Soit u= U 2^½ cos (wt) la tension instantanée à la date t aux bornes d'un dipôle électrique ; U est la tension efficace, w est la pulsation de la tension. L'intensité du courant qui le traverse est i= I 2^½ cos(wt+j) ; I est l'intensité efficace, j le déphasage.

1. Exprimer la puissance instantanée p consommée par le dipôle.
2. Exprimer la puissance moyenne P en fonction des paramètres U, I et j.
3. Application au relèvement d’un facteur de puissance : Dans cette partie les grandeurs complexes sont soulignées et on utilise le nombre complexe j telle que j²=-1.

   Un moteur de puissance totale P=10 kW est alimenté sous une tension sinusoïdale de valeur efficace U=220 V et de fréquence 50 Hz. Le facteur de puissance est : cos j = 0,7.
   - Calculer l’intensité efficace I d’alimentation du moteur.
   - L’admittance complexe Y du moteur s’écrit : Y =| Y | e^{-j j}. Exprimer simplement l’admittance réelle | Y | en fonction de I et de U.
   - On place un condensateur de capacité C, telle que l’association {condensateur+moteur} soit purement résistive. Comment faut-il le placer pour que le moteur continue à fonctionner normalement ?
   - Exprimer l’admittance complexe Y_t de l’association en fonction de C,w et Y . En déduire la valeur de C.
   - Quelle est la propriété de la puissance moyenne consommée par le condensateur ? En déduire simplement la valeur de l’intensité efficace I_t d’alimentation de l’association.

On considère, un cylindre homogène en cuivre, de longueur b et de rayon a, parcouru par un courant électrique uniforme et constant d'intensité I. Caractéristiques du cylindre dans les conditions de l'étude :

• résistivité électrique r=2,0.10^-8 W m ;

• conductibilité thermique : l = 400 W K^-1m^-1.

• a=1,0 mm.  

On suppose que l'énergie thermique produite dans le conducteur est dissipée radialement par conduction et on néglige les effets de bord. On rappelle que la résistance R d’un conducteur cylindrique homogène résistivité électrique r, de longueur b et de section S, est donnée par la relation : R=rb/S

1. Exprimer la puissance p dissipée par unité de volume en fonction des paramètres r, a et I.
2. Exprimer le flux thermique de conduction F (r) qui traverse une surface cylindrique de longueur b et de rayon r (r<a)
3. En faisant un bilan thermique sur l'élément de volume compris entre les surfaces cylindriques de rayons r et r+dr, montrer que la température T satisfait l'équation différentielle suivante : d(rdT/dr)/dr= -p/l r.
4. Intégrer cette équation. En déduire l'expression de l'écart de température DT entre l'axe et la surface.
5. Calculer DT pour I=20 A. Commenter.

Dans cet exercice les grandeurs complexes sont soulignées et on utilise le nombre complexe j telle que j²=-1.

Soit un milieu diélectrique caractérisé par sa permittivité relative complexe : e_r = e ₁-je₂. Le champ magnétique B et le champ électrique E à l’intérieur du milieu sont liés par l’équation différentielle de Maxwell Ampère :; c est la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide.

1. Écrire les trois autres équations de Maxwell sachant que ce sont celles du vide sans charges ni courants.
2. En déduire l’équation de propagation du champ électrique dans le milieu. On rappelle la relation
3. L'espace étant rapporté au système d'axes fixe Oxyz , on considère une onde plane qui se propage dans le milieu, décrite par le champ électrique : ; w est la pulsation de l’onde. Etablir la relation de dispersion: k²= e_rw²/c²
4. On pose : k=w/c n. avec n = n₁-jn₂ . Calculer n₁ et n₂ sachant que e₁=e₂=4,0.
5. Etablir l’expression réelle du champ électrique dans le milieu en utilisant les paramètres n₁ et n₂.
6. En déduire que l’onde pénètre dans le milieu sur une profondeur caractéristique d que l’on exprimera en fonction des paramètres n₂, w et c.
7. La fréquence des ondes émises par un four à micro-ondes est f =2,45 GHz . Calculer la profondeur d de pénétration d’une onde dans un produit placé à l’intérieur de l’appareil et pour lequel e₁=e₂=4,0. Donnée : c=3 10⁸ m/s.

