Aurelie 5/5
Réactions nucléaires ;

circuit RC ; trajectoire ; satellites de Jupiter ; benzoate de méthyle ; électrolyse.

d'après concours services de santé des armées 2005

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Réactions nucléaires (6 pts)

 Les trois parties sont indépendantes

I. Dans les étoiles dont la masse est supérieure à 1,5 fois la masse du soleil le principal processus de fusion à l'origine de l'énergie libérée est le cycle CNO : 126C + 11H-->137N (1) ; 137N -->13ZX+ 01e (2) ; 13ZX+ 11H-->147N (3)

147N + 11H-->158O (4) ;158O -->A'Z'Y+ 01e (5) ; AZY+ 11H-->126C + 42He (6)

  1. Déterminer les valeurs de A, Z et Z' et identifier X et Y.
  2. Nommer les particules 11H et 01e
  3. Attribuer aux réactions (1) et (3) un type de réactions nucléaires.

II. Energie de masse :

On considère les deux réactions nucléaires suivantes : 73Li + 42He -->105B + 10n (a) ; 73Li + 42He -->115B (b)

  1. Montrer qu'une seule de ces réactions libère de l'énergie.
  2. Définir l'énergie de liaison du noyau.
  3. Poser le calcul, sans l'effectuer, permettant d'obtenir en MeV, l'énergie de liaison du noyau 115B à partir des données.
  4. On donne les valeurs des énergies de liaison de deux noyaux : 42He : 28,45 meV ; 105B : 65,12 MeV Quel est le noyau le plus stable ? Justifier.

m(He) = 4,0015 u ; m(Li 7) = 7,0144 u ; m(B 10) = 10,0102 u ; m(B 11) = 11,0066 u ; m(neutron)= mn = 1,0087 u ; m(proton) = mp=1,0073 u.

1 u = 1,66054 10-27 kg ; 1 eV= 1,602 10-19 J.

III. Radioactivité artificielle :

On bombarde des noyaux d'aluminium 27 par des particules a pour former l'isotope 30 du phosphore.

  1. Ecrire l'équation de la réaction nucléaire de formation du phosphore 30.
  2. L'aluminium 27 n'est pas radioactif alors que le phosphore 30 est radioactif b+. Ecrire l'équation de la désintégration du phosphore 30.
  3. On arrête le bombardement des noyaux d'aluminium par les particules a : à cette date , l'échantillon de phosphore a une activité A0= 7,2 1013 Bq. On attend un peu pour que l'activité de l'échantillon devienne A= 9 1012 Bq. Quelle est la durée écoulée depuis la fin du bombardement ?

Demi vie du phoshore 30 : t½=156 s.

11Na ; 12Mg ; 13Al ; 14Si ; 15P ; 16S ; 17Cl ; 18Ar ;

corrigé
13ZX + 11H-->147N + (3)

conservation de la charge : Z+1= 7 soit Z= 6 , X est l'élément carbone.

158O -->A'Z'Y+ 01e (5)

conservation du nombre de nucléons : 15 = A'

conservation de la charge : Z'+1= 8 soit Z= 7 , X est l'élément azote

11H : proton, noyau d'hydrogène ; 01e : positon

(1) fusion de petits noyaux ; (2) radioactivité de type b+.

variation de masse

(a) : Dm= m(B 10) + mn-m(Li 7)-m(Helium 4)= 10,0102+1,0087-7,0144-4,0015 = 3 10-3 u

(b) : Dm= m(B 11) -m(Helium 4)--m(Li 7) =11,0066-4,0015-7,0144 = -6,3 10-3 u

réaction (b) : à une diminution (perte) de masse correspond une libération d'énergie

on appelle énergie de liaison notée El d'un noyau l'énergie que doit fournir le milieu extérieur pour séparer ce noyau au repos en ses nucléons libres au repos.

115O : 5 protons et 6 neutrons

Dm = 5 mp+6mn-m(B 11) exprimée en u

multiplier par 1,66054 10-27 pour esprimer Dm en kg.

