Données : volume de la bille en acier V= 0,52 cm³ ; masse volumique de l'acier r_a= 7850 kgm^-3 ; masse volumique de l'huile r_H= 920 kg m^-3 ; g= 9,8 m/s².

On réalise la chronophotographie d'une bille sphérique en acier dans l'huile. Pour ce faire, on filme la bille dans une éprouvette remplie d'huile, avec un camescope numérique au rythme de 50 images par seconde. Gràce à un traitement adéquat des images on obtient le document ci-dessous. On repère ensuite la position sur chaque image, du centre d'inertie de la bille : M₀ correspond à sa position initiale, celle-ci étant lâchée, à un instant t₀ pris comme origine des dates, sans vitesse initiale.

	positions de la bille	t(ms)	y(mm)	v(m/s)
	M0	0	0,0	0,00
	M1	20	4,5	0,23
	M2	40	9	0,34
	M3	60	18,0	0,46
	M4	80	27,5	0,58
	M5	100	41,0	0,64
	M6	120	53,0
	M7	140	69,0	0,75
	M8	160	83,0	0,80
	M9	180	101,0	0,88
	M10	200	118,0	0,90
	M11	220	137,0	0,93
	M12	240	155,0	0,93
	M13	260	174,0	0,95
	M14	280	193,0	0,95
	M15	300	211,0
	M16	320	231,0
	M17	340	249,0
	M18	360	269,0
	M19	380	287,0
	M20	400	307,0
	M21	420	325,0

A. exploitation des résultats :

1. En vous aidant des documents ci-dessus, préciser les caractéristiques du mouvement de la bille entre les positions M₁₃ et M₂₁. Quelle est la loi de Newton ainsi illustrée ?
2. A partir des conditions de prises de vue, justifier les valeurs qui apparaissent dans la colonne temps t(ms) du tableau.

B. étude cinématique :

Le point M₀ étant pris comme origine des espaces et des temps, on repère les différentes hauteurs réelles de la chute de la bille dans l'huile, notées y aux dates t correspondantes. On calcule alors les vitesses correspondantes.

1. Calculer la vitesse de la bille pour la position M₆.
2. Calculer l'accélération de la bille pour la position M₁₈. Le résultat obtenu est-il compatible avec celui de la question A1 ? Argumenter la réponse.

C. étude dynamique :

1. Sur un schéma faire figurer, sans souci d'échelle, toutes les forces s'exerçant au centre d'inertie G de la bille tombant dans l'huile.
2. Calculer la masse m de la bille.
3. Donner l'expression littérale de la pousée d'Archimède F_A, s'exerçant sur la bille plongée dans l'huile. Calculer sa valeur.

D. équation différentielle du mouvement de la bille :

Soit f l'intensité de la force de frottement à laquelle est soumise la bille en mouvement dans l'huile.

1. Par application du théorème du centre d'inertie que l'on énoncera, établir que le mouvement de la bille obéit à une équation différentielle du type dv/dt + f/m = A où A est une constante et v la vitesse de la bille.
2. Donner l'expression littérale de A puis calculer sa valeur. Préciser son unité.

E. Recherche de modèles pour la force de frottement :

On se propose de déterminer expérimentalement si l'intensité de la force de frottement f à laquelle est soumise la bille en mouvement dans l'huile est de la forme f=k₁v ou f= k₂v². k₁ et k₂ étant des constantes et v étant la vitesse de la bille.

On utilise un tableur pour représenter la vitesse de la bille en fonction du temps. On obtient le graphe suivant où les points expérimentaux sont représentés sous forme de losange. On détermine ainsi la vitesse limite de chute de la bille v_l= 0,95 m/s.

1. Première hypothèse : f= k₁ v. Montrer que l'équation différentielle précédente peut se mettre sous la forme : dv/dt + B₁ v= A où A et la constante déterminée dans la partie D.
   - Lorsque la vitesse limite est atteinte que devient le terme dv/dt de l'équation différentielle précédente ? En déduire l'expression littérale de B₁ en fonction de A et v_l. Calculer alors k₁ et préciser son unité.
2. deuxième hypothèse : f = k₂ v². Dans ce cas l'équation différentielle se met sous la forme dv/dt + B₂v²= A. Déterminer l'expression littérale de B₂ en fonction de A et v_l. Calculer alors k₂ et préciser son unité.
3. Comparaison des deux modèles précédents : grâce au tableur et à la méthode d'Euler, on détermine les courbes théoriquescorrespondant aux deux modèles précédents. Le premier modèle noté "modèle 1" sur le graphe corrspond à l'hypothèse d'une force de frottement f= k₁ v. Le second modèle noté "modèle 2" sur le graphe corrspond à l'hypothèse d'une force de frottement f= k₂ v². En vous aidant du graphe, préciser les domaines de vitesse, sous forme d'un encadrement, pour lesquels chacun des deux modèles précédents semblent coïncider au mieux avec les points expérimentaux.

