La surface libre C de l'eau contenue dans un château d'eau est à une hauteur h= 60 m au dessus du sol. Un immeuble est alimenté par ce château d'eau. Le sol sur lequel sont construits le château et l'immeuble est horizontal.

1. Enoncer le principe fondamental de la statique des fluides.
2. Calculer l'écart entre la pression de l'eau au niveau d'un robinet D situé à 15 m de hauteur dans l'immeuble et la pression atmosphérique.
3. En déduire la pression P_D de l'eau au niveau du robinet.
4. On ouvre le robinet D. La section S de la canalisation alimentant ce robinet est de 1,13 cm². En utilisant l'équation de Bernoulli entre les points C et D, calculer :
   - La vitesse d'écoulement dans la canalisation.
   - Le débit en m³/s dans cette canalisation.
   P₁ + ½rv₁² + r gz₁ = P₂ + ½rv₂² + r gz₂ ; g = 10 N/kg.
5. On branche maintenant un nettoyeur haute pression sur ce robinet D. La pression P_E obtenue en E à la sortie du compresseur pour un même débit et au même niveau est élevée à 15,5 10⁵ Pa. On admet que le débit garde la valeur calculée ci-dessus.
   - Calculer la puissance de ce compresseur P_C en utilisant la relation déduite du théorème de Bernoulli P_C= (P_E-P_D) q_v.

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corrigé

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Dans un fluide homogène, la différence de pression entre deux points A et B est proportionnelle :

- à la différence de hauteur AB
- à la masse volumique du fluide
P_A-P_B= g r AB

La pression au niveau du robinet est égale à la pression de l'eau dans le château d'eau à l'altitude 15 m :

pression due à une colonne d'eau de 60-15 = 45 m soit g r AB = 10 * 1000 *45 = 4,5 10⁵ Pa = 4,5 bar.

pression du à l'air situé au dessus de l'eau = pression atmosphérique = 10 ⁵ Pa.

P_D =5,5 10⁵ Pa.

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P_C + ½rv_C² + r gz_C = P_D + ½rv_D² + r gz_D ;

P_C = 10 ⁵ Pa ; v_C voisine de zéro ( grande surface libre de l'eau >> 1,13 cm²) ; z_C = 60 m

En C et en D, sortie du robinet l'eau est à la même pression, la pression atmosphérique

r gz_C = ½rv_D² + r gz_D ; v_D² = 2g(z_C -z_D ) = 2*10*45 = 900 ; v_D= 30 m/s

débit volumique( m³/s)= section (m²) * vitesse (m/s) = 1,13 10^-4 * 30 = 3,39 10^-3 m³/s = 3,39 L/s.

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puissance du compresseur : P_C= (P_E-P_D) q_v = (15,5 - 1) 10⁵ * 3,39 10^-3 = 4,9 kW.

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Un moyen de protéger les canalisations souterraines en fer consiste à raccorder celles-ci à des blocs de zinc qu'on sacrifie et qu'on remplace régulièrement. La réalisation de cette protection peut être schématisée par la figure ci-dessous :

La rouille qui se forme sur la canalisation est formée en partie avec des ions fer II (Fe²⁺). Le but de la protection est de reformer du fer sous sa forme métal. Le zinc sacrifié se transforme lors de la réaction en ion zinc II ( Zn²⁺)

1. Compléter les demi équations électroniques proposées ci-dessous :
   Fe²⁺ --> Fe ; Zn --> Zn²⁺.
   - Ecrire l'équation bilan de cette réaction.
2. Indiquer le sens de déplacement des électrons dans la jonction fer zinc. Indiquer le pôle positif et le pôle négatif de la pile en court circuit réalisée.
3. Le courant circulant dans cette jonction est 50 mA. Quelle quantité d'électricité ce courant transporte-t-il par jour ?
   - Quelle masse de zinc est elle sacrifiée par jour ? Zn = 65,4 g/mol ; 1 faraday = 96 500 C
4. Citer un autre moyen de lutte contre la corrosion.

Principe : la chaleur est pompée d'un corps froid et transmise à un corps chaud grâce à un compresseur d'air et un détendeur. ce cycle nécessite un apport extérieur d'énergie.

Une pompe à chaleur fonctionne avec deux sources :
a. Une source froide constituée d'une nappe souterraine ;

b. le circuit de chauffage de l'installation qui constitue la source chaude.

Le fluide utilisé dans cette pompe à chaleur est de l'air assimilable à un gaz parfait de constante R= 8,32 J K^-1mol^-1, de capacité thermique molaire à pression constante C_p= 29,1 J K^-1 mol^-1. g= C_p/C_v = 1,4.

L'air de la pompe subit le cycle de transformations suivantes :

Passage de l'état initial A à l'état B par une compression adiabatique réversible dans le compresseur

Etat A : P_A= 10⁵ Pa ; V_A ; T_A= 298 K

Etat B : P_B= 2,2 10⁵ Pa ; V_B ; T_B.

Passage de l'état B à l'état C par une transformation isobare pendant laquelle l'air transfère à la source chaude une quantité de chaleur Q_BC : Etat C : P_C= P_B ; T_C= 340 K.

Passage de l'état C à l'état D par une détente adiabatique réversible : Etat D : P_D=P_A ; T_D.

Passage de l'état D à l'état A par une transformation isobare pendant laquelle l'air reçoit de la source froide une quantité de chaleur Q_DA.

1. Détermination des grandeurs dans chaque état : on effectuera les calculs relatifs à une mole d'air.
   - Calculer V_A, V_B, T_B, V_C, V_D.
   - Vérifier que T_D= 271 K.
2. Compléter le cycle de Clapeyron en y plaçant les points C et D.
   - Préciser le sens de parcours du cycle.
3. Etude du bilan thermique :

   - Calculer les quantités de chaleur échangée Q_BC et Q _DA.
   - Donner la valeur de la quantité de chaleur lors de la transformation adiabatique.
   - En déduire le travail W échangé au cours de la totalité du cycle.
   - On définit l'éfficacité de la pompe par le rapport suivant e= Q/W pour lequel Q est la chaleur transférée à la source chaude au cours d'un cycle décrit par l'air et W ets le travail échangé par l'air au cours du même cycle.
   Calculer e et conclure.

Rappel : pour un gaz parfait subissant une transformation adiabatique P_AV_A^g= P_BV_B^g et T_AV_A^g-1= T_BV_B^g-1

Pour un gaz parfait subissant une transformation isobare : Q= n C_p DT

Lors d'un cycle de transformation d'un gaz parfait S Q + S W=0