E= Dmc² , énergie en J et c= 3 108 m/s.

diviser par 1,6 10-19 pour obtenir l'énergie en eV

diviser par 106 pour obtenir l'énergie en MeV.

L'énergie de liaison par nucléon d'un noyau est le quotient de son énergie de liaison par le nombre de ses nucléons: plus elle est élevée plus le noyau est stable.

42He : 28,45 / 4 = 7,1 MeV/nucléons ; 105B : 65,12 / 11 = 6,51 MeV/nucléons.

2713Al + 42He -->3015P+ 10n.

3015P -->3014Si + 01e.

loi de décrioissance radioactive : A(t) = A(0) exp(-lt)

A(0) /A(t) = 7,2 1013 / 9 1012 = 8 = 23.

l'activité diminue de moitié au bout d'une demi-vie ; est divisée par 4 au bout de 2 demi-vie et est divisée par 8 au bout de 3 demi-vie.

t= 3*156 = 468 s.

Circuit RC série (7 pts) :

R1=R2=R .

Le candidat respectera la notation et l'orientation du circuit.

  1. Le condensateur étant déchargé, on bascule l'interrupteur k sur la position 1 à un instant choisi comme origine des dates. Etablir l'équation différentielle à laquelle obéit la tension uC.
    - Quelles sont au tout début du régime transitoire ( instant de date t= 0+) les valeurs littérales de uc, u1, u2 et i ?
    - Exprimer littérallement la constante de temps t1 du circuit et en déduire la date approximative t1 de la fin du régime transitoire.
    - Quelles sont les valeurs de uc, u1, u2 et i lorsque l'interrupteur est en position 1 depuis très longtemps ( t>>t1) ?
  2. L'interrupteur étant en position 1 depuis très longtemps, on le bascule en position 2 à un instant choisi comme nouvelle origine des dates. Etablir l'équation différentielle à laquelle obéit la tension uC.
    - Quelles sont au tout début du régime transitoire ( instant de date t= 0+) les valeurs littérales de uc, u1, u2 et i ?
    - Vérifier que la fonction uC= A exp(-t/t2) avec t2= 2RC est solution de l'équation différentielle établie ci-dessus ; Déterminer l'expression littérale de A.
    - Quelles sont les valeurs de uc, u1, u2 et i à l'instant t= t2?
    - Quelles sont les valeurs de uc, u1, u2 et i lorsque l'interrupteur est en position 2 depuis très longtemps. 
corrigé
E= u1+ uc avec u1 = R i ; i = dqA/dt ; qA= Cuc soit i = dqA/dt = Cduc/dt = Cu'c.

E= Ri + uc ; E= RCu'c + uc ( équation différentielle) On pose t1 = RC.

La charge est terminée au delà de t1 >= 5 t1.

En fin de charge uc=E ; i=0 ; u1=0 ; u2=0.

à la décharge l'intensité i change de sens.

uc+u1+u2 = 0

avec u1 = -Ri ; u2 = -Ri et i= -dqA/dt = -Cduc/dt.

uc+ (-)R (-)Cduc/dt+ (-)R (-)Cduc/dt =0

uc + 2RC u'c=0( équation différentielle) On pose t2 = 2RC.

au tout début de la décharge : uc=E ; i = - E/(2R) = -½E , u1 = - ½E ; u2 = -½E.

uC= A exp(-t/t2) avec t2= 2RC

dériver uc par rapport au temps : u'c= A/(-t2 ) exp(-t/t2) = - A/(2RC) exp(-t/t2)

repport dans l'équation différentielle :

A exp(-t/t2) + 2RC(- A/(2RC) exp(-t/t2)=0

A exp(-t/t2) - A exp(-t/t2) = 0 ; l'égalité est vérifiée.

à t=0 : uc(0)= E = Aexp(0) =A.

à t= t2 : uc= E exp(-1) = 0,37 E ; i = -Cu'c = -E/(2R) exp(-1)= -0,37 E/(2R)= 0,37 i(0)

u1=u2 = -Ri = -R(0,37 E/(2R)) = -0,18 E.

