On se propose d'étudier les différents éléments entrant dans la constitution d'une trottinette électrique à balancement. Celle-ci est constituée de deux roues parallèles indépendantes et le déplacement du corps vers l'avant permet d'accélérer ou de ralentir le véhicule. L'énergie électrique nécessaire est assurée par des batteries Nickel Métal Hydrure qu'il sera nécessaire de recharger régulièrement.

Les différentes parties du système sont les suivantes :

Capteur d'inclinaison et mise en forme du signal (Fonction électronique : Partie A).

Commande des moteurs des roues (Partie B).

Etude d'un des deux moteurs (Moteur à courant continu : Partie C).

Dispositif de recharge des batteries (Convertisseur alternatif / continu : Partie D).

L'équilibre de l'ensemble, le changement de direction et la décélération sont assurés par d'autres organes, non étudiés dans le sujet.

Les différentes parties du problème sont indépendantes.

PartieA : capteur d'inclinaison et mise en forme du signal.

Les amplificateurs opérationnels (AOP) de cette partie sont alimentés en ± Vcc. Ils sont considérés parfaits. Les tensions de saturation sont : V_sat+ = +15 V et V_sat- = -15 V.

1. Première fonction (voir figure 1)

Le capteur d'inclinaison délivre une tension continue V proportionnelle à l'angle q existant entre la verticale et le tube de maintien du guidon : V = 15 10^-3 q (V en volt et q en degré).

Lors d'une phase d'accélération, l'angle d'inclinaison q peut prendre des valeurs comprises entre 0 et 20 degrés.

1. Calculer les valeurs limites de la tension V.
2. Cette tension V est appliquée à l'entrée du montage représenté sur la figure 1. L'AOP₁ fonctionne en régime linéaire. Montrer que la relation liant la tension V_S1 à la tension V et aux résistances R₁ et R₂ a pour expression :
   V_s1 = V (1 + R₂/R₁). On souhaite obtenir une tension V_S1 = 1 V lorsque l'angle d'inclinaison a pour valeur 1 degré. Calculer la valeur de la résistance R₂ sachant que R₁ = 10,0 kW .
3. Quel est le nom de la fonction réalisée par cette partie du montage de la figure 1 ?

Deuxième fonction (voir figure 1)

La tension V_S1 est appliquée à l'entrée non inverseuse du deuxième amplificateur opérationnel (AOP₂).

1. L'amplificateur opérationnel AOP₂ fonctionne-t-il en régime linéaire ? Pourquoi ? Quelles sont les valeurs possibles pour la tension de sortie v_S2 ?
2. Une tension v_T est appliquée à l'entrée inverseuse de l'AOP₂. Exprimer la tension différentielle v_d en fonction de v_T et V_S1. En déduire la condition entre v_T et V_S1 pour laquelle la tension de sortie v_S2 = + 15 V.
3. La tension v_T est de forme triangulaire ; elle évolue entre 0 et 8 V. Compléter le document réponse N°1 en représentant la tension de sortie v_S2 lorsque l'angle d'inclinaison a pour valeur q = 6 degrés (c'est-à-dire V_S1 = 6 V).
4. Quelle est la fonction réalisée par l'AOP₂ ?

Partie B : commande des moteurs des roues (convertisseurs continu/continu)

Le dispositif utilisé est représenté sur la Figure 2. II comprend :

une source de tension continue de valeur E = 21V ; un interrupteur unidirectionnel commandé H supposé parfait ; une diode D supposée parfaite ; une bobine d'inductance L et de résistance négligeable. Ce dispositif alimente l'un des deux moteurs à courant continu de la trottinette.

