A Deux ressorts valent mieux qu'un : une boule de rayon R= 5,5 cm et de masse m, est fixée à deux ressorts R₁ et R₂ identiques, de longueur à vide l₀= 25 cm et de constante de raideur k. L'autre extrémité de chque ressort est accrochée à un point fixe. Les deux ressorts sont portés par la même droite horizontale passant par le centre de la boule. On pose A₁A₂ = L et on note l₁ et l₂ les longueurs respectives de R₁ et R₂.

1. En justifiant, déterminer à l'équilibre, la position A par rapport à A₁ et A₂, de G, centre d'inertie de la boule.
2. Calculer A₁A et A₂A sachant que L= 75 cm.
3. La boule peut glisser sur son support horizontal. On écarte celle-ci de sa position d'équilibre de 2 cm vers A₂. A cet instant t=0, on lâche la boule, sans vitesse initiale, du point A₃ ( AA₃= 2 cm). Faire le bilan des forces qui agissent sur la boule entre A et A₃, à l'aide d'un schéma clair.
4. Exprimer les longueur l₁ et l₂ des ressorts en fonction de L, R, et x= mesure algébrique (AG)
   - En déduire l'expression des vecteurs tensions des ressorts en fonction de K, L, x , R et l₀. ( on notera vecteur i, le vecteur unitaire de l'axe Ax)
   - A partir de la seconde loi de Newton, déterminer l'équation différentielle du mouvement de la boule.
   - Donner l'expression littérale de la période et de la fréquence du mouvement de la boule.

B Equilibre d'un oscillateur :Un solide s de masse m peut se déplacer, sans frottement, le long d'une tige horizontale T. Un ressort élastique, à spires non jointives, de constante de raideur k et de longueur au repos l₀ = 10 cm est accroché au solide S de centre d'inertie G. La deuxième extrémité du ressort est accrochée au point fixe I. On pose IO= L= 6 cm ; IG= l et x= abscisse de G.

1. Faire le bilan des forces appliquées au solide S. Pour cela on dessinera deux schémas clairs correspondant à deux situations que l'on précisera.
2. En choisissant comme niveau de référence Ep=0, exprimer l'énergie potentielle du système {solide+ ressort} en fonction de k, l₀, L et x.
3. En déduire les positions d'équilibre du système, correspondant aux valeurs minimales de l'énergie potentielle. Faire l'application numérique.

Un générateur idéal de tension E= 12 V alimente le pont ci-dessous :

R₁ = 20 ohms ; R₂ = 5 W ; R₃ = 15 W ; R₄ = 60 W

1. Calculer la résistance équivalente à l'ensemble.
2. Calculer l'intensité I du courant débité par le générateur.
3. Calculer l'intensité I₁ du courant dans la branche ADC.
4. Calculer la tension aux bornes de R₁ puis de R₂.
5. Comparer les puissances consommées dans les branches ABC et ADC. Quelle loi de conservation vérifient-elles ?
6. Quelle indication pourrait-on lire sur un voltmètre placé ente B et D ?
7. Que se passerait-il si on reliait B et D par un fil conducteur ? Justifier les réponses à choisir parmi les propositions suivantes.
   - La résistance R₄ serait court-circuitée et I₁ traverserait DB.
   - La résistance R₃ serait court-circuitée et I₂ traverserait BD
   - Aucun courant ne traverserait BD et la résistance équivalente serait la même.
   - Aucun courant ne traverserait BD et la résistance équivalente de l'ensemble serait égale à 18,75 ohms.
   - L'ensemble AC est équivalent à :

On considère un objet Ab transversal et un écran fixe E et distants de D sur un banc d'optique. On cherche à déterminer les positions d'une lentille convergente mince, située entre l'objet et l'écran, permettant de visualiser une image nette A'B' sur ce dernier. On note O le centre optique de la lentille L et f' sa distance focale image. On pose AO= x ( on écrit en bleu et en gras les mesures algébriques).

1. Faire un schéma clair de la situation.
2. Exprimer en justifiant la distance OA' en fonction de x et D.
3. A partir de la relation de conjugaison de Descartes, déterminer l'équation du second degré du type ax²+bx+c=0, en précisant les coefficients a, b, c.
4. En déduire la condition sur D et f' permettant d'obtenir les deux solutions x et x' de l'équation précédente, correspondant à deux positions de la lentille donnant une image nette sur E.
5. Exprimer les deux solutions en fonction de D et f'.
6. En déduire l'expression de f' en fonction de D et d: distance entre les deux positions de la lentille.

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corrigé

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AO + OA' = D ; OA' = D - AO + = D-x

1/f' = 1/ OA' - 1/OA soit : 1/ OA' =1/f' + 1/OA = 1/f' - 1/AO = 1/f'-1/x

1/ OA' =( x-f')/ xf' soit OA' = xf'/ (x-f') = D-x

xf' = (D-x)(x-f') soit : x²-Dx + f'D=0 5 a=1 ; b= -D et c= f'D]

discriminant D = b²-4ac = D²-4f'D

il y a deux solutions si D est positif soit D>4f'.

x₁ = ½[D+ ( D²-4f'D)^½] ; x₂ = ½[D- ( D²-4f'D)^½] ; d = x₁ -x₂ = ( D²-4f'D)^½

d² = D²-4f'D ; f' = (D²-d²)/ (4 D)

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On détermine la conductivité de deux solutions d'acide fluorhydrique de concnetrations différentes : S₁ : 10^-2 mol/L et s = 9 10^-2 S/m ; S₂ : 10^-4 mol/L et s = 3,6 10^-3 S/m.

1. Décrire le mode opératoire, en précisant le matériel utilisé, pour préparer 1 L de la solution S₂ à partir de S₁.
2. Ecrire la réaction du fluorure d'hydrogène HF avec l'eau.
3. Calculer les concentrations des ions présents dans chaque solution.
4. Déterminer les avancements volumiques finaux pour chaque solution. La réaction est-elle totale, limitée ? Justifier.
5. Comparer le taux d'avancement de chaque solution et conclure.

Conductivité molaire ionique en S m² mol^-1 : l_H3O+ = 3,5 10^-2 ; l_F- = 5 10^-3 .

1. Ecrire l'équation de la réaction de synthèse de l'éthanoate de propyle en utilisant les formules semi-développées à partir de l'acide puis à partir d'un anhydride d'acide.
2. On mélange 30 mL d'alcool avec 20,4 mL de l'anhydride d'acide. Quelle quantité de matière d'ester va-t-il se former ?
   alcool : masse volumique 0,8 g/mL et masse molaire 60 g/mol ; anhydride : masse volumique : 1 g/mL et masse molaire 102 g/mol ; acide : masse volumique 1 g/mL et masse molaire : 60 g/mol.
3. La constante d'équilibre K associée à la réaction de synthèse à partir de l'acide vaut K= 4. Déterminer le volume d'acide nécessaire pour obtenir la même quantité d'ester, toujours à partir de 30 mL d'alcool.
4. Dans quel cas l'état final est-il atteint le plus rapidement ? Justifier.