à t infini : uc=0 ; i=0 ; u1=u2=0.
Mouvement d'un projectile (3 pts)

 On étudie le mouvement du centre d'inertie d'une balle supposée ponctuelle, lancée d'un point A, situé à une hauteur h au dessus du sol. On admet que la balle est en chute libre dans le champ de pesanteur uniforme.

On choisit l'instant où la balle est lancée comme origine des dates.

 

  1. Etablir dans le repère choisi les coordonnées du vecteur accélération du point G.
  2. Etablir les expressions des coordonnées du vecteur vitesse du point G.
  3. Etablir les expressions des coordonnées du vecteur position du point G.
  4. Etablir l'équation de la trajectoire du point G. Recopier le schéma ci-dessus et tracer l'allure de cette trajectoire..
corrigé

Satellites de Jupiter (4 pts)

Jupiter possède 16 satellites. On considère que Jupiter et ses satellites sont des corps à symétrie sphérique.

I. Etude générale :

On s'intéresse au mouvement du centre d'inertie d'un satellite de Jupiter en orbite circulaire autour de Jupiter. L'étude est faite dans un référentiel "jupiterocentrique" d'origine le centre de Jupiter et d'axes dirigés vers des étoiles fixes.

Notations : Jupiter , masse MJ, centre d'inertie J ; satellite : masse mS, centre d'inertie S, rayon de la trajectoire rS et période TS. Constante de gravitation G.

  1. Dans le cas général, donner les caractéristiques du vecteur accélération d'un point en mouvement circulaire uniforme. Préciser l'expression littérale de la valeur de l'accélération en fonction de la vitesse V du point et du rayon r de sa trajectoire.
  2. Donner les caractéristiques de la force d'interaction gravitationnelle exercée par Jupiter sur le satellite.
  3. En déduire les caractéristiques du vecteur accélération du centre d'inertie S du satellite. Les interactions entre le satellite et les autres corps sont négligées.
  4. En modélisant le mouvement du centre d'inertie S par un mouvement circulaire uniforme, établir l'expression de la vitesse V du point S en fonction de G, MJ et rS.
  5. En déduire l'expression de la période de révolution TS du satellite en fonction de G, MJ et rS.

II. Les satellites de Jupiter.On a représenté ci-dessous, pour les huit premiers satellites de Jupiter, les variations de la grandeur T² en fonction de la grandeur r3. G= 6,67 10-11 SI.

  1. Quelle loi retrouve t-on ? Justifier.
  2. Déduire du graphique la valeur approchée de la masse de Jupiter.
corrigé
Le satelliote ( ou le point) est soumis à une force de gravitation centripète( dirigée vers le centre de Jupiter)

La seconde loi de Newton, écrite sur l'axe de vecteur uitaire n donne :

Le satellite décrit une circonférence de rayon rS en une période notée TS à une vitesse v.

2prS=vTS.

élever au carré : 4p²rS ²= v²T²S.

remplacer v² par l'expression donnée ci-dessus : 4p²rS ²= GMJ / rS T²S.

soit T²S / rS 3 = 4p² / (GMJ )

On retrouve la 3ème loi de kepler : T²S est proportionnelle à rS 3 .

coefficient directeur de la droite : 2 1012 / 6,5 1027 = 3,07 10-16.

3,07 10-16= 4p² / (GMJ ) soit MJ= 4p² /( 3,07 10-11 G)

MJ= 4*3,14²/(3,07 10-16 *6,67 10-11))= 1,92 1027 kg.
synthèse d'un ester ( 10,5 pts)

 