Ce moteur, à excitation indépendante, fonctionne à flux magnétique constant. L'interrupteur H est commandé à partir de la tension v_S2. On considéra que sur une période T :

l'interrupteur est fermé lorsque v_S2 = 15V soit pour t appartenant à [ 0 ; a T ]

l'interrupteur est ouvert lorsque v_S2 = -15V soit pour t appartenant à [ a T ; T ]

(a étant le rapport cyclique de la tension de commande)

1. Donner le nom de ce convertisseur.
2. Préciser le rôle de la bobine d'inductance L placée en série avec le moteur.
3. On visualise, à l'oscilloscope, une tension image de l'intensité du courant circulant dans le moteur en utilisant une sonde de courant (figure 3).

   - Déterminer la valeur du rapport cyclique a .
   - Déterminer la valeur de la fréquence f de hachage.
   - Représenter en concordance de temps la tension u_C(t) aux bornes de l'ensemble moteur + bobine ;
   . l'intensité i_H(t) du courant traversant l'interrupteur H (on utilise la même sonde de courant que précédemment).

4. Donner l'expression de la valeur moyenne < u_C(t) > de la tension u_C(t) en fonction de E et de a . Calculer la valeur numérique de < u_C(t) >.
5. Quelle est la valeur moyenne de la tension aux bornes de la bobine placée en série avec le moteur ? En déduire la valeur moyenne <u_m(t)> de la tension u_m(t) aux bornes du moteur.
6. Que se passe-t-il si le rapport cyclique a augmente ? Comment réagit alors le moteur (on considère que la charge entraînée exerce un couple résistant de moment constant) ?
7. Afin de diminuer l'ondulation du courant, il est possible de modifier deux paramètres du montage sans modifier ni le rapport cyclique a , ni la tension E de la source. En observant la figure n°4, déterminer le paramètre ayant été modifié.

PartieC : étude du moteur à courant continu

Le moteur à courant continu est celui commandé par le dispositif de la partie B.

Indications portées sur la plaque signalétique du moteur à excitation indépendante :

induit	inducteur
Tension d'induit nominale : UN = 21,5 V	Tension d'excitation nominale : UexN = 21,5 V
Intensité nominale du courant de l'induit : IN = 75 A	Intensité nominale du courant d'excitation : IexN = 5 A
Fréquence nominale de rotation : nN = 1500 tr/min

Afin de vérifier les données du constructeur et d'optimiser le fonctionnement du moteur, on réalise différentes expériences en laboratoire. 

1. Essai préliminaire permettant le tracé de la caractéristique E(Iex) 
   La machine fonctionne en génératrice. On effectue un essai à vide afin de relever la caractéristique à vide E(Iex) pour la fréquence nominale de rotation (E étant la force électromotrice de la machine). On obtient la courbe représentée sur la figure n°5. Cette courbe présente une zone dans laquelle la force électromotrice (f.e.m.) augmente de façon linéaire en fonction de l'intensité du courant d'excitation puis une zone dans laquelle la f.e.m. n'augmente quasiment plus. Justifier ce phénomène en rappelant l'expression de la f.e.m. en fonction du flux magnétique (sous un pôle).
2. Etude de la machine en laboratoire : fonctionnement en moteur
   La résistance d'induit vaut R = 20 mW . On supposera que l'intensité du courant d'excitation et la tension d'excitation sont constantes et égales à leur valeur nominale.
   - On réalise un essai à vide de ce moteur sous tension d'induit nominale afin de déterminer la valeur des pertes collectives. L'intensité du courant traversant l'induit du moteur a alors pour valeur l₀ = 6,0 A. Déterminer la puissance reçue par l'induit du moteur lors de cet essai.
   . Calculer la valeur des pertes par effet Joule dans l'induit du moteur.
   . En déduire la valeur de la puissance électromagnétique.
   . Montrer que cette valeur correspond aux pertes collectives p_c du moteur. Une justification est attendue.
   Dans la suite du problème, ces pertes seront supposées constantes.
3. On réalise un essai en charge sous tension nominale. L'intensité du courant traversant l'induit du moteur a pour valeur I_N = 75 A et la fréquence de rotation n_N = 1 500 tr/min. Calculer la puissance totale reçue par le moteur.
   . Calculer la valeur de la f.e.m. E et montrer que, quel que soit le régime de fonctionnement à flux constant, elle peut s'exprimer sous la forme :E = 13,3 10^-3n (avec E en volts et n en tours par minute).
   . Calculer la valeur des pertes par effet Joule dans l'induit.
   . En déduire la valeur de la puissance utile du moteur.
   . Calculer son rendement.
4. Afin de modifier la vitesse de déplacement de la trottinette, on modifie la tension d'alimentation de l'induit. On suppose que l'intensité du courant traversant l'induit conserve sa valeur nominale.
   . Montrer qu'il est possible d'exprimer la fréquence de rotation n du moteur en fonction de la tension d'induit U par la relation : n = 75 U - 113 (avec U en volts et n en tours par minute).
   . Représenter le graphe de cette fonction sur le document réponse n°4 et donner la tension minimale U_d qui permet de démarrer.