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corrigé

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relation de dispersion: k²= e_rw²/c²

dériver deux fois E par rapport au temps et par rapport à x.

k=w/c( n₁-jn₂) ; k²= w²/c² (n₁²-n₂² - 2jn₁n₂)

d'autre part k²= e_rw²/c² =( e ₁-je₂)w²/c²

par identification des parties réelle et imaginaire, il vient : n₁²-n₂²= e ₁ ; 2n₁n₂= e₂.

n₁²-n₂²= 4 ; n₁n₂= 2 soit n₂= 2/n₁ ; n₁²-4/ n₁²= 4

n₁⁴- 4 n₁²- 4 = 0 ; on pose X= n₁² ; X²-4X-4=0 ; X= 4,83 ; n₁ = 2,2 et n₂=0,91.

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expression réelle du champ électrique :

; k=w/c( n₁-jn₂) ;

j(wt-w/c( n₁-jn₂)z) = j(wt -n₁z/c)-n₂wz/c

suivant l'axe des x : E= E₀ exp[ j(wt -n₁z/c)-n₂wz/c]

E= E₀ exp[-c/(n₂w z)] exp[ j(wt -n₁z/c)]= E₀ exp[ n₂w z/c ] exp[ j(wt -n₁z/c)]

l’onde pénètre dans le milieu sur une profondeur caractéristique d = c/(n₂w )

c=3 10⁸ m/s ; f =2,45 GHz =2,45 10⁹ Hz ; w = 2pf = 1,54 10¹⁰ rad/s.

d = 3 10⁸ / (0,91*1,54 10¹⁰ ) = 2,1 10^-2 m = 2,1 cm.

effet thermoélectronique:

On considère, dans une enceinte vide, deux électrodes métalliques planes, parallèles, d’aire S placées à une faible distance h l’une de l’autre • La cathode (placé en x=0) émet des électrons par chauffage (effet thermoélectronique) avec une vitesse négligeable. Elle est maintenue à un potentiel nul. • Les électrons émis (masse m, charge –e) sont accélérés et atteignent l’anode (placée en x=h) où ils sont absorbés. L’anode est maintenue au potentiel positif Uh.

Un courant d’intensité I constante traverse le circuit. Il circule de l’anode vers la cathode à l’intérieur de l’enceinte.

1. Soient v(x) la vitesse d’un électron et U(x) la tension à l’abscisse x. Exprimer l’énergie totale W(x) d’un électron à l’abscisse x.
   - Quelle est l’énergie totale W(0) d’un électron à l’abscisse x=0 ?
   - Déduire de la conservation de l’énergie totale la relation entre la norme v(x) de la vitesse et U(x).
2. La présence d’électrons crée dans l’espace vide une charge volumique d’espace, notée r. Exprimer la densité de courant j ( vecteur) en fonction de I, S et du vecteur unitaire u_x.
   - Exprimer la relation entre la densité de courant j , la charge volumique d’espace r et la vitesse v_x.
   - En déduire l’expression de la charge volumique d’espace r en fonction de I, de U_x et des paramètres du système.
3. Le potentiel U_x satisfait l’équation différentielle suivante :. e₀ est la permittivité du vide. On cherche une solution de la forme : U_x = C xⁿ. Calculer la valeur de n et exprimer la constante C en fonction des paramètres du système.
4. Établir l’équation de la caractéristique courant-tension donnant l’intensité I en fonction de la tension U_h. Calculer l’intensité I pour U_h = 500 V.

Données : e= 1,6 10^-19 C ; m=0,91 10^-30 kg ; 36pe₀=10^-9 SI ; h= 2,0 cm ; S= 1,0 cm².