  1. La molécule de benzoate de méthyle :
    Le benzoate de méthyle a pour formule brute C6H5COOCH3. Il comporte une fonction ester.
    - Ecrire la formation de l'ester en écrivant les formules semi-développées.
    - Préciser les noms de l'acide carboxylique et de l'alcool utilisés.
  2. Synthèse de l'ester : mode opératoire.
    Dans un ballon surmonté d'un réfrigérant ( montage dit "à reflux") on introduit en excès l'alcool, l'acide carboxylique ainsi que de l'acide sulfurique. On chauffe le dispositif pendant un certain temps.
    - Faut-il boucher le réfrigérant dns le montage à reflux ? Justifier.
    - Donner les caractéristiques de la réaction.
    - Pourquoi chauffe-t-on? Quel est le rôle de l'acide sulfuriqque ?
    - Donner le nom et la formule semi-développée d'un composé qui, utilisé à la place de l'acide carboxylique, rendrait la réaction totale.
  3. Extraction du benzoate de méthyle :
    - Que contient le mélange réactionnel lorsqu'on arrête la manipulation en supposant que la composition du mélange n'évolue plus.
    - On cherche à extraire le benzoate de méthyle du mélange réactionnel. On propose un protocol. On ajoute de l"ether puis, prudemment, un excès de solution aqueuse d'hydroxyde de sodium. On observe deux phases. Quelle est la nature de la phase inférieur ? de la phase supérieure ? Justifier.
    espèce
    densité
    solubilité dans l'eau
    solubilité dans l'ether
    ester

    très faible
    très grande
    alcool

    très grande
    plus faible
    acide carboxylique

    très faible
    très grande
    ether
    0,74
    très faible

    eau
    1

    très faible
    ion carboxylate

    très grande
    très faible
    autres ions

    très grande
    très faible
    - Ecrire les équations des réactions acido-basiques se produisant lors de l'ajout d'hydroxyde de sodium.
    - Resencer les espèces chimiques présentes dans chaque phase.
    - Ce protocole permet-il d'extraire l'ester ?
    - Que ce serait-il passer si l'on n'avait pas ajouter l'hydroxyde de sodium ?
    - Lorsque l'on ajoute la solution aqueuse basique, il peut se produire une réaction parasite. Laquelle ? Ecrire l'équation associée à la transformation. Peut-on attendre une nuit avant de réaliser l'extraction ?
corrigé
C6H5COOH + HCH2OH = C6H5COOCH3 + H2O

acide benzoïque et méthanol = benzoate de méthyle + eau

Le réfrigérant n'est pas boucher : sinon il y aurait surpression ( du fait du dégagement de vapeurs lors du chauffage) et le bouchon sauterait.

La réaction est lente, athermique et limitée par l'hydrolyde de l'ester.

Le chauffage permet d'accéléré la réaction et d'atteindre plus rapidement l'équilibre. L'acide sulfurique sert de catalyseur.

Avec l'anhydride benzoïque, utilisée à la place de l'acide, la réaction est totale.

C6H5-CO-O-OC-C6H5.

A l'équilibre le mélange contient le benzoate de méthyle, l'eau, le méthanol en excès et un peu d'acide benzoïque.

Dans l'ampoule à décanter, les solvants ether et eau non miscibles, se répartissent de telle manière que le solvant le plus dense, l'eau, occupe la partie inférieure, l'ether, moins dense, occupant la partie supérieure.

C6H5COOH + HO- -->C6H5COOH + H2O

H2SO4 + 2HO- --> SO42- + 2H2O

En milieu basique, l'acide carboxylique est sous forme d"ion carboxylate, soluble dans l'eau ; l'alcool restant est également soluble dans l'eau. Les autres ions, sulfate, ion sodium, se trouvent dans l'eau. L'ester se trouve seul dans la phase éthérée.

Par contre, sans l'hydroxyde de sodium, l'acide carboxylique restant serait en grande partie dans la phase éthérée.

Réaction parasite : saponification de l'ester, lente mais totale. Il faut extraire assez rapidement et surtout pas 12 heures plus tard.

C6H5COOCH3 + Na+ + HO- -->C6H5COO- + Na+ + CH3OH.

Electrolyse d'une solution de chlorure de sodium ( 9,5 pts)

Cette électrolyse conduit à la production de dichlore Cl2 et de soude (Na+ + HO-). On réalise le montage ci-dessous.

