'ordre p=1 vaut 14,5 cm. En déduire la longueur d'onde de la lumière utilisée.
3. On remplace la lumière précédente par une lumière complexe ( lampe à vapeur de mercure). Le reste du dispositif est inchangé. Une telle lampe émet les radiations suivantes : 254 nm ; 436 nm ; 546 nm ; 577 nm ; 579 nm.
   - L'une de ces raies n'est pas visuellement détectable. Pourquoi ?
   - Les raies observées sur l'écran au premier ordre ont les couleurs suivantes : verte, bleue, jaune. Associer à chaque couleur sa ou ses longueurs d'ondes possibles.
   - Deux raies sont vues séparément l'une de l'autre si leur distance, sur l'écran, est supérieure à 1 mm. Ce spectroscope permet-il, au premier ordre, de voir distinctement les raies de 577 et 579 nm ?

Dans tout l'exercice on néglige le poids de l'électron devant les autres forces qui agissent sur lui.

1. Des électrons de masse m et de charge q sont émis sans vitesse initiale par la cathode (C). Ils subissent sur la longueur d, l'action d'un chmp électrique E. Quelle est la nature du mouvement de l'électron entre la cathode (C) et l'anode (A) ?
   - Que vaut la vitesse v₀ d'un électron au point O₁ ? q=-e=-1,6 10^-19 C ; m= 9,1 10^-31 kg ; d= 10 cm ; E= 5 10⁴ V m^-1.
2. Arrivés en O1 les électrons subissent sur la distance l l'action d'un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au plan de la figure. Quel doit être le sens de B pour que les électrons décrivent l'arc de cercle O₁N ? Etablir l'expression du rayon R de cet arc de cercle.
   - Calculer R pour B= 2 10^-3 T.
3. Quelle est la nature du mouvement de l'électron dans le domaine III où n'existe aucun champ ?
   - Dans le domaine II on peut confondre l'arc O₁N avec la longueur O₁O₂= L. La déviation angulaire a est faible. Etablir en fonction de m, e, B, D, L et v₀ la déflexion magnétique O₃I=y subie par un électron à la traversée des domaines II et III.
   - Sachant que y= 3,35 cm, calculer la valeur de v₀. D= 40 cm ; L= 1 cm. Comparer ce résultat à la valeur trouvée en 2.

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corrigé

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Dans la région I les électrons ne sont soumis qu'à une force électrique colinéaire au champ électrique E, mais de sens contraire ( car q négative ). La seconde loi de Newton s'écrit sur l'axe horizontale Cz : ma = eE soit a = eE/m = constante. Sous l'action de cette force il sont animés d'un mouvement rectiligne uniformément accélérés entre C et A.

variation d'énergie cinétique entre C et A : DEc= ½mv₀²-0 =½mv₀²

travail moteur de la force électrique entre C et A : eU_AC = eEd.

th. de l'énergie cinétique :½mv₀² =eEd. soit v₀²=2 e Ed / m.

v₀²= 2*1,6 10^-19 * 5 10⁴ *0,1/ 9,1 10^-31 =1,76 10¹⁵ ; v₀ = 4,19 10⁷ m/s.

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Dans la région II l'électron n'est soumis qu'à la force magnétique F , perpendiculaire à la vitesse, donc dirigée vers le centre du cercle. L'accélération est en conséquence centripète a_N= v₀²/R

La seconde loi de Newton s'écrit, suivant l'axe n de la base de Frenet : ev₀B= ma_N soit a_N =ev₀B/ m

ev₀B/ m =v₀²/R ;eB/ m = v₀/R ; R=mv₀/(eB) ;

R=9,1 10^-31 * 4,19 10⁷ / (1,6 10^-19 * 2 10^-3)= 0,12 m.

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longueur de l'arc O₁N : Ra voisin de L ; donc a = L/R avec R= mv₀/(eB) ; a = LeB /(mv₀)

de plus tan a = O₃I/D= y/D voisin de a car l'angle est petit.

LeB /(mv₀) = y/D ; y =LeBD /(mv₀).

v₀ = LeBD/(my) =10^-2*1,6 10^-19 *2 10^-3 * 0,4 / (9,1 10^-31 * 0,0335)= 4,2 10⁷ m/s.

en accord avec la valeur trouvée ci-dessus.

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Solénoïde

Un solénoïde de 1000 spires par mètre dont la longueur peut être considérée comme infinie est alimenté sous une tension périodique telle que l'intensité i du courant qui le traverse varie en fonction du temps comme indiqué ci-dessous.

1. Donner les caractéristique du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde. Faire un schéma en indiquant le sens du courant I.
2. Donner l'expression en fonction du temps de l'intensité du courant qui parcourt le solénoïde pendant la première demi-période, puis dans la seconde.
3. Déterminer le sens et la valeur de la force électromotrice auto-induite e qui apparaît aux bornes du solénoïde durant la première demi-période, puis durant la seconde si L= 0,1H.
4. Le solénoïde est maintenant alimenté par un générateur délivrant une tension u= 20 cos (100pt) avec u en volt, t en seconde. La résistance de la bobine est R= 50 W. Calculer l'intensité efficace qui traverse la bobine.
   

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corrigé

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A l'intérieur du solénoïde le champ magnétique est uniforme. Sa valeur est B= m ₀ nI.

t compris entre [0 ; 10 ms] : i est une fonction linéaire de coefficient directeur 0,2 / 0,01 = 20A s^-1; i(t) = 20 t.

t compris entre [10 ; 20 ms] : i est une fonction affine décroissante de coefficient directeur -0,2 / 0,01 = -20A s^-1;

i(t) = -20 t + b ; i(t=0,01)= 0,2 = -20*0,01 + b ; d'où b =0,4 A . i(t) = -20 t +0,4.

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Le sens de la fem auto-induite e est tel que le courant induit s'oppose à la variation du champ magnétique inducteur.

première demi-période : le champ inducteur augmente, en conséquence le champ induit est de sens contraire au champ inducteur ; le courant induit est de sens opposé à i(t).

e = -u_AB = -(0,1*20+50 i(t) )= - 2- 50 i(t) = -2 -50*20t = -2 - 1000 t avec t compris entre 0 et 0,01 s.

seconde demi-période : le champ inducteur diminue, en conséquence le champ induit a le même sens que le champ inducteur ; le courant induit a le sens de i(t).

e = - u_AB = -(0,1*(-20)+50 i(t) )= 2- 50 i(t) = 2 -50*(-20t +0,4)= -18 + 1000 t avec t compris entre 0,01 et 0,02 s.

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u = 20 cos (100pt) avec u_eff = 20 / 1,414 = 14,14 V ; w = 100 p = 314 rad/s.

impédance de la bobine: Z= racine carrée ( R²+(Lw)²) = ( 50²+(0,1*314)²)^½= 59 W.

intensité efficace I_eff =u_eff /Z = 14,14 / 59 = 0,24 A.

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