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corrigé

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énergie totale W(x) d’un électron à l’abscisse x : W(x) = ½mv² - eU(x)

énergie totale W(0) d’un électron à l’abscisse x=0 : W(0) = 0
conservation de l’énergie : ½mv² = eU(x) ou v²= 2e/m U(x).

densité de courant j ( vecteur) en fonction de I, S et du vecteur unitaire u_x : j = I / S u_x

relation entre la densité de courant j , la charge volumique d’espace r et la vitesse v_x :

Quantité d'électricité traversant la section S en dt seconde : Idt ; ces charges se trouvait dans le volume Sdx = Svdt

d'où Idt = r S v dt ; I = r S v ; j = r v u_x

Expression de la charge volumique d’espace r en fonction de I, de U_x et des paramètres du système :

j = r v u_x = I / S u_x ; v²= 2e/m U(x).

r [2e/m U(x)]^½=I/S ; r= I/S [2e/m U(x)]^-½.

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et U_x = C xⁿ ; dU/dt = Cn x^n-1 ; d²U/dt²= Cn(n-1) x^n-2 .

repport dans l'équation différentielle : Cn(n-1) x^n-2 +r/e₀=0 donne n=2 et C= -r/(2e₀).

U_x = -r/(2e₀) x²

caractéristique courant-tension donnant l’intensité I en fonction de la tension U_h.

U_x = -r/(2e₀) x² ; r= I/S [2e/m U(x)]^-½ ; I = rS[2e/m U(x)]^½

avec r = - U_x2e₀ x^-2 ; I = - 2e₀ x^-2 S[2e/m ]^½U_x^1,5.

le signe négatif traduit le fait que le courant I va en sens contraire de l'axe des x.

Calculer l’intensité I pour U_h = 500 V.

[2e/m ]^½ = [3,2 10^-19/ 0,91 10^-30]^½ =5,9 10⁵ ; e₀=10^-9 /(36p)= 8,84 10^-12 ; 500^1.5=1,12 10⁴

I =2*8,84 10^-12 *10^-4* 5,9 10⁵ *1,12 10⁴ /(4 10^-4)= 2,9 10^-2 A = 29 mA.

Données : produit de solubilité à 25°C: Ks[AgCl(s)] = 10^-10. Ks[Ag₂CrO₄(s)] = 10^-12.

Le nitrate d’argent AgNO₃(s) se dissocie totalement dans l’eau.

1. On considère une solution aqueuse qui contient des ions argent Ag⁺ et des ions chlorure Cl^-.On note leurs concentrations respectives [Ag⁺] et [Cl^-]. Les potentiels chimiques des corps purs seront notés µ⁰ et la température T. La pression est P₀ = 1 bar. Montrer que si [Ag⁺]×[Cl^-]>Ks, le chlorure d’argent AgCl(s) précipite et que si [Ag⁺]×[Cl^-]<Ks, ce précipité n’apparaît pas. On suppose les solutions suffisamment diluées pour assimiler les activités aux concentrations.
   Indication: on pourra calculer l’enthalpie libre de réaction D_rG de la réaction de précipitation de AgCl(s) en fonction de Ks, [Ag⁺] et [Cl ^-].
2. On introduit n₀ moles de chlorure d’argent AgCl(s) dans un litre d’eau. Déterminer les concentrations des ions Ag⁺ et Cl^- si a) n₀ = 10^-6 mol ; b) n₀ = 10^-3 mol.
3. On considère la solution obtenue à la question 2.b. Calculer les concentrations des ions Ag⁺ et Cl ^- si on ajoute à cette solution a) 10^-3 mol de AgCl(s). b) 10^-3 mol de NaCl(s). Dans les deux cas, on comparera les résultats obtenus à ceux de la question 2.b. On justifiera qualitativement (sans calcul) les différences observées. Peut-on les prévoir ?
4. L’enthalpie standard de réaction D_r H⁰ est positive. Que se passe-t-il lorsqu’on chauffe la solution décrite dans la question 2.b?
5. Décrire la pile à construire pour mesurer [Ag⁺] de la solution décrite à la question 2.b. On donnera l’expression de sa force électromotrice.
6. On considère une solution aqueuse de volume V= 55 mL, qui contient 2,5.10^-4 mol d’ion dichromate CrO₄^2- et 5.10^-4 mol d’ion chlorure Cl ^-. On y ajoute un volume v d’une solution (A) de nitrate d’argent AgNO₃ de concentration c₀ = 0,05 mol/L.
   -a ) Montrer que le chlorure d’argent AgCl(s) précipite avant le chromate d’argent Ag₂CrO₄(s).
   - b) Calculer le volume v₀ de la solution (A) qu’il faut introduire pour observer le début de précipitation de AgCl(s).
   - c) Montrer que tant que AgCl(s) précipite, Ag₂CrO₄ (s) ne précipite pas. Vous pourrez établir ce résultat pour un volume v quelconque de la solution (A) ajouté avant l’équivalence.
   - d) Soit v_E le volume de la solution (A) versé pour que les ions argent Ag⁺ et les ions chlorure Cl^- soient dans les proportions stoechiométriques. Calculer v_E et démontrer que le chromate d’argent Ag₂CrO₄ (s), de couleur rouge brique, commence à précipiter pour un volume v peu différent de v_E.