Les deux tubes à essais sont remplis d'eau salée dans laquelle on a introduit un peu de phénolphtaléine et retournés au dessus des électrodes de graphite. La cuve est un électrolyseur rempli d'eau salée. On relie l'électrode A à la borne positive et l'électrode B à la borne négative d'un générateur de tension continue. On observe rapidement un dégagement gazeux au niveau de chaqune électrode aainsi qu'une coloration rose à l'une des électrodes.

Après 10 min d'électrolyse, on mesure le volume de gaz recueilli sur chaque électrode. Sur A, VA= 24 mL ; sur B, VB= 24 mL En approchant une allumette emflammée au niveau de l'un des tubes,que l'on vient juste de retourner, on entend un "pop" caractéristique.

masse atomique molaire (g/mol) H : 1 ; O : 16 ; Cl : 35,5 ; Na : 23.

volume molaire des gaz : Vm= 24 L/mol. 1 F= 105 C/mol

couple redox : Cl2/Cl- ; H2O/H2 [ 2 H2O + 2e- = H2(g) + 2HO-]

  1. Ecrire la demi-équation électronique du couple Cl2/Cl-
  2. Quielle espèce chimique met en évidence la coloration rose ? Même question pour le "pop" caractéristique.
    - En déduire l'oxydant et le réducteur de l'électrolyse. Justifier.
    - Ecrire les équations des réactions d'oxydation et de réduction en précisant les électrodes auquelles elles se produisent. Précise l'anode et la cathode.
    - Donner l'équation de la réaction ayant lieu lors de l'électrolyse.
  3. Dresser un tableau descriptif de l'évolution de la réaction et déterminer les quantités de matière des produits formés.
    - En déduire la quantité de matière d'électrons débitée par le générateur pendant la durée de l'électrolyse.
    - Quelle est la valeur de l'intensité I ?
  4. Si on agite le contenu du cristallisoir, le dichlore produit à une électrode réagit avec les ions hydroxyde produits à l'autre. C'est une réaction d'oxydoréduction spontanée. Les couples mis en jeu sont : Cl2/Cl- ; ClO-/Cl2. On donne l'équation de la réaction globale :
    Cl2 (g) + 2HO- = ClO- + Cl- + H2O.
    - Dresser un tableau descriptif de l'évolution de la réaction et déterminer la quantité de matière d'ion hypochlorite ClO- formé.
    - Sachant que le volume de la solution contenue dans l'électrolyseur est V= 200 mL, déterminer la concentration des ions hypocholrite formés.
corrigé
2Cl- = Cl2 + 2e- oxydation de l'ion chlorure ( l'ion chlorure est le réducteur) à l'anode positive A.

La coloration rose met en évidence d'un milieu basique dans lequel l'ion HO- est majoritaire.

Le "pop" met en évidence le gaz dihydrogène.

2 H2O + 2e- = H2(g) + 2HO- réduction de l'eau ( l'eau est l'oxydant) à la cathode négative B.

Bilan de l'électrolyse : 2Cl- +2 H2O =Cl2 (g) +H2(g) + 2HO-

2Cl-
+2 H2O
= Cl2 (g)
+H2(g)
+ 2HO-
initial
n
solvant en grande quantité
0
0
0
en cours
n-2x
x
x
2x
fin
n-2xmax
xmax
xmax
2xmax
avec xmax = volume du gaz (L) / volume molaire (L/mol) = 0,024 / 24 = 10-3 mol.

quantité de matière d'électrons débitée par le générateur :

2Cl- = Cl2 + 2e- donne : n( électrons ) =2 n( Cl2) = 2 10-3 mol.

Quantité d'électricité : Q = 105*2 10-3 = 200 C

Or Q= I t soit I= 200 / (60* 10) =1/3 = 0,33 A.
Cl2 (g)
+ 2HO-
= ClO-
+ Cl-
+ H2O
initial
0
0
0
n
solvant en grande quantité
en cours
x
2x
x
n+x
fin (t = 10 min)
xmax = 10-3 mol
2 10-3 mol
10-3 mol
n+10-3 mol
[ClO-]= Qté de matière (mol) / volume solution (L) = 10-3 / 0,2 = 5 10-3 mol/L.

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