   . Le moteur est commandé par un hacheur série. La tension d'induit U du moteur, utilisée précédemment, est égale à la valeur moyenne de la tension de sortie du hacheur. Elle a pour expression U = 21a , a étant le rapport cyclique de la tension délivrée par le hacheur. Quelle est la valeur minimale du rapport cyclique a _mini qui permet de démarrer le moteur (donc le véhicule) ?
   . Pour quelle valeur du rapport cyclique a obtient-on la fréquence de rotation maximale du moteur ? Déterminer cette fréquence.

Partie D : dispositif de recharge des batteries (convertisseur alternatif/continu)

On souhaite recharger les batteries de la trottinette à partir de la tension monophasée du secteur 230V/50Hz. L'ensemble des batteries admet comme modèle une source de tension E_B en série avec une résistance r = 0,18W .

1. Préciser le nom du dispositif utilisé pour abaisser la tension sinusoïdale de valeur efficace 230V en une tension sinusoïdale de valeur efficace 45V.
2. Le convertisseur alternatif/continu comporte, entre autre, deux thyristors Th₁ et Th₂. Sur le document réponse n°5 ci-dessous, cocher la figure qui indique correctement les différentes bornes de ce composant.
3. Afin de tester le bon fonctionnement de ce composant, on réalise le montage donné sur le document réponse n°6 ci-dessus. Cocher les bonnes réponses parmi celles proposées.
4. On réalise le montage suivant la figure n°10 ci-après.

   Les thyristors et les diodes sont supposés parfaits (tension nulle à leurs bornes lorsqu'ils sont passants). La tension à l'entrée du pont a pour expression instantanée : v(t) = 45 racine carrée (2) sin (314 t). La commande des thyristors est synchronisée sur le réseau, avec un retard à l'amorçage t₀ par rapport à la conduction naturelle des diodes. L'inductance L de la bobine (supposée parfaite) est suffisamment importante pour que l'ondulation de l'intensité I(t) du courant soit négligée. On peut alors écrire : I(t) voisin I = constante.
   - On relève la tension u(t) aux bornes de l'ensemble {bobine + batteries} et l'image de l'intensité i(t) du courant dans la charge à l'aide d'une sonde de courant (calibre 1V/A). Le document réponse n°7 ci-dessous représente les chronogrammes de ces grandeurs.

   

   Déterminer la valeur t₀ du retard à l'amorçage. Déterminer la valeur de I.
   - Compléter le document réponse n°7 ci-dessus en représentant les images des intensités i_D1(t), i_Th1(t) et i_B(t) des courants respectivement dans la diode D₁, le thyristor Th₁ et à l'entrée du pont, en supposant que la sonde de courant conserve à chaque fois le même calibre.
   La valeur moyenne de la tension u(t) aux bornes de la charge ayant pour expression, calculer sa valeur.
   - Donner une relation liant l'intensité i(t) à la tension u(t) et les grandeurs E_B, r, L.
   En déduire une relation entre l'intensité moyenne <i(t)> et la tension moyenne <u(t)>
   Calculer la valeur de la fém E_B de l'ensemble des batteries.