Soit les deux couples rédox suivants dont on indique les potentiels redox standards E°.

E°₁(NO₃^-/NO(g)) = 0.96 V et E°₂(Pt²⁺/Pt(s)) = 1.2 V.

Le complexe Pt(Cl)₄^2- se dissocie pour donner l’ion Pt²⁺ et les ions chlorure Cl^- selon l’équilibre chimique suivant de constante d’équilibre thermodynamique K_d = 10^-16: Pt(Cl)₄^2- = Pt²⁺+ 4Cl^-

1. Montrez que le platine Pt s’oxyde en présence d’acide nitrique et d’acide chlorhydrique. Donnez alors l’équation-bilan de la réaction d’oxydoréduction.

Dans ce problème, le pent-2-ène subit une série de réactions chimiques successives. On vous demande d’identifier les divers produits de réaction.

1. Représentez le diastéréoisomère E du pent-2-ène noté A.
2. Cet alcène A est traité par l’eau en milieu acide. Donner l’équation bilan de cette réaction chimique.
   a) Indiquer le mécanisme de cette réaction. Quel est le rôle de l’acide ?
   b) Peut-on se servir de l’acide chlorhydrique pour réaliser cette transformation chimique ? Proposer un acide couramment utilisé.
   c) Un mélange de deux produits est obtenu. Peut-on dire si l’un d’eux se forme majoritairement ?
   d) L’un de ses produits est chiral. Pourquoi ce produit est-il obtenu sous forme racémique ? Représentez l’énantiomère R de ce produit, noté B dont vous donnerez le nom.
3. B est traité d’abord par l’hydrure de sodium (NaH) pour donner un intermédiaire réactionnel C qui, opposé au bromure d’éthyl, à température ambiante, conduit au produit D.
   a) Montrer que le produit C résulte d’une réaction acide base dont vous préciserez l’équation bilan. Justifier le caractère quantitatif de cette réaction.
   b) Identifier D et indiquer la nature du mécanisme de cette réaction. Quel autre produit E apparaît si l’on répète cette expérience à plus haute température ?
4. En présence d’acide acétique CH₃CO₂H et de proton H⁺ le dérivé B donne un dérivé F.
   a) Donner la structure de F. Cette réaction est équilibrée. Proposer alors une solution pour augmenter le rendement de cette réaction sachant que vous disposez de tous les dérivés organiques et inorganiques possibles.
   b) F est ensuite opposé à l’acétate de sodium CH₃CO₂Na dans le diméthylformamide (DMF) pour donner le produit G. L’hydrolyse de G en milieu basique conduit au dérivé H. Donner le mécanisme des réactions qui aboutissent à G et à H. Comparer H à B.
5. Le composé H est traité par du dichromate de potassium K₂Cr₂O₇ en milieu acide pour aboutir au dérivé I. Donner la structure de I et l’équation-bilan de la réaction d’oxydoréduction qui se déroule.
6. Le composé H est traité par l’ion nitrosonium NO⁺ pour conduire au dérivé nitrite J. Sous irradiation lumineuse, J se décompose réversiblement pour aboutir à deux radicaux dont l’un est l’oxyde nitrique NO.
   a) Donner les structures de Lewis de l’ion nitrosonium et du radical NO. Identifier le second radical noté K.
   b) Le radical K est capable d’arracher un atome d’hydrogène par voie intramoléculaire pour aboutir à un radical alkyl qui piège à son tour l’oxyde nitrique pour conduire à un dérivé L. Donner la structure de L.

