Dans une machine frigorifique, une masse m de fluide frigorigène subit le cycle suivant :

- Le compresseur amène la vapeur saturée sèche de l'état 1 ( q₁ = -10°C; P₁= 3,5 bar) à l'état 2 ( q₂ = 40°C; P₁= 9,1 bar) suivant une compression isentropique.

- Le condenseur permet à la vapeur d'atteintre la température de changement d'état puis de se liquéfier totalement (état 3) selon un refroidissement isobare.

- Le détendeur permet au fluide d'atteindre l'état 4 ( q₄ = -10°C; P₄= 3,5 bar). Au cours de cette transformation on considère que le fluide n'échange ni travail ni chaleur avec le milieu extérieur, et on admet que son enthalpie reste constante.

- Le vaporisateur ( évaporateur) permet au fluide de revenir à l'état 1.

Données : enthalpie massique dans les différents états :

h₁ = 401 kJ/ kg ; h₂ = 428 kJ/kg ; h₃ = h₄ = 224 kJ/kg.

Chaleur latente de vaporisation du fluide dans le condenseur : L_v = 188 kJ/kg.

Chaleur massique de la vapeur à pression constante : C_p= 0,8 kJ(kg K)^-1.

On rappelle que pour une transformation isobare Dh= Q.

1. Calculer la quantité de chaleur Q_E échangée par 1 kg de fluide au niveau de l'évaporateur.
   - Calculer la quantité de chaleur Q_c échangée par 1 kg de fluide au niveau du condenseur.
   - La température de changement d'état dans le condenseur est notée q. Détailler les échanges thermique entre les états 2 et 3. En déduire l'expression littérale de Q_c en fonction de c_p, q, q ₂ et L_v.
   - Calculer la valeur de q.
2. En utilisant le premier principe de la thermodynamique, montrer que le travail reçu par 1 kg de fluide au cours du cycle est W= h₂-h₁.
   - Déterminer le coefficient d'efficacité frigorifique e du cycle.
   - Le travail reçu par le cycle est fourni par le compresseur. déterminer la puissance du compresseur sachant que le débit massique du fluide est q_m= 0,10 kg/s.

La température de la machine frigorifique est contrôlée par une régulation fonctionnant en tout ou rien. Le relais commande le compresseur.

Le capteur de température impose une tension e⁺ à l'entrée non inverseuse telle que dans l'intervalle -30 °C et +30 °C, e⁺ = 0,1 q ( q représente la température exprimée en °C et e⁺ le potentiel de l'entrée non iverseuse, exprimé en V).

1. Quel est le rôle du potentiomètre R_h ? En l'absence des résistances R, les valeurs limites de potentiel du curseur sont-elles compatibles avec le capteur de température utilisé ? Justifier et conclure.
2. Pourquoi utiliser une diode D en parallèle aux bornes du relais ?
3. Quel est le mode de fonctionnement de l'amplificateur opérationnel ?
4. On part d'une situation dans laquelle l'intérieur de la machine frigorifique est à une température initiale de 20 °C. R_h permet de faire varier e^- entre -3,5 V et + 3,5 V. On règle la position R_h afin d'évoluer vers un état de régime dans lequel la température moyenne est -10 °C.
   - A quelle valeur de tension e^- correspond cette consigne.
   - Sachant que le compresseur fonctionne quand le relais est alimenté, montrer que le montage proposé fonctionne correctement.

La dureté totale d'une eau dépend de la concentration en ion Ca²⁺ et Mg²⁺. Cette concentration, notée C est exprimé e en millimole/L ( mmol/L). Le titre hydrotimétrique français TH est alors donné par TH= 10 C ; TH s'exprime en ° Français.

Les eaux courantes ont un titre hydrotimètrique inférieur à 50. Quand une eau a un degré supérieur à 30, elle est qualifiée de dure.

Le dosage des ions Ca²⁺ et Mg²⁺ s'effectue avec une solution d'EDTA symbolisé par Y^4- en milieu basique selon les équations : Ca²⁺ + Y^4- = CaY^2- et Mg²⁺ + Y^4- = MgY^2- . La fin du dosage est repérée grâce à la présence de noir ériochrome qui donne une coloration violette en présence des ions Ca²⁺ et Mg²⁺ et prend une teinte bleue lorsque les ions Ca²⁺ et Mg²⁺ sont en totalité sous forme CaY^2- et MgY^2- .

On dose 50 mL d'eau du robinet par une solution d'EDTA à C₁ = 0,01 mol/L. L'équivalence est ontenue après avoir versé V₁ = 12,8 mL d'EDTA.

1. Quelle la couleur de la solution en fin de dosage ?
2. Quelle est la concentration C de la solution ?
3. Quel est le titre hydrotimétrique de cette eau ? Que peut-on en conclure ?
4. La feuille d'analyse d'eau fournie par la mairie donne les concentrations suivantes : Ca²⁺ : 72 mg/L ; Mg²⁺ : 18,6 mg/L. Ces données sont-elles compatibles avec la valeur C trouvée ?

Ca : 40,1 ; Mg : 24,3 g/mol.