Dans un local fermé, on souhaite maintenir une température T₁ = 293 K tandis que l'air extérieur est à la température T₂ = 313 K.Pour cela, on considère une machine frigorifique dont le schéma de principe est représenté ci-après :

Le fluide qui décrit le cycle est de l'hélium, assimilé à un gaz parfait pour lequel g=5/3 , la capacité thermique massique à pression constante c_p = 5260 J.K^-1.kg^-1 et la masse molaire M = 4,0 g.mol^-1.

Le fluide traverse successivement :

· un compresseur (C) où le fluide subit une compression adiabatique réversible qui l'amène de A (T₁, P₁) à l'état B (T₃, P₂).

· un échangeur (E₂) où la quantité de chaleur échangée entre le fluide et la source chaude est Q₂, ce qui amène le fluide dans l'état E (T₂, P₂).
· une vanne de détente (D) où le fluide subit une détente adiabatique réversible qui l'amène dans l'état F (T₄, P₁).

· un échangeur (E₁) où la quantité de chaleur échangée entre le fluide et la source froide est Q₁, ce qui ramène le fluide dans l'état initial A (T₁, P₁).

On donne :P₁ = 2,0 10⁵ Pa ; P₂= 3,0 10⁵ Pa; R = 8,31 J.K^-1.mol^-1.

1. Calculer les températures T₃ et T₄ des états B et F.
2. Donner l'allure du cycle en coordonnées (P,V). Préciser le sens de parcours du cycle. Conclure.
3. Calculer les valeurs des quantités de chaleur Q₁ et Q₂ échangées par une masse m = 1,0 kg d'hélium lors de la traversée des échangeurs (E₁) et (E₂).
4. Comme le compresseur (C) fonctionne en régime d'écoulement continu, le travail utile W_u échangé par l'hélium est égal à sa variation d'enthalpie.
   - Déterminer le travail utile W_u échangé au cours d'un cycle par une masse m = 1,0 kg d'hélium.
   - Calculer l'efficacité de l'installation : e = Q₁/W_u.
5. La puissance thermique évacuée pour climatiser le local étant P_th = 2,6 kW, calculer la puissance minimale du moteur qui actionne le compresseur.
6. Calculer la masse d'hélium qui doit, par seconde, décrire le cycle afin de climatiser le local.

Un jus de fruit a été élaboré en ajoutant du concentré de fruit à de l'eau sucrée. On étudie d'abord la viscosité de l'eau sucrée qui se comporte comme un fluide newtonien, puis le comportement du jus de fruit obtenu.

A. Étude de l'eau sucrée au viscosimètre à chute de bille.

1. Étude du principe simplifié du viscosimètre à chute de bille.
   Une bille sphérique de masse volumique r_s, de rayon R, est lâchée sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique r, de viscosité dynamique h.
   - Recenser les forces qui s'exercent sur la bille lors de sa chute et donner leurs caractéristiques. Les représenter sur un schéma (on rappelle la loi de Stokes : la valeur de la force de frottement F, opposée à la vitesse de chute, est égale à 6phRv où v est la vitesse de chute).
   - Montrer qualitativement que la vitesse v de la bille tend vers une valeur limite v₀.
   - Une fois la vitesse limite v₀ établie, on mesure le temps t nécessaire pour que la bille parcourt une distance d donnée. Établir la relation entre t, g, d, R, h, r et r_s.
   - Montrer que h peut se mettre sous la forme : h = K.(r_s - r ).t où K est une constante.
2. Etude pratique de l'eau sucrée. Le certificat d'étalonnage de l'appareil précise : K = 8,94 10^-8 Pa.kg^-1.m³ ;
   r_s = 7,88 10³ kg.m^-3 . La mesure de la masse volumique de l'eau sucrée a donné : r = 1,01 10³ kg.m^-3. Le temps t de mesure est t = 17,2 s.
   - L'eau sucrée se comporte comme un fluide newtonien : définir ce terme.
   - Calculer la valeur de la viscosité dynamique h de l'eau sucrée.

II. Etude rhéologique du jus de fruit.

1. L'étude expérimentale se fait grâce à un rhéomètre cône - plan qui permet de fixer la vitesse de déformation D (parfois notée e) en réglant la vitesse de rotation du cône et de mesurer la contrainte de cisaillement t correspondante.
   - Exprimer la viscosité dynamique h en fonction de D et t
2. Etude d'une charge simple : les données expérimentales sont regroupées en annexe dans le tableau 1, à rendre avec la copie.
   - Compléter ce tableau en calculant la valeur de la viscosité h, exprimée en unités du Système International.

   - Indiquer comment varie h en fonction de D. Préciser le nom de ce type de comportement.
   - La courbe 1 représente la variation de log(t) en fonction de log(D). Montrer que le comportement du fluide peut être modélisé par la relation : t = kDⁿ où k et n sont des constantes. En déduire la valeur de n.

   
3. Etude du comportement rhéologique en fonction du temps : les données expérimentales sont regroupées dans le tableau 2. Combien de phases comporte cette étude ? Préciser en quoi consiste chacune d'elles.

   - Tracer l'allure du rhéogramme t = f (D) en précisant par une flèche le sens d'écoulement du temps (ne pas utiliser de papier millimétré pour ce graphe qui peut être approximatif).
   - Comment nomme-t-on un tel comportement ? Justifier.

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corrigé

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La bille est soumise à son poids, à la poussée d'Archimède P et à la force de frottement fluide.

La bille est pseudo-isolée lorsque la vitesse limite est atteinte : la somme des forces est nulle.

4/3pR³r_sg = 4/3pR³rg + 6pRhv₀.

4/3R²r_sg - 4/3R²rg = 6hv₀ ; v₀= 4/3R²g(r_s-r)/ ( 6h)=2/9R²g(r_s-r)/ h= d/t

2/9R²g(r_s-r)/ h= d/t ; h= 2/9R²g/ d (r_s-r) t = K(r_s-r) t

Si un fluide, à température constante, a une viscosité qui reste constante quelque soit la valeur de la contrainte appliquée, on dit que ce fluide est newtonien .

K = 8,94 10^-8 Pa.kg^-1.m³ ; r_s = 7,88 10³ kg.m^-3 ; r = 1,01 10³ kg.m^-3. t = 17,2 s.
h=8,94 10^-8(7,88 10³-1,01 10³)*17,2=1,056 10^-2 Pa s.

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viscosité dynamique h en fonction de D et t : h = t / D

D( s-1)	t(Pa)	h (Pa s)
19,2	0,318	1,656 10-2
38,4	0,417	1,086 10-2
57,6	0,504	8,75 10-3
76,8	0,58	7,55 10-3
96	0,656	6,83 10-3
115	0,714	6,21 10-3
134	0,767	5,72 10-3
154	0,827	5,37 10-3
173	0,88	5,08 10-3
192	0,931	4,85 10-3

Fluide non newtonien : la viscosité varie selon la contrainte appliquée.

le graphe log(t) en fonction de log(D) est une droite, donc log(t) et log(D) sont proportionnels : log(t) = n log(D) + constante

soit encore log(t) = log(Dⁿ) + log k ( k= constante) ;

t = kDⁿ où k et n sont des constantes.

n : coefficient directeur de le droite ( graphe log(t) en fonction de log(D)) ; n voisin 0,47/1 = 0,47.

La structure a été modifiée durablement lors de la charge et le comportement du produit est affecté ( rhéogramme de décharge différent , liquide globalement moins visqueux

Si le temps de repos est supérieur ou égal à une heure on retrouve le comportement rhéologique du produit avant toute charge. On dit alors que le fluide est thixotrope.

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