Une bouteille d'ammoniaque du commerce comporte l'indication 22 ° Bé, ce qui correspond à une concentration molaire C₀ = 10,9 mol.L^-1.Cette solution sera nommée S₀. Dans une solution aqueuse d'ammoniac, l'équilibre entre l'ammoniac NH₃ et les ions ammonium NH₄⁺ s'écrit : NH₃ (aq) + H₂O (I) = HO^- (aq) + NH₄⁺ (aq).

Données (valeurs à 25 °C):

Quotient de la réaction de l'ammoniac avec l'eau à l'équilibre : Q_r,éq= 1,58.10^-5

Produit ionique de l'eau : Ke = 1,00.10^-14.

1ère partie : Détermination du quotient de réaction par pHmétrie :

La " basicité " de la solution S₀ étant trop élevée pour être mesurée directement au pHmètre, on prépare 50,0 mL d'une solution diluée S₁ de concentration C₁ = C₀ /10. Le pH mesuré de S₁ est 11,62.

1. Quel volume de la solution S₀ doit-on prélever pour préparer la solution S₁?
2. Proposer un mode opératoire pour préparer la solution S₁.
3. Montrer que la concentration en ion hydroxyde dans la solution S₁ est : [HO^-]_(s1)= 4,2.10^-3 mol.L^-1.
4. Compléter le tableau d'avancement suivant pour la réaction de l'ammoniac avec l'eau dans la solution S₁ en considérant un volume V'₁ = 1,0 L.

   	avancement	NH3 (aq)	+ H2O (I)	= HO- (aq)	+ NH4+ (aq)
   initial	0		solvant en grand excès
   en cours	x
   final	xf
   maximal	xmax

5. En déduire la valeur du taux d'avancement final t. Commenter le résultat obtenu.
6. Calculer le quotient de réaction Q_r,1 à l'état final et montrer que le système est à l'équilibre aux incertitudes de mesure près.

2ème partie : Détermination du taux d'avancement de la réaction de l'ammoniac sur l'eau par conductimétrie :

Valeurs des conductivités molaires ioniques à 25 °C :

l°_{( HO-)} = 19.9.10^-3 S.m².mol^-1 ; l °_{( NH4+)} = 7.34.10^-3 S.m².mol^-1.

L'expression de la conductivité d'une solution s = S l _i [ X_i] n'est valide qu'en solution très diluée. A partir de la solution S₁ d'ammoniac, on prépare une solution fille, nommée S₂ de concentration C₂ = C₁/100 = C₀/1000.

A) Hypothèse: On fait l'hypothèse que les quantités de matière des espèces en solution n'ont pas changé lors de la dilution.

1. En déduire l'expression littérale de la concentration [HO^-]_(hyp) en fonction de [HO^-]_(s1), de même pour [NH₄⁺]_(hyp) en fonction de [NH₄⁺] _(s1) et [NH₃] _(hyp) en fonction [NH₃] _(s1).
2. Montrer que le quotient de réaction Q_r,hyp obtenu avec cette hypothèse est égal à Q_r,1/100.
3. Le comparer à Q_r,eq. En déduire si l'hypothèse est effectivement vérifiée. Sinon dans quel sens évolue le système lors de la dilution ? Justifier. 

B) Conductimétrie:

Pour confirmer ou infirmer l'hypothèse précédente, on mesure la conductivité s de la solution S₂: s = 0,114 mS.cm^-1.

1. Donner la valeur de s dans le système international.
2. Exprimer la conductivité s de la solution S₂ en fonction des conductivités molaires ioniques et des concentrations effectives [NH₄⁺] _(s2) et [HO^-]_(s2), dans cette solution.
3. En utilisant le tableau d'avancement de la réaction de l'ammoniac sur l'eau et les données du texte en déduire [HO^-]_(s2).
4. Calculer le taux d'avancement final t₂ de la réaction de l'ammoniac sur l'eau.
5. La dilution de la solution mère agit-elle sur le taux d'avancement de la réaction de l'ammoniac sur l'eau ? Si oui dans quel sens. L'hypothèse émise dans la partie 1 est-elle confirmée ?