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corrigé

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C₅H₁₀ + H₂O --> C₅H₁₂ O

l'acide ( ion H⁺) est un catalyseur; l'acide sulfurique est utilisé ; l'acide chlorhydrique ( présence d'ion chlorure ) peut conduire à un chloroalcane.

réaction d'addition électrophile sur une double liaison carbone carbone ; le premier stade lent conduit à un carbocation; le second stade rapide est une attaque nucléophile sur le carbocation.

L'addition d'un réactif dissymétrique H-OH noté H-X sur un alcène dyssimétrique peut conduire à deux produits : d'après la règle de Markownikoff l'hydrogène se fixe sur le carbone de la double liaison qui possède le plus grand nombre d'hydrogène. Ici, chaque atome de carbone de la double liaison portant un atome d'hydrogène, on ne peut pas prévoir le produit majoritaire.

Le pentan-2-ol possédant un carbone asymétrique est chiral. On obtient un mélange racémique car le carbocation intermédiaire est plan et l'attaque nucléophile par HO^- peut se faire d'un coté ou de l'autre du plan avec la même probabilité.

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B est traité par l’hydrure de sodium (NaH) pour donner un intermédiaire réactionnel C : C₅H₁₁O^- .

C₅H₁₁OH + Na⁺ + H^- --> C₅H₁₁O^- + Na⁺ + H₂

C opposé au bromure d’éthyle, à température ambiante, conduit au produit D : ( éther) : oxyde d'éthyle et de 1-méthylbutyle .

C₅H₁₁O^- + C₂H₅Br --> C₅H₁₁O -C₂H₅ + Br^-. substitution SN₂.

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En présence d’acide acétique CH₃CO₂H et de proton H⁺ le dérivé B donne un dérivé F : éthanoate de 1-méthylbutyle

Pour augmenter le rendement de cette réaction on remplace l'acide éthanoïque par le chlorure d'éthanoyle ( obtenu par action de PCl₅ sur l'acide éthanoïque)
L’hydrolyse de G en milieu basique ( saponification d'un ester) conduit au dérivé H ( alcool) et à l'acétate de sodium.

- addition de l'ion hydroxyde sur le groupe carboxyle de l'ester avec formation d'un intermédiaire tétraédrique.

- fragmentation de l'intermédiaire tétraédrique avec élimination d'un ion alcoolate.

-déprotonation de l'acide carboxylique par l'ion alcoolate avec formation d'un ion carboxylate.

Comparer H à B : B est un mélange racémique dans lequel les deux énantiomères sont présents en quantité identique ; H est l'un ou l'autre des deux énantiomères.

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alcool secondaire + dichromate de potassium K₂Cr₂O₇ en milieu acide --> cétone.

Cr₂O₇^2- + 14H⁺ + 6e^- = 2Cr³⁺ +7H₂O réduction

3 R-CHOH-R' =3 R-CO-R' + 6H⁺ + 6e^- oxydation.

faire la somme : Cr₂O₇^2- +3 R-CHOH-R' + 8H⁺ = 2Cr³⁺ +7H₂O+3 R-CO-R' oxydoréduction

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