Données : Numéro atomique de l'élément iode : Z(l) = 53.

La thyroïde est une glande, située dans la région cervicale antérieure, appliquée contre le larynx et la partie supérieure de la trachée. La fonction principale de cette glande est la sécrétion des hormones thyroïdiennes à partir de l'Iode alimentaire qui se fixe temporairement sur cette glande.

De petite taille, pesant 15 à 25 g chez l'adulte et mesurant environ 4 cm en largeur et 3 cm en hauteur, elle n'est normalement pas, ou à peine, palpable. Mais elle peut s'hypertrophier, soit de manière plus ou moins diffuse et homogène, soit de manière localisée avec la formation de nodule(s). Ces nodules peuvent principalement être de deux sortes : hypofixant ou hyperfixant. Ils sont dits hypofixants s'ils fixent peu d'iode par rapport au reste de la thyroïde. Inversement, ils sont dits hyperfixants s'ils fixent plus d'iode que le reste de la thyroïde.

Ce sont ces nodules qu'il faut déceler pour traiter le patient si nécessaire. Ceci est réalisé à l'aide de traceurs radioactifs, les isotopes ¹²³I et ¹³¹I, de constantes radioactives respectives l₁₂₃ = 1,459 10^-5 s^-1 et l₁₃₁ = 1,001 10^-6 s^-1. Ces isotopes sont en effet des émetteurs de rayons gamma pouvant être détectés par un appareil de mesure appelé "détecteur à scintillations". La condition pour que l'appareil de mesure utilisé ici compte les rayons gamma, est que ceux-ci aient une énergie supérieure à 20 eV. Il en résulte alors une image reconstituée de l'organe étudié, sur laquelle les zones foncées représentent les zones de l'organe fortement émettrices en rayons gamma. La scintigraphie est donc une sorte de photographie.

Lorsque l'analyse est pressée, on préfère utiliser l'isotope ¹²³I qui nécessite un temps de pose de l'ordre du quart d'heure. On injecte alors, au patient, une dose de ¹²³I, d'activité A = 7,0 MBq, contenu dans une solution d'iodure de sodium NaI où l'iode est le traceur radioactif. On laisse alors l'iode se fixer, soit environ 4 heures, temps au bout duquel on réalise la scintigraphie.

A) Choix de l'isotope ¹²³I :

1. L'isotope ¹²³I est préparé par réaction nucléaire entre un deutérium ²₁H de haute énergie, et du tellure ¹²²₅₂Te. Ecrire l'équation correspondante. Préciser les lois de conservation utilisées et le nom de la particule émise.
2. Calculer le temps de demi-vie des deux isotopes. Quel peut être alors l'avantage d'utiliser l'isotope ¹²³I par rapport au ¹³¹I ? Justifier.

B) Administration de l'iode à un ensemble de patients.

L'hôpital commande un flacon d'une solution de NaI avec de l'iode ¹²³I, pour l'utiliser sur plusieurs patients. Pour des raisons pratiques, les injections sont effectuées toutes les 30 minutes. La première injection a lieu le matin à 9 h. Juste avant cette injection, l'activité du flacon de l'hôpital est de 28,5 MBq. A chaque injection, on prélève une dose d'activité égale à 7 MBq.

1. Quelle est l'activité de la solution restant dans le flacon juste après l'injection (supposée instantanée) au premier patient ?
2. Calculer la valeur de e^-lDt, si D t = 30 min.
   - En déduire l'activité du flacon à 9h30, juste avant l'injection au second patient.
3. Les injections suivantes ont lieu toutes les demi-heures. Combien de patients pourront alors recevoir la dose nécessaire (7 Mbq) à la réalisation d'une scintigraphie ?

C) Précaution et analyse des images obtenues.

1. Quel est le nombre de noyaux radioactifs N₀ injectés à chaque patient ?
2. II est courant de réaliser une deuxième injection aux patients, afin de vérifier que le traitement a été efficace. On estime qu'entre 2 injections à un patient, il doit s'écouler environ 6 semaines afin que la première n'influence pas la scintigraphie de la deuxième. Montrer que la première injection n'a alors aucune influence sur la scintigraphie qui suit la deuxième injection.
3. La scintigraphie permet d'obtenir les images ci-dessous. On y trouve notamment une thyroïde comportant un nodule, puis cette thyroïde après traitement. S'agit-il d'un nodule hyperfixant ou hypofixant